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1. 判断下列结论是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”).
(1) 任意一个三角形都有且只有一个内切圆；（
(2) 三角形的内心都在三角形的内部；（
(3) 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等；（
(4) 三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分三个内角；（
(5) 等腰三角形的内心在底边的中线上.（
(1) 任意一个三角形都有且只有一个内切圆；（
√
）(2) 三角形的内心都在三角形的内部；（
√
）(3) 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等；（
×
）(4) 三角形的内心与三角形各顶点的连线分别平分三个内角；（
√
）(5) 等腰三角形的内心在底边的中线上.（
√
）答案
1. √,√,×,√,√
解析
【分析】
解题前首先要明确三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。解题时结合内心的定义、性质，以及等腰三角形三线合一的性质，对5个结论逐一判断即可。
【解析】
我们结合三角形内心的相关性质逐一判断：
(1) 任意三角形的三个内角角平分线交于唯一一点，该点到三角形三边的距离相等，以此点为圆心、该距离为半径可作唯一的圆与三边都相切，即任意三角形有且只有一个内切圆，故结论正确；
(2) 三角形的三个内角角平分线均在三角形内部，因此它们的交点（内心）一定在三角形内部，故结论正确；
(3) 三角形的内心到三角形三边的距离相等，到三角形各顶点距离相等的是三角形的外心（三边垂直平分线的交点），故结论错误；
(4) 三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此内心与各顶点的连线就是对应内角的角平分线，可平分三个内角，故结论正确；
(5) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一），而内心在顶角的角平分线上，因此等腰三角形的内心也在底边的中线上，故结论正确。
【答案】
(1)√；(2)√；(3)×；(4)√；(5)√
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内切圆概念；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形内心与外心的性质，只要准确记忆内心是角平分线交点、具有到三边距离相等、在各内角平分线上等特点，即可快速判断正误，注意不要混淆内心和外心的性质。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确三角形内心的定义：三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。解题时结合内心的定义、性质，以及等腰三角形三线合一的性质，对5个结论逐一判断即可。
【解析】
我们结合三角形内心的相关性质逐一判断：
(1) 任意三角形的三个内角角平分线交于唯一一点，该点到三角形三边的距离相等，以此点为圆心、该距离为半径可作唯一的圆与三边都相切，即任意三角形有且只有一个内切圆，故结论正确；
(2) 三角形的三个内角角平分线均在三角形内部，因此它们的交点（内心）一定在三角形内部，故结论正确；
(3) 三角形的内心到三角形三边的距离相等，到三角形各顶点距离相等的是三角形的外心（三边垂直平分线的交点），故结论错误；
(4) 三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此内心与各顶点的连线就是对应内角的角平分线，可平分三个内角，故结论正确；
(5) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一），而内心在顶角的角平分线上，因此等腰三角形的内心也在底边的中线上，故结论正确。
【答案】
(1)√；(2)√；(3)×；(4)√；(5)√
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内切圆概念；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形内心与外心的性质，只要准确记忆内心是角平分线交点、具有到三边距离相等、在各内角平分线上等特点，即可快速判断正误，注意不要混淆内心和外心的性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB，AC，BD分别与$\odot O$相切，点D，E，F在$\odot O$上. 则点O是$△ ABC$
内
心，又是$△ DEF$的 外
心；$\odot O$是 △ABC
的内切圆，又是 △DEF
的外接圆； △DEF
是$\odot O$的内接三角形， △ABC
是$\odot O$的外切三角形.答案
2. 内,外,△ABC,△DEF,△DEF,△ABC
解析
【分析】
解答本题首先要明确相关核心概念：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等，对应圆是三角形的内切圆，该三角形是圆的外切三角形；②三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，对应圆是三角形的外接圆，该三角形是圆的内接三角形。结合题中条件：AB、AC、BC均与⊙O相切，可得⊙O与△ABC的内切圆相关；D、E、F均在⊙O上，可得⊙O与△DEF的外接圆相关，对应概念逐一填空即可。
【解析】
1. 分析点O与△ABC的关系：
因为AB、AC、BC都与⊙O相切，所以⊙O是△ABC的内切圆，圆心O是△ABC三个内角角平分线的交点，即△ABC的内心，同时△ABC是⊙O的外切三角形。
2. 分析点O与△DEF的关系：
因为D、E、F三点都在⊙O上，所以⊙O是△DEF的外接圆，圆心O到D、E、F三点的距离都等于半径，是△DEF三边垂直平分线的交点，即△DEF的外心，同时△DEF是⊙O的内接三角形。
将上述结论对应填入空中即可。
【答案】
内，外，△ABC，△DEF，△DEF，△ABC
【知识点】
三角形内心与外心，内切圆与外接圆，内接与外切三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对三角形内心、外心，以及圆的内接三角形、外切三角形相关定义的理解，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确相关核心概念：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等，对应圆是三角形的内切圆，该三角形是圆的外切三角形；②三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，对应圆是三角形的外接圆，该三角形是圆的内接三角形。结合题中条件：AB、AC、BC均与⊙O相切，可得⊙O与△ABC的内切圆相关；D、E、F均在⊙O上，可得⊙O与△DEF的外接圆相关，对应概念逐一填空即可。
【解析】
1. 分析点O与△ABC的关系：
因为AB、AC、BC都与⊙O相切，所以⊙O是△ABC的内切圆，圆心O是△ABC三个内角角平分线的交点，即△ABC的内心，同时△ABC是⊙O的外切三角形。
2. 分析点O与△DEF的关系：
