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3. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, 点 $E$ 在对角线 $BD$ 上, $EM // AD$, 交 $AB$ 于点 $M$, $EN // AB$, 交 $AD$ 于点 $N$, 则下列式子一定正确的是（
A.$\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{NE}{DE}$
B.$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AD}$
C.$\dfrac{BC}{ME} = \dfrac{BE}{BD}$
D.$\dfrac{BD}{BE} = \dfrac{BC}{EM}$
D
）A.$\dfrac{AM}{BM} = \dfrac{NE}{DE}$
B.$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AD}$
C.$\dfrac{BC}{ME} = \dfrac{BE}{BD}$
D.$\dfrac{BD}{BE} = \dfrac{BC}{EM}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题可结合平行四边形的性质与相似三角形的性质求解：首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的EM//AD、EN//AB，可得到多组相似三角形；再利用相似三角形对应边成比例的特征，逐一验证四个选项的比例式是否恒成立即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD。
∵EM//AD，EN//AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，且△BEM∽△BDA。
对各选项逐一分析：
A选项：由EM//AD可得$\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{DE}{BE}$；由EN//AB可得$\dfrac{NE}{DE}=\dfrac{AB}{BD}$，两式不相等，A错误。
B选项：由EM//AD得$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{DE}{BD}$，由EN//AB得$\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{BE}{BD}$，仅当E为BD中点时两式相等，不是一定成立，B错误。
C选项：由△BEM∽△BDA，且AD=BC，得$\dfrac{AD}{ME}=\dfrac{BD}{BE}$，即$\dfrac{BC}{ME}=\dfrac{BD}{BE}$，与选项中式子不符，C错误。
D选项：由上述C的推导可知$\dfrac{BC}{ME}=\dfrac{BD}{BE}$，变形可得$\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BC}{EM}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行关系得到相似三角形，再结合比例性质验证选项，解题时要注意平行四边形对边相等的隐含条件，避免因漏用该条件判断错误。
【难度系数】
0.7
本题可结合平行四边形的性质与相似三角形的性质求解：首先根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知的EM//AD、EN//AB，可得到多组相似三角形；再利用相似三角形对应边成比例的特征，逐一验证四个选项的比例式是否恒成立即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB//CD。
∵EM//AD，EN//AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，且△BEM∽△BDA。
对各选项逐一分析：
A选项：由EM//AD可得$\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{DE}{BE}$；由EN//AB可得$\dfrac{NE}{DE}=\dfrac{AB}{BD}$，两式不相等，A错误。
B选项：由EM//AD得$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{DE}{BD}$，由EN//AB得$\dfrac{AN}{AD}=\dfrac{BE}{BD}$，仅当E为BD中点时两式相等，不是一定成立，B错误。
C选项：由△BEM∽△BDA，且AD=BC，得$\dfrac{AD}{ME}=\dfrac{BD}{BE}$，即$\dfrac{BC}{ME}=\dfrac{BD}{BE}$，与选项中式子不符，C错误。
D选项：由上述C的推导可知$\dfrac{BC}{ME}=\dfrac{BD}{BE}$，变形可得$\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BC}{EM}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用平行关系得到相似三角形，再结合比例性质验证选项，解题时要注意平行四边形对边相等的隐含条件，避免因漏用该条件判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为$h_1$. 若将横板AB换成横板$A'B'$，且$A'B' = 2AB$，O仍为$A'B'$的中点. 设$B'$点的最大高度为$h_2$，则下列结论正确的是(
A.$h_2 = 2h_1$
B.$h_2 = 1.5h_1$
C.$h_2 = h_1$
D.$h_2 = \frac{1}{2}h_1$
C
)A.$h_2 = 2h_1$
B.$h_2 = 1.5h_1$
C.$h_2 = h_1$
D.$h_2 = \frac{1}{2}h_1$
答案
4. C
解析
【分析】
