自主学习
回顾相似三角形的判定定理和性质，填写知识清单：

三角形相似的判定
1. AA(分别相等的两个三角形相似)
2. SAS(成比例且相等的两个三角形相似)
3. SSS(成比例的两个三角形相似)
4. HL(斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似)
相似三角形性质
1. 对应边成，对应角
2. 对应高、中线、角平分线的比相似比
3. 周长比相似比
4. 面积比 = 相似比的

1. 两角分别相等的两个三角形相似
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3. 三边成比例的两个三角形相似
4. 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似
1. 对应边成比例，对应角相等
2. 对应高、中线、角平分线的比等于相似比
3. 周长比等于相似比
4. 面积比等于相似比的平方

【分析】
本题是对相似三角形判定定理与性质的基础识记考查，属于直接考查基础概念的题型，不需要复杂推导，解题时只需回忆课本中对应的定理、性质内容，匹配每一处空缺的描述，填入正确的关键词即可。
【解析】
结合相似三角形的相关知识点逐一对应填空：
三角形相似的判定部分
1. AA判定的核心是两个角对应相等即可判定相似，因此空缺处填“两角”；
2. SAS判定要求两组边成比例，且两组边的夹角相等，因此两处空缺依次填“两边”“夹角”；
3. SSS判定要求三组对应边都成比例即可判定相似，因此空缺处填“三边”；
相似三角形性质部分
1. 相似三角形最基础的性质是对应边成比例、对应角相等，因此两处空缺依次填“比例”“相等”；
2. 相似三角形所有对应线段（高、中线、角平分线）的比值都和相似比一致，因此空缺处填“等于”；
3. 周长是各边长度之和，因此相似三角形的周长比也等于相似比，空缺处填“等于”；
4. 面积是长度的二维量，因此相似三角形的面积比是相似比的平方，空缺处填“平方”。
【答案】
三角形相似的判定：
1. 两角分别相等的两个三角形相似
2. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
3. 三边成比例的两个三角形相似
4. 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似
相似三角形性质：
1. 对应边成比例，对应角相等
2. 对应高、中线、角平分线的比等于相似比
3. 周长比等于相似比
4. 面积比等于相似比的平方
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考察对相似三角形核心判定和性质的记忆熟练度，这些内容是解决所有相似三角形相关题型的基础，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9

1.凸透镜是芯片制造设备——光刻机中用来缩小电路图的重要零件.如图是凸透镜缩小电路图的示意图,根据光学原理,平行于凸透镜主光轴$BB_1$的入射光线$AC$通过凸透镜时,其折射光线$CA_1$经过凸透镜右焦点$F_2$;
而经过凸透镜左焦点$F_1$的入射光线$AD$通过凸透镜时,其折射光线$DA_1$平行于凸透镜主光轴$BB_1$,已知电路图物高$AB$,像高$A_1B_1$和凸透镜$CD$都垂直于主光轴$BB_1$,$OF_1 = OF_2$, $\frac{OF_1}{BF_1} = \frac{3}{5}$,求电路图像高$A_1B_1$与物高$AB$的比.

解：由题意知$AB⊥ BB_1$，$CD⊥ BB_1$，$A_1B_1⊥ BB_1$，故$AB// DO$，可得$△ ABF_1 ∽ △ DOF_1$，因此$\frac{AB}{DO}=\frac{BF_1}{OF_1}=\frac{5}{3}$。又因为$DA_1// BB_1$，所以$DO=A_1B_1$，代入得$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{5}{3}$，即$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{3}{5}$。

【分析】
要求像高$A_1B_1$与物高$AB$的比值，可先通过图形中的平行关系寻找相似三角形，建立线段比例关系，再结合线段的等量代换求解。首先由$AB$、$CD$均垂直于主光轴$BB_1$，可判定$AB// DO$，得到相似三角形，结合已知的$\frac{OF_1}{BF_1}=\frac{3}{5}$求出$AB$与$DO$的比值；再根据折射光线$DA_1$平行于主光轴的条件，推导$DO$与$A_1B_1$的等量关系，代换后即可得到所求比值。
【解析】
解：$\because AB⊥ BB_1$，$CD⊥ BB_1$，$A_1B_1⊥ BB_1$，
$\therefore AB// DO$，$∠ ABF_1=∠ DOF_1=90°$，
又$\because ∠ AF_1B=∠ DF_1O$（对顶角相等），
$\therefore △ ABF_1 ∽ △ DOF_1$，
$\therefore \frac{AB}{DO}=\frac{BF_1}{OF_1}$，
$\because \frac{OF_1}{BF_1}=\frac{3}{5}$，$\therefore \frac{BF_1}{OF_1}=\frac{5}{3}$，即$\frac{AB}{DO}=\frac{5}{3}$。
$\because DA_1// BB_1$，$DO⊥ BB_1$，$A_1B_1⊥ BB_1$，
$\therefore$四边形$DOB_1A_1$是矩形，$\therefore DO=A_1B_1$，
代入得$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{5}{3}$，即$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合凸透镜成像的物理原理，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的关键是准确识别相似三角形，找到线段之间的比例关系与等量关系，体现了跨学科知识结合的考查特点。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$△ ABC$表示一块锐角三角形木板，边$BC = 120\ \mathrm{cm}$，高$AM = 80\ \mathrm{cm}$. 现要在其上裁出一块正方形木板，使正方形的一条边在$BC$上，其余两个顶点分别在$AB$，$AC$上，裁出的正方形木板的边长是多少？
分析：用正方形$EFGH$表示裁出的正方形木板如图，则$△ AHG$的高可以表示为$△ ABC$的高$AM$与正方形$EFGH$的边长的差. 再由 $△ AHG ∽ △ ABC$，即可找到正方形$EEGH$的边长与已知条件的关系.

解：设正方形木板的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则$HG=x$，$△ AHG$的高为$(80-x)\ \mathrm{cm}$。由$HG// BC$得$△ AHG ∽ △ ABC$，因此$\frac{HG}{BC}=\frac{80-x}{AM}$，代入数值$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，解得$x=48$。即裁出的正方形木板的边长为$48\ \mathrm{cm}$。

【分析】
要解决锐角三角形中裁出最大正方形的边长问题，首先观察图形特征：正方形上边平行于三角形底边BC，可据此判定上方小三角形与原三角形相似。再根据相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，设正方形边长为x，那么小三角形的高就是原三角形高减去正方形边长，将已知边长和高代入相似比的等量关系，列方程即可求出正方形边长。
【解析】
解：设裁出的正方形木板的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则正方形的边$HG=x\ \mathrm{cm}$，$△ AHG$对应底边HG的高为$(80-x)\ \mathrm{cm}$。
∵四边形EFGH是正方形，
∴$HG// BC$，
∴$△ AHG ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线截三角形另外两边，所得三角形与原三角形相似）。
根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{HG}{BC}=\frac{80-x}{AM}$
将$BC=120\ \mathrm{cm}$、$AM=80\ \mathrm{cm}$代入得：
$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$
交叉相乘得：$80x=120(80-x)$
展开整理得：$200x=9600$
解得：$x=48$
【答案】
裁出的正方形木板的边长是$48\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.相似三角形的性质
3.列方程解应用题
【点评】
本题是相似三角形在实际应用中的经典题型，解题关键是利用平行线构造相似三角形，结合相似三角形对应高与对应边的比例关系建立方程，掌握该模型可快速解决三角形内接矩形、正方形的边长计算类问题。
【难度系数】
0.7