1.等边三角形的性质:等边三角形的三条边都,三个内角都,并且每一个角都等于,等边三角形具有等腰三角形的所有性质。

1. 相等 相等 60°

【分析】
本题考查等边三角形的基础性质，解题思路如下：首先回忆等边三角形的定义，它是特殊的等腰三角形，因此具备等腰三角形的所有性质且性质更特殊：边的特征是三条边长度都相同；角的特征可结合三角形内角和为180°推导，三个内角相等的情况下，每个角的度数可通过180°÷3计算得出，依次对应填空即可。
【解析】
根据等边三角形的定义与性质：
1. 边的性质：等边三角形的三条边长度都相等；
2. 角的性质：等边三角形的三个内角大小都相等；
3. 结合三角形内角和为180°，每个内角的度数为$180° ÷ 3 = 60°$。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
相等 相等 60°
【知识点】
等边三角形的性质；三角形内角和；等腰三角形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等边三角形相关基础性质的识记，熟练掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2.等边三角形的判定：
（1）三个角都的三角形是等边三角形。
（2）有一个角是的等腰三角形是等边三角形。

2. (1) 相等 (2) 60°

【分析】
本题考查等边三角形的判定定理，解题时可结合三角形内角和性质、等腰三角形的性质推导判定条件：
1. 对于第（1）问，结合三角形内角和为180°，若三个角相等，可推出每个角均为60°，再根据等角对等边可得到三条边相等，即可确定对应的判定条件；
2. 对于第（2）问，等腰三角形本身有两个角相等，分已知的60°角是顶角或底角两种情况推导，可得出三个角均为60°，即可得到对应的判定条件。
【解析】
（1）已知三角形内角和为180°，若三角形的三个角都相等，则每个角的度数为$180°÷3=60°$，根据等角对等边的性质，可得三角形的三条边都相等，因此三个角都相等的三角形是等边三角形，故填“相等”。
（2）等腰三角形的两个底角相等：若已知的60°角是顶角，则两个底角的度数为$(180°-60°)÷2=60°$；若已知的60°角是底角，则另一个底角也为60°，顶角为$180°-60°×2=60°$。两种情况均能得到三角形三个角都是60°，即三角形为等边三角形，因此有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故填“$60°$”。
【答案】
(1) 相等 (2) $60°$
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对等边三角形判定定理的记忆与理解，熟练掌握基础几何判定定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9

1.下面关于等边三角形的说法中，不正确的是
（）

A.等边三角形的三条边都相等
B.等边三角形的三个内角都等于$60°$
C.等边三角形是轴对称图形、有三条对称轴
D.等腰三角形具有等边三角形的性质

1. D

【分析】
本题考查等边三角形的性质及它与等腰三角形的从属关系，解题时先回顾等边三角形边、角、对称性的相关性质，再逐一判断每个选项的正误即可。要注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具备等腰三角形的所有性质，但等腰三角形不具备等边三角形的特有性质。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 由等边三角形的定义可知，等边三角形的三条边都相等，该说法正确，不符合题意；
B. 三角形内角和为180°，等边三角形三个内角相等，因此每个内角的度数为$180°÷3=60°$，该说法正确，不符合题意；
C. 等边三角形沿三条边的高（或中线、顶角平分线）所在直线折叠，直线两侧的部分可完全重合，因此它是轴对称图形，共有3条对称轴，该说法正确，不符合题意；
D. 等边三角形是特殊的等腰三角形，是等边三角形具有等腰三角形的性质，普通等腰三角形不具备等边三角形三边相等、三个内角均为60°等特有性质，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、等腰与等边的从属关系、轴对称图形
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆等腰三角形和等边三角形的从属关系，记错性质的所属对象，学习时要明确特殊图形与一般图形的逻辑关系。
【难度系数】
0.8

2.如图，直线$a// b$，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，$∠ 2 = 40°$，则$∠ 1$的度数为（）

A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$

2. A

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先等边三角形的三个内角均为60°，可得到∠A的度数；再利用两直线平行内错角相等的性质，找到与∠2相等的角，该角与∠1、∠A在同一个三角形中，最后结合三角形内角和为180°即可求出∠1的度数。
【解析】
设直线a与AB交于点D，与AC交于点E。
1. 因为△ABC是等边三角形，所以∠A=60°；
2. 已知直线$a// b$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠AED=∠2=40°；
3. 在△ADE中，由三角形内角和为180°，得：
$∠ 1=180°-∠ A-∠ AED=180°-60°-40°=80°$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线性质、特殊三角形性质和三角形内角和定理结合考查，解题的核心是通过平行线的性质完成角的等量转换，熟悉基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7

3.(1)如图，AD是等边△ABC的角平分线，BD＝5，则CD＝，∠CAD＝°.
(2)【T3(1)变式】如图，△ABC是等边三角形，AD为BC边上的中线，AD＝AE，求∠ADE的度数.