要判断$h_2$与$h_1$的关系，可结合三角形中位线的性质分析：当横板的一端落到地面时，另一端达到最大高度，此时立柱$OC$是由横板、地面、端点高度线构成的三角形的中位线，中位线长度等于对应高的一半，且$OC$长度固定，据此可推导两个高度的等量关系。
【解析】
解：当$B$点达到最大高度$h_1$时，$A$点恰好落在地面上，过$B$作$BD⊥$地面于点$D$。
$\because OC⊥$地面，$BD⊥$地面，$\therefore OC// BD$
又$\because O$是$AB$的中点，$\therefore C$是$AD$的中点，即$OC$是$△ ABD$的中位线。
根据三角形中位线性质可得：$BD=2OC$，即$h_1=2OC$。
同理，当$B'$点达到最大高度$h_2$时，$A'$点落在地面上，过$B'$作$B'D'⊥$地面于点$D'$，同理可得$OC$是$△ A'B'D'$的中位线，因此$B'D'=2OC$，即$h_2=2OC$。
$\therefore h_2=h_1$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查三角形中位线的实际应用，解题的关键是明确立柱$OC$始终是对应三角形的中位线，端点的最大高度仅和$OC$的长度有关，与横板的长度无关。
【难度系数】
0.7
要判断$h_2$与$h_1$的关系，可结合三角形中位线的性质分析：当横板的一端落到地面时，另一端达到最大高度，此时立柱$OC$是由横板、地面、端点高度线构成的三角形的中位线，中位线长度等于对应高的一半，且$OC$长度固定，据此可推导两个高度的等量关系。
【解析】
解：当$B$点达到最大高度$h_1$时，$A$点恰好落在地面上，过$B$作$BD⊥$地面于点$D$。
$\because OC⊥$地面，$BD⊥$地面，$\therefore OC// BD$
又$\because O$是$AB$的中点，$\therefore C$是$AD$的中点，即$OC$是$△ ABD$的中位线。
根据三角形中位线性质可得：$BD=2OC$，即$h_1=2OC$。
同理，当$B'$点达到最大高度$h_2$时，$A'$点落在地面上，过$B'$作$B'D'⊥$地面于点$D'$，同理可得$OC$是$△ A'B'D'$的中位线，因此$B'D'=2OC$，即$h_2=2OC$。
$\therefore h_2=h_1$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中的跷跷板场景考查三角形中位线的实际应用，解题的关键是明确立柱$OC$始终是对应三角形的中位线，端点的最大高度仅和$OC$的长度有关，与横板的长度无关。
【难度系数】
0.7
5.（2025·重庆江津模拟）凸透镜成像的原理如图所示，MN是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，PM⊥MN，BN⊥MN.若物距MO与像距NO之比为5:3，测得蜡烛PM高15 cm，则像BN的高为（
A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
C
）A.6 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案
5. C
解析
【分析】
首先由垂直的定义可得PM和BN都垂直于MN，因此PM//BN；结合过凸透镜光心的光线沿直线传播，可得∠POM=∠BON，即可判定△PMO与△BNO相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物距与像距的比、蜡烛PM的高度，即可求出像BN的高度。
【解析】
∵PM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠PMO=∠BNO=90°，
又
∵∠POM=∠BON（对顶角相等），
∴△PMO∽△BNO，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{PM}{BN}=\frac{MO}{NO}$，
已知$MO:NO=5:3$，$PM=15\mathrm{cm}$，代入比例式得：
$\frac{15}{BN}=\frac{5}{3}$，
解得$BN=9\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合凸透镜成像情境考查相似三角形的应用，解题的关键是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系，体现了跨学科知识结合的考查思路。
【难度系数】
0.7
首先由垂直的定义可得PM和BN都垂直于MN，因此PM//BN；结合过凸透镜光心的光线沿直线传播，可得∠POM=∠BON，即可判定△PMO与△BNO相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物距与像距的比、蜡烛PM的高度，即可求出像BN的高度。
【解析】
∵PM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠PMO=∠BNO=90°，
又
∵∠POM=∠BON（对顶角相等），
∴△PMO∽△BNO，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{PM}{BN}=\frac{MO}{NO}$，
已知$MO:NO=5:3$，$PM=15\mathrm{cm}$，代入比例式得：
$\frac{15}{BN}=\frac{5}{3}$，
解得$BN=9\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合凸透镜成像情境考查相似三角形的应用，解题的关键是准确识别相似三角形，理清对应边的比例关系，体现了跨学科知识结合的考查思路。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=$\frac{1}{4}$CD,下列结论
:①∠BAE＝30°;②△ABE∽△AEF;③AE⊥FE;④△ADF∽△ECF. 其中正确的个数为(
:①∠BAE＝30°;②△ABE∽△AEF;③AE⊥FE;④△ADF∽△ECF. 其中正确的个数为(B
) A.1 B.2 C.3 D.4答案
6. B
解析
【分析】