因为D、E、F三点都在⊙O上，所以⊙O是△DEF的外接圆，圆心O到D、E、F三点的距离都等于半径，是△DEF三边垂直平分线的交点，即△DEF的外心，同时△DEF是⊙O的内接三角形。
将上述结论对应填入空中即可。
【答案】
内，外，△ABC，△DEF，△DEF，△ABC
【知识点】
三角形内心与外心，内切圆与外接圆，内接与外切三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对三角形内心、外心，以及圆的内接三角形、外切三角形相关定义的理解，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 80°$. 若点$I$是$△ ABC$的外心，则$∠ BIC$的大小是$\_\_\_\_\_\_°$；若点$I$是$△ ABC$的内心，则$∠ BIC$的大小是$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
3. 160,130
解析
【分析】
本题需分两种情况分别计算：①当点I是外心时，外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合∠A的度数即可求解；②当点I是内心时，内心是三角形三条角平分线的交点，先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线性质求出∠IBC与∠ICB的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BIC的度数。
【解析】
1. 当点I是$△ ABC$的外心时：
$∠ BIC$是弧$BC$所对的圆心角，$∠ A$是弧$BC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
$∠ BIC=2∠ A=2×80°=160°$
2. 当点I是$△ ABC$的内心时：
内心是三角形角平分线的交点，因此$IB$平分$∠ ABC$，$IC$平分$∠ ACB$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$
因此$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$
在$△ IBC$中，再次使用内角和定理：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-50°=130°$
【答案】
160，130
【知识点】
圆周角定理；三角形内心性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是区分三角形外心和内心的性质，熟练掌握两种特殊点的相关结论是快速解题的关键，是三角形相关性质的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题需分两种情况分别计算：①当点I是外心时，外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，结合∠A的度数即可求解；②当点I是内心时，内心是三角形三条角平分线的交点，先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线性质求出∠IBC与∠ICB的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BIC的度数。
【解析】
1. 当点I是$△ ABC$的外心时：
$∠ BIC$是弧$BC$所对的圆心角，$∠ A$是弧$BC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此：
$∠ BIC=2∠ A=2×80°=160°$
2. 当点I是$△ ABC$的内心时：
内心是三角形角平分线的交点，因此$IB$平分$∠ ABC$，$IC$平分$∠ ACB$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$
因此$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$
在$△ IBC$中，再次使用内角和定理：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-50°=130°$
【答案】
160，130
【知识点】
圆周角定理；三角形内心性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是区分三角形外心和内心的性质，熟练掌握两种特殊点的相关结论是快速解题的关键，是三角形相关性质的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形 （
A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
B
）A.三边高线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三边中线的交点
答案
4. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确：三角形内面积最大的圆是与三角形三边都相切的内切圆，内切圆的圆心需要满足到三边的距离相等（等于内切圆半径）。接下来逐一分析各选项对应的特殊点的性质，判断哪个点满足到三边距离相等即可：
1. 先回忆各类三角形特殊点的定义：高线交点是垂心，角平分线交点是内心，垂直平分线交点是外心，中线交点是重心；
2. 再对应性质筛选：只有角平分线的交点，能满足到三角形三边的距离相等，符合内切圆圆心的要求。
【解析】
三角形内面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆需与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等（等于内切圆半径）。
选项A：三边高线的交点是三角形的垂心，不满足到三边距离相等，不符合要求；
选项B：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三个角的平分线的交点到三角形三边的距离都相等，是内切圆的圆心，符合要求；
选项C：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，到三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心，不符合要求；
选项D：三边中线的交点是三角形的重心，重心分中线为2:1，不满足到三边距离相等，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内切圆与内心
2. 角平分线的性质
3. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要区分三角形不同特殊点的定义和对应性质，避免将内心、外心、垂心、重心的性质混淆，只要掌握各特殊点的核心特征就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确：三角形内面积最大的圆是与三角形三边都相切的内切圆，内切圆的圆心需要满足到三边的距离相等（等于内切圆半径）。接下来逐一分析各选项对应的特殊点的性质，判断哪个点满足到三边距离相等即可：
1. 先回忆各类三角形特殊点的定义：高线交点是垂心，角平分线交点是内心，垂直平分线交点是外心，中线交点是重心；
2. 再对应性质筛选：只有角平分线的交点，能满足到三角形三边的距离相等，符合内切圆圆心的要求。
【解析】