3. (1) 5 30 (2)
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线,
∴AD平分∠BAC,∠BAC=60°.
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=75°.
∴∠ADE的度数是75°.

【分析】
(1) 解题时首先回忆等边三角形的“三线合一”性质：等边三角形的角平分线、中线、高互相重合。已知AD是等边△ABC的角平分线，因此AD同时是BC边上的中线，可直接得到CD与BD相等；再结合等边三角形内角为60°，角平分线将角平分即可求出∠CAD的度数。
(2) 首先利用等边三角形三线合一的性质，由AD是BC边上的中线推出AD平分∠BAC，求出∠DAE的度数；再根据AD=AE可知△ADE是等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和为180°，即可计算出∠ADE的度数。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
∴AD是BC边上的中线（等边三角形三线合一），
∴CD=BD=5；
∵等边△ABC中∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
(2)
∵AD是等边△ABC的BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，且∠BAC=60°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
在△ADE中，由三角形内角和为180°可得：
∠ADE=$\frac{180°-∠DAE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°。
【答案】
(1) 5；30
(2) 75°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的特性，结合等腰三角形的等角对等边规则和内角和定理计算角度，掌握核心性质后解题难度较低。
【难度系数】
0.8

4.【新情境·衣架杆】如图1，衣架杆$OA=OB=18\ \mathrm{cm}$.若衣架收拢时，$∠ AOB=60°$，如图2，则此时$A,B$两点之间的距离是 $\mathrm{cm}$.

4. 18

【分析】
解题时首先观察已知条件，已知OA=OB，可先判定△AOB是等腰三角形，再结合给出的夹角∠AOB=60°，回忆等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可判定△AOB为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，就能直接求出A、B两点的距离。
【解析】
连接AB，
∵ OA=OB=18cm，
∴ △AOB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=18cm，
即A、B两点之间的距离是18cm。
【答案】
18
【知识点】
等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中衣架收拢的实际情境，考查等边三角形的判定与性质的应用，属于基础题，熟练掌握相关定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

5.【判定辨析】下列各项中，不能判定△ABC是等边三角形的是 （）

A.∠A=∠B=∠C
B.AB=AC,∠B=60°
C.∠A=60°,∠B=60°
D.AB=AC,∠B=∠C

5. D

【分析】
这道题考查等边三角形的判定方法，解题时首先要回忆等边三角形的常用判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来我们逐一验证每个选项是否符合上述判定定理，找出不能满足判定要求的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可计算得每个角的度数均为180°÷3=60°，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”的判定规则，能判定△ABC是等边三角形。
选项B：已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，又有∠B=60°，符合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定规则，能判定△ABC是等边三角形。
选项C：已知∠A=60°，∠B=60°，则∠C=180°-60°-60°=60°，三个角都相等，符合等边三角形判定规则，能判定△ABC是等边三角形。
选项D：已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，天然满足∠B=∠C，该条件仅能证明△ABC是等腰三角形，无法证明其为等边三角形。
【答案】
D
【知识点】
1.等边三角形的判定 2.等腰三角形的性质 3.三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分等边三角形和等腰三角形的判定、性质差异，熟练掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

6.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为$AC$的中点，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，垂足分别为$E$，$F$，且$DE=DF$.求证：$△ ABC$是等边三角形.

6. 证明：
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D为AC的中点,
∴DA=DC. 又
∵DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
∴∠A=∠C.
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.

【分析】
要证明△ABC是等边三角形，已知AB=AC，说明△ABC已经是等腰三角形，此时只需证明它的顶角和底角相等即可。结合已知条件：DE⊥AB、DF⊥BC可得△ADE和△CDF都是直角三角形，D是AC中点故AD=DC，又已知DE=DF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到∠A=∠C，再结合等腰三角形AB=AC推出的∠B=∠C，就能得到三个内角相等，从而判定△ABC为等边三角形。
【解析】
证明：
∵AB=AC，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠B=∠C。
∵DE⊥AB，DF⊥BC，根据垂直的定义，可得∠DEA=∠DFC=90°，即△ADE和△CDF均为直角三角形。
∵D为AC的中点，
∴DA=DC。
又已知DE=DF，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等的HL定理，可得Rt△ADE≌Rt△CDF。
根据全等三角形对应角相等，可得∠A=∠C。
结合之前的∠B=∠C，可推出∠A=∠B=∠C。
根据三个内角都相等的三角形是等边三角形，可得△ABC是等边三角形。
【答案】
证明：
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D为AC的中点,
∴DA=DC.
又
∵DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
∴∠A=∠C.
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形全等判定；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是利用HL定理证明直角三角形全等，得到角的等量关系，再结合等腰三角形的性质推导三个内角相等，从而完成等边三角形的判定，考查了对特殊三角形性质、判定及全等三角形证明的掌握情况。
【难度系数】
0.7