首先利用正方形四边相等、四角为直角的性质，可设正方形边长为具体数值（如4，方便计算各线段长度），再对四个结论逐一验证：①通过直角三角形中锐角三角函数值判断角的度数；②用勾股定理算出△ABE和△AEF各边长度，通过三边对应成比例判断是否相似；③由相似三角形对应角相等可判断AE和EF是否垂直；④验证△ADF和△ECF的边是否满足相似判定条件即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4，则AB=BC=CD=DA=4，∠B=∠C=∠D=90°。
∵E是BC中点，
∴BE=EC=2；
∵CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=1，DF=CD-CF=3。
①在Rt△ABE中，$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，而$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\frac{1}{2}$，故∠BAE≠30°，①错误；
②由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
在△ABE和△AEF中：
$\frac{AB}{AE}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{BE}{EF}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{AE}{AF}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
即三边对应成比例，故△ABE∽△AEF，②正确；
③
∵△ABE∽△AEF，
∴∠AEF=∠B=90°，即AE⊥FE，③正确；
④在△ADF和△ECF中，$\frac{AD}{EC}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{DF}{CF}=\frac{3}{1}=3$，对应边比值不相等，故△ADF与△ECF不相似，④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形性质与相似三角形的判定，通过设特殊值量化边长的方法可简化计算，是解决此类几何问题的常用技巧，需要熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先利用正方形四边相等、四角为直角的性质，可设正方形边长为具体数值（如4，方便计算各线段长度），再对四个结论逐一验证：①通过直角三角形中锐角三角函数值判断角的度数；②用勾股定理算出△ABE和△AEF各边长度，通过三边对应成比例判断是否相似；③由相似三角形对应角相等可判断AE和EF是否垂直；④验证△ADF和△ECF的边是否满足相似判定条件即可。
【解析】
设正方形ABCD的边长为4，则AB=BC=CD=DA=4，∠B=∠C=∠D=90°。
∵E是BC中点，
∴BE=EC=2；
∵CF=$\frac{1}{4}$CD，
∴CF=1，DF=CD-CF=3。
①在Rt△ABE中，$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，而$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}≠\frac{1}{2}$，故∠BAE≠30°，①错误；
②由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
在△ABE和△AEF中：
$\frac{AB}{AE}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{BE}{EF}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$\frac{AE}{AF}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
即三边对应成比例，故△ABE∽△AEF，②正确；
③
∵△ABE∽△AEF，
∴∠AEF=∠B=90°，即AE⊥FE，③正确；
④在△ADF和△ECF中，$\frac{AD}{EC}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{DF}{CF}=\frac{3}{1}=3$，对应边比值不相等，故△ADF与△ECF不相似，④错误。
综上，正确的结论为②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查正方形性质与相似三角形的判定，通过设特殊值量化边长的方法可简化计算，是解决此类几何问题的常用技巧，需要熟练掌握相似三角形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
7. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90°, ∠ABC = 60°, BC =2 cm,D 为 BC 的中点. 动点 E 以1 cm/s 的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动.设E点的运动时间为t s(0 ≤ t ＜ 6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为(
A.2
B.2.5或3.5
C.3.5或4.5
D.2或3.5或4.5
D
)A.2
B.2.5或3.5
C.3.5或4.5
D.2或3.5或4.5
答案
7. D
解析
【分析】
首先根据Rt△ABC的角度和边长求出AB的长度，明确D点到B点的距离；再结合动点E的运动路径（A→B→A），分E在A到B的运动阶段、B到A的运动阶段两个过程讨论；针对每个过程，再分△BDE的直角为∠EDB和∠BED两种情况，利用含30°角的直角三角形的性质列方程求解，最后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=2×2=4cm。
∵D为BC中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1cm。
动点E的运动分两个阶段：
1. 当0≤t≤4时，E从A向B运动，AE=t cm，BE=(4-t)cm：