三角形内面积最大的圆是三角形的内切圆，该圆需与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等（等于内切圆半径）。
选项A：三边高线的交点是三角形的垂心，不满足到三边距离相等，不符合要求；
选项B：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三个角的平分线的交点到三角形三边的距离都相等，是内切圆的圆心，符合要求；
选项C：三边垂直平分线的交点是三角形的外心，到三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心，不符合要求；
选项D：三边中线的交点是三角形的重心，重心分中线为2:1，不满足到三边距离相等，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形内切圆与内心
2. 角平分线的性质
3. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要区分三角形不同特殊点的定义和对应性质，避免将内心、外心、垂心、重心的性质混淆，只要掌握各特殊点的核心特征就能快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 已知一个三角形的内心与外心重合，若其内切圆的半径为2，则其外接圆的面积为 （
A.$4π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$16π$
D
）A.$4π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$16π$
答案
5. D
解析
【分析】
解题首先要明确三角形的类型：内心是三角形三条角平分线的交点，外心是三角形三条边垂直平分线的交点，二者重合说明三角形的角平分线和边的垂直平分线完全重合，只有等边三角形满足这个特征。接着利用等边三角形内切圆半径和外接圆半径的固定比例关系，结合已知的内切圆半径求出外接圆半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 判断三角形形状：
∵三角形的内心与外心重合，
∴该三角形为等边三角形（等边三角形的角平分线、边的垂直平分线、中线、高四线重合，因此内心、外心、重心、垂心共点）。
2. 推导半径关系：
等边三角形的重心将高分为长度比为2:1的两段，其中较短段为内切圆半径$r$，较长段为外接圆半径$R$，因此有$R=2r$。
3. 计算外接圆面积：
已知$r=2$，代入得$R=2×2=4$，
外接圆面积$S=π R^2=π×4^2=16π$。
【答案】
D
【知识点】
三角形的内心与外心，等边三角形的性质，圆的面积计算
【点评】
本题核心是通过内心、外心重合的特征确定三角形为等边三角形，再利用等边三角形的特殊性质求解，对基础概念的掌握要求较高，是圆与三角形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确三角形的类型：内心是三角形三条角平分线的交点，外心是三角形三条边垂直平分线的交点，二者重合说明三角形的角平分线和边的垂直平分线完全重合，只有等边三角形满足这个特征。接着利用等边三角形内切圆半径和外接圆半径的固定比例关系，结合已知的内切圆半径求出外接圆半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
1. 判断三角形形状：
∵三角形的内心与外心重合，
∴该三角形为等边三角形（等边三角形的角平分线、边的垂直平分线、中线、高四线重合，因此内心、外心、重心、垂心共点）。
2. 推导半径关系：
等边三角形的重心将高分为长度比为2:1的两段，其中较短段为内切圆半径$r$，较长段为外接圆半径$R$，因此有$R=2r$。
3. 计算外接圆面积：
已知$r=2$，代入得$R=2×2=4$，
外接圆面积$S=π R^2=π×4^2=16π$。
【答案】
D
【知识点】
三角形的内心与外心，等边三角形的性质，圆的面积计算
【点评】
本题核心是通过内心、外心重合的特征确定三角形为等边三角形，再利用等边三角形的特殊性质求解，对基础概念的掌握要求较高，是圆与三角形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆分别与AB，BC相切于点D，E，若$BD=1$，$AD=4$，则CE的长为（
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
D
）A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
6. D
解析
【分析】
本题可结合切线长定理与勾股定理求解。首先根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，我们可以设CE的长为x，用含x的式子表示出Rt△ABC的BC、AC边长，再代入勾股定理列方程，即可求出CE的长度。
【解析】
设CE的长为$x$，
∵$\mathrm{Rt}△ABC$的内切圆分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：
$BE=BD=1$，$AF=AD=4$，$CF=CE=x$，
∴$BC=CE+BE=x+1$，$AB=AD+BD=4+1=5$，$AC=AF+CF=4+x$，
∵$△ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$，由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据得：$5^2+(x+1)^2=(x+4)^2$，
展开得：$25+x^2+2x+1=x^2+8x+16$，
整理得：$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，解题的关键是利用切线长定理用同一未知数表示出直角三角形的未知边长，再结合勾股定理列方程求解，整体解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
本题可结合切线长定理与勾股定理求解。首先根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，我们可以设CE的长为x，用含x的式子表示出Rt△ABC的BC、AC边长，再代入勾股定理列方程，即可求出CE的长度。
【解析】
设CE的长为$x$，
∵$\mathrm{Rt}△ABC$的内切圆分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，根据切线长定理可得：
$BE=BD=1$，$AF=AD=4$，$CF=CE=x$，
∴$BC=CE+BE=x+1$，$AB=AD+BD=4+1=5$，$AC=AF+CF=4+x$，
∵$△ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$，由勾股定理得$AB^2+BC^2=AC^2$，
代入数据得：$5^2+(x+1)^2=(x+4)^2$，
展开得：$25+x^2+2x+1=x^2+8x+16$，
整理得：$6x=10$，解得$x=\frac{5}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，解题的关键是利用切线长定理用同一未知数表示出直角三角形的未知边长，再结合勾股定理列方程求解，整体解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
