20.「2026浙江台州期末改编，★★☆」(12分)为促进生产，某公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.
(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案的报酬一样多.
(2)求方案二中y关于x的函数表达式.
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？

20.解析 (1)观察图象得,两函数图象相交于点$ (30,1\ 200) $,
∴ 员工生产 30 件产品时,两种方案的报酬一样多.
(2)设方案二中$ y $关于$ x $的函数表达式为$ y=kx+b(k≠0) $,将$ (0,600),(30,1\ 200) $代入表达式得$ b=600 $,$ 1\ 200=30k+b $,解得$ k=20 $,
∴ 方案二中$ y $关于$ x $的函数表达式为$ y=20x+600 $.
(3)由两函数图象交点为$ (30,1\ 200) $可知,若$ x $的取值范围为$ 0＜x＜30 $,则选择方案二;若$ x=30 $,则选择两个方案都可以;若$ x $的取值范围为$ x＞30 $,则选择方案一.

21.「2025江苏徐州期末，★★」(14分)如图，直线$y=kx+b(k≠0)$与坐标轴分别交于A，B两点，$OA=8$，$OB=6$，点$M(4,m)$在直线AB上，动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动.
(1)A点的坐标为，B点的坐标为.
(2)求直线AB的函数表达式.
(3)设点P的运动时间为$t(0≤t＜4)$秒，$△ BPA$的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当$S=8$时，点P的坐标.
(4)x轴正半轴上是否存在一点P，使$△ OPM$为等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由.

21.解析 (1)A点的坐标为$ (8,0) $,B点的坐标为$ (0,6) $.
(2)把$ A(8,0),B(0,6) $代入$ y=kx+b(k≠0) $,得$ b=6 $,$ 8k+b=0 $,解得$ k=-\dfrac{3}{4} $,
∴ $ y=-\dfrac{3}{4}x +6 $.
(3)由题意,得$ OP=2t $,当$ 0≤t＜4 $时,点$ P $在线段$ OA $上,
∴ $ AP=8-2t $,
∴ $ S=\dfrac{1}{2}AP · OB =\dfrac{1}{2}×6(8-2t)= -6t+24 $,令$ S=8 $,即$ -6t+24=8 $,解得$ t=\dfrac{8}{3} $,
∴ $ OP=\dfrac{16}{3} $,
∴ $ P(\dfrac{16}{3},0) $.
(4)x轴正半轴上存在点P,使$ △OPM $为等腰三角形.
∵ 点$ M(4,m) $在直线$ y=-\dfrac{3}{4}x +6 $上,
∴ 把$ M(4,m) $代入$ y=-\dfrac{3}{4}x +6 $得$ m=-\dfrac{3}{4}×4 +6=3 $,
∴ $ M(4,3) $,
∴ $ OM=\sqrt{3^2+4^2}=5 $,设$ P(2a,0)(a＞0) $,当$ △OPM $为等腰三角形时,分三种情况:
①$ OP=OM=5 $,则$ P(5,0) $;
②当$ OP=PM $时,$ (2a)^2=(2a-4)^2+3^2 $,解得$ a=\dfrac{25}{16} $,
∴ $ 2a=\dfrac{25}{8} $,
∴ $ P(\dfrac{25}{8},0) $;
③当$ OM=MP $时,过点$ M $作$ MN⊥x $轴,如图,则$ ON=4 $,
∴ $ OP=2ON=8 $,
∴ $ P(8,0) $.

综上,x轴正半轴上存在点P,使$ △OPM $为等腰三角形,P点的坐标为$ (5,0) $或$ (\dfrac{25}{8},0) $或$ (8,0) $.