①若∠EDB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2×1=2cm，即4-t=2，解得t=2，符合取值范围；
②若∠BED=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=0.5cm，即4-t=0.5，解得t=3.5，符合取值范围；
2. 当4＜t＜6时，E从B向A运动，BE=(t-4)cm：
①若∠EDB=90°，则BE=2BD=2cm，即t-4=2，解得t=6，不符合t＜6的条件，舍去；
②若∠BED=90°，则BE=$\frac{1}{2}$BD=0.5cm，即t-4=0.5，解得t=4.5，符合取值范围。
综上，t的值为2或3.5或4.5。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，动点问题，分类讨论
【点评】
本题考查动点与直角三角形结合的问题，解题关键是明确动点的运动阶段，对直角三角形的直角位置分类讨论，同时要注意验证所求的解是否符合时间的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
首先根据Rt△ABC的角度和边长求出AB的长度，明确D点到B点的距离；再结合动点E的运动路径（A→B→A），分E在A到B的运动阶段、B到A的运动阶段两个过程讨论；针对每个过程，再分△BDE的直角为∠EDB和∠BED两种情况，利用含30°角的直角三角形的性质列方程求解，最后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=2×2=4cm。
∵D为BC中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=1cm。
动点E的运动分两个阶段：
1. 当0≤t≤4时，E从A向B运动，AE=t cm，BE=(4-t)cm：
①若∠EDB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2×1=2cm，即4-t=2，解得t=2，符合取值范围；
②若∠BED=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=0.5cm，即4-t=0.5，解得t=3.5，符合取值范围；
2. 当4＜t＜6时，E从B向A运动，BE=(t-4)cm：
①若∠EDB=90°，则BE=2BD=2cm，即t-4=2，解得t=6，不符合t＜6的条件，舍去；
②若∠BED=90°，则BE=$\frac{1}{2}$BD=0.5cm，即t-4=0.5，解得t=4.5，符合取值范围。
综上，t的值为2或3.5或4.5。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的性质，动点问题，分类讨论
【点评】
本题考查动点与直角三角形结合的问题，解题关键是明确动点的运动阶段，对直角三角形的直角位置分类讨论，同时要注意验证所求的解是否符合时间的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
8. 在一张比例尺为$1:4000$的地图上，一个多边形地区的面积是$250\ \mathrm{cm}^2$，则这个地区的实际面积是
$4× 10^5$
$\mathrm{m}^2$.答案
8. $4 × 10^5$
解析
【分析】
本题可结合相似图形的性质求解，首先明确比例尺是图上长度与实际长度的比值，地图上的多边形与实际多边形是相似图形，相似比等于比例尺；再根据“相似图形的面积比等于相似比的平方”，结合图上面积算出实际面积的平方厘米数，最后换算为平方米即可。
【解析】
设该地区的实际面积为$S\mathrm{cm}^2$，已知比例尺为$1:4000$，即相似比为$\frac{1}{4000}$，图上面积为$250\mathrm{cm}^2$。
根据相似图形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{250}{S}=(\frac{1}{4000})^2$
解得：$S=250×4000^2=250×16000000=4×10^9\mathrm{cm}^2$
接下来进行单位换算：
因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$，所以$1\mathrm{m}^2=10^4\mathrm{cm}^2$
则$4×10^9\mathrm{cm}^2=4×10^9÷10^4=4×10^5\mathrm{m}^2$
【答案】
$4×10^5$
【知识点】
相似图形面积性质；比例尺应用；面积单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是明确面积比是比例尺的平方，不要直接用长度比例尺计算面积，另外要注意面积单位的换算规则，避免单位换算出错。
【难度系数】
0.7
本题可结合相似图形的性质求解，首先明确比例尺是图上长度与实际长度的比值，地图上的多边形与实际多边形是相似图形，相似比等于比例尺；再根据“相似图形的面积比等于相似比的平方”，结合图上面积算出实际面积的平方厘米数，最后换算为平方米即可。
【解析】
设该地区的实际面积为$S\mathrm{cm}^2$，已知比例尺为$1:4000$，即相似比为$\frac{1}{4000}$，图上面积为$250\mathrm{cm}^2$。
根据相似图形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{250}{S}=(\frac{1}{4000})^2$
解得：$S=250×4000^2=250×16000000=4×10^9\mathrm{cm}^2$
接下来进行单位换算：
因为$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$，所以$1\mathrm{m}^2=10^4\mathrm{cm}^2$
则$4×10^9\mathrm{cm}^2=4×10^9÷10^4=4×10^5\mathrm{m}^2$
【答案】
$4×10^5$
【知识点】
相似图形面积性质；比例尺应用；面积单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是明确面积比是比例尺的平方，不要直接用长度比例尺计算面积，另外要注意面积单位的换算规则，避免单位换算出错。
【难度系数】
0.7
9. 如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 AC,AB 上,△ADE ∽ △ABC,点 M,N 分别是 DE,BC 的中点. 如果$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$,那么$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$
$\frac{1}{4}$
. 答案
9. $\frac{1}{4}$
解析
【分析】
遇到相似三角形及对应边上的中线相关问题，首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。本题中M、N分别是相似三角形对应边DE、BC的中点，因此AM、AN是两个三角形的对应中线，先通过中线的比值得到相似比，再根据相似比计算面积比即可。
【解析】
解：
∵△ADE ∽ △ABC，M是DE的中点，N是BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形中线性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的直接应用，解题核心是准确识别对应中线，牢记相似比和面积比的关系，难度较低，掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到相似三角形及对应边上的中线相关问题，首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。本题中M、N分别是相似三角形对应边DE、BC的中点，因此AM、AN是两个三角形的对应中线，先通过中线的比值得到相似比，再根据相似比计算面积比即可。
【解析】
解：
∵△ADE ∽ △ABC，M是DE的中点，N是BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，
∴相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形中线性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的直接应用，解题核心是准确识别对应中线，牢记相似比和面积比的关系，难度较低，掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$,且$AB:A'B'=3:4,△ ABC$的周长为$12\ \mathrm{cm}$,则$△ A'B'C'$的周长为
$16\ \mathrm{cm}$
.答案
10. $16\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
拿到这道题，首先看到题干给出两个三角形相似，且给出了对应边的比值（即相似比），要求另一个三角形的周长，首先要联想到相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比。解题时首先要明确相似比的对应关系：△ABC与△A'B'C'的相似比为3:4，因此二者的周长比也为3:4，再代入已知的△ABC的周长，通过列比例式即可求出△A'B'C'的周长，注意不要把相似比的前后项写反，避免计算错误。
【解析】
解：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且$AB:A'B'=3:4$
∴$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$3:4$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{3}{4}$
已知$C_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}$，代入上式得：
$\frac{12}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{3}{4}$
交叉相乘计算：
$3C_{△ A'B'C'}=12×4$
$C_{△ A'B'C'}=16\ \mathrm{cm}$
【答案】
$16\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 比例式求解
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟记相似三角形周长比等于相似比的规律，只要明确相似比的对应关系，就能快速算出结果，是基础得分题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先看到题干给出两个三角形相似，且给出了对应边的比值（即相似比），要求另一个三角形的周长，首先要联想到相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比。解题时首先要明确相似比的对应关系：△ABC与△A'B'C'的相似比为3:4，因此二者的周长比也为3:4，再代入已知的△ABC的周长，通过列比例式即可求出△A'B'C'的周长，注意不要把相似比的前后项写反，避免计算错误。
【解析】
解：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且$AB:A'B'=3:4$
∴$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$3:4$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得：
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{3}{4}$
已知$C_{△ ABC}=12\ \mathrm{cm}$，代入上式得：
$\frac{12}{C_{△ A'B'C'}}=\frac{3}{4}$
交叉相乘计算：
$3C_{△ A'B'C'}=12×4$
$C_{△ A'B'C'}=16\ \mathrm{cm}$
【答案】
$16\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 比例式求解
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是熟记相似三角形周长比等于相似比的规律，只要明确相似比的对应关系，就能快速算出结果，是基础得分题。
【难度系数】
0.8
11. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边AC,AB上的点,且$AD=2,DC=4,AE=3,EB=1$,则$\frac{DE}{BC}=$
$\frac{1}{2}$
. 答案
11. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要求$\frac{DE}{BC}$的比值，可通过证明$△ADE$与$△ACB$相似求解。首先先计算AC、AB的长度，验证两个三角形的两组对应边是否成比例，再结合公共角∠A，即可判定三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例得到所求比值。
【解析】
解：由题意得：
$AC=AD+DC=2+4=6$，
$AB=AE+EB=3+1=4$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
即 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
又
∵ $∠ A$是$△ADE$和$△ACB$的公共角，$∠ A=∠ A$，
∴ $△ADE ∽ △ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是找到两组成比例的对应边和公共角判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质计算比值，解题过程中注意不要混淆对应边。
【难度系数】
0.7
要求$\frac{DE}{BC}$的比值，可通过证明$△ADE$与$△ACB$相似求解。首先先计算AC、AB的长度，验证两个三角形的两组对应边是否成比例，再结合公共角∠A，即可判定三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例得到所求比值。
【解析】
解：由题意得：
$AC=AD+DC=2+4=6$，
$AB=AE+EB=3+1=4$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
即 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
又
∵ $∠ A$是$△ADE$和$△ACB$的公共角，$∠ A=∠ A$，
∴ $△ADE ∽ △ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题关键是找到两组成比例的对应边和公共角判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质计算比值，解题过程中注意不要混淆对应边。
【难度系数】
0.7
12. 如图 ① 是液体沙漏的平面示意图(数据如图),经过一段时间后的液体如图 ②所示,此时液面AB = 
$\frac{8}{3}$
cm. 答案
12. $\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用相似三角形的性质和液体面积不变的隐含条件。首先观察图形可知，沙漏的两个对顶三角形为相似三角形，图①中液体是高为6cm、底边长4cm的三角形。图②中液体分为上下两部分，上方液体是顶点与原三角形公共顶点（交点）重合的小三角形，先求出该小三角形的高，再根据相似三角形对应边与对应高成比例，即可求出AB的长度。
【解析】
解：由图①可知，上方阴影三角形（液体）的底为4cm，高为$12 - 6 = 6\,\mathrm{cm}$，该三角形与图②中以AB为底的阴影三角形是相似三角形。
图②中，AB到两个三角形公共顶点（交点）的高度为$10 - 6 = 4\,\mathrm{cm}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，设$AB = x\,\mathrm{cm}$，可得：
$\frac{x}{4} = \frac{4}{6}$
解得：$x = \frac{4×4}{6} = \frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
相似三角形的性质，等积变换
【点评】
本题结合生活中的沙漏模型考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确找到相似三角形的对应高，利用相似比求解对应边长，同时注意液体体积（平面图形中为面积）不变这一隐含条件的运用。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是利用相似三角形的性质和液体面积不变的隐含条件。首先观察图形可知，沙漏的两个对顶三角形为相似三角形，图①中液体是高为6cm、底边长4cm的三角形。图②中液体分为上下两部分，上方液体是顶点与原三角形公共顶点（交点）重合的小三角形，先求出该小三角形的高，再根据相似三角形对应边与对应高成比例，即可求出AB的长度。
【解析】
解：由图①可知，上方阴影三角形（液体）的底为4cm，高为$12 - 6 = 6\,\mathrm{cm}$，该三角形与图②中以AB为底的阴影三角形是相似三角形。
图②中，AB到两个三角形公共顶点（交点）的高度为$10 - 6 = 4\,\mathrm{cm}$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，设$AB = x\,\mathrm{cm}$，可得：
$\frac{x}{4} = \frac{4}{6}$
解得：$x = \frac{4×4}{6} = \frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
相似三角形的性质，等积变换
【点评】
本题结合生活中的沙漏模型考查相似三角形的实际应用，解题的关键是准确找到相似三角形的对应高，利用相似比求解对应边长，同时注意液体体积（平面图形中为面积）不变这一隐含条件的运用。
【难度系数】
0.6
