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16. (12分)如图14,甲物体高4 m,影长3 m,乙物体高2 m,影长4 m,两物体相距5 m。
(1)在图中画出灯的位置,并画出丙物体的影子；
(2)若灯杆、甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上,试求出灯的高度。
(1)在图中画出灯的位置,并画出丙物体的影子；
(2)若灯杆、甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上,试求出灯的高度。
答案
(1) 作图步骤：
分别过甲物体顶端和甲影子的右端点作直线，过乙物体顶端和乙影子的右端点作直线，两条直线的交点即为灯的位置；过该交点作地面的垂线得到灯杆，连接灯的位置与丙物体的顶端并延长交地面于一点，该点与丙物体底部之间的线段即为丙物体的影子。
（注：按上述描述在图中完成对应绘制即可）
---
(2) 解：
设灯的高度为$h\ \mathrm{m}$，灯的底部到甲物体底部的水平距离为$x\ \mathrm{m}$。
由于灯杆、甲、乙都与地面垂直，根据中心投影下的相似三角形性质：
对甲物体有：
$\frac{4}{h} = \frac{3}{x+3}$
乙物体与甲物体相距$5\ \mathrm{m}$，乙的影长为$4\ \mathrm{m}$，因此灯的底部到乙影子右端点的水平距离为$x+5+4=x+9\ \mathrm{m}$，对乙物体有：
$\frac{2}{h} = \frac{4}{x+9}$
化简第二个方程得：$h=\frac{x+9}{2}$，将其代入第一个方程：
$\frac{4}{\frac{x+9}{2}} = \frac{3}{x+3}$
$\frac{8}{x+9} = \frac{3}{x+3}$
交叉相乘得：
$8(x+3)=3(x+9)$
展开计算：
$8x+24=3x+27$
$5x=3$
解得$x=0.6$。
将$x=0.6$代入$h=\frac{x+9}{2}$，得：
$h=\frac{0.6+9}{2}=4.8$
答：灯的高度为$\boldsymbol{4.8\ \mathrm{m}}$。
分别过甲物体顶端和甲影子的右端点作直线，过乙物体顶端和乙影子的右端点作直线，两条直线的交点即为灯的位置；过该交点作地面的垂线得到灯杆，连接灯的位置与丙物体的顶端并延长交地面于一点，该点与丙物体底部之间的线段即为丙物体的影子。
（注：按上述描述在图中完成对应绘制即可）
---
(2) 解：
设灯的高度为$h\ \mathrm{m}$，灯的底部到甲物体底部的水平距离为$x\ \mathrm{m}$。
由于灯杆、甲、乙都与地面垂直，根据中心投影下的相似三角形性质：
对甲物体有：
$\frac{4}{h} = \frac{3}{x+3}$
乙物体与甲物体相距$5\ \mathrm{m}$，乙的影长为$4\ \mathrm{m}$，因此灯的底部到乙影子右端点的水平距离为$x+5+4=x+9\ \mathrm{m}$，对乙物体有：
$\frac{2}{h} = \frac{4}{x+9}$
化简第二个方程得：$h=\frac{x+9}{2}$，将其代入第一个方程：
$\frac{4}{\frac{x+9}{2}} = \frac{3}{x+3}$
$\frac{8}{x+9} = \frac{3}{x+3}$
交叉相乘得：
$8(x+3)=3(x+9)$
展开计算：
$8x+24=3x+27$
$5x=3$
解得$x=0.6$。
将$x=0.6$代入$h=\frac{x+9}{2}$，得：
$h=\frac{0.6+9}{2}=4.8$
答：灯的高度为$\boldsymbol{4.8\ \mathrm{m}}$。
解析
【分析】
(1) 中心投影的光源是点光源，光线从同一点发出，因此分别连接甲、乙物体的顶端和各自影子的右端点，两条直线的交点就是灯的位置；再连接灯的位置和丙物体顶端并延长交地面于一点，该点到丙物体底部的线段就是丙的影子。
(2) 垂直于地面的物体与灯杆平行，会和光线、地面构成相似三角形，对应边成比例。我们设灯的高度为$h$，灯底部到甲物体底部的水平距离为$x$，分别针对甲、乙物体列出相似的比例方程，联立求解即可得到灯的高度。
【解析】
(1) 作图步骤：
①分别过甲物体顶端和甲影子的右端点作直线，过乙物体顶端和乙影子的右端点作直线，两条直线的交点即为灯的位置；
②过该交点向地面作垂线得到灯杆；
③连接灯的位置与丙物体的顶端并延长交地面于一点，该点与丙物体底部之间的线段就是丙物体的影子。
(2) 解：设灯的高度为$h\ \mathrm{m}$，灯的底部到甲物体底部的水平距离为$x\ \mathrm{m}$。
由于灯杆、甲、乙都与地面垂直，根据中心投影下的相似三角形性质：
对甲物体有：
$\frac{4}{h} = \frac{3}{x+3}$
甲、乙两物体相距$5\ \mathrm{m}$，乙的影长为$4\ \mathrm{m}$，因此灯的底部到乙影子右端点的水平距离为$x+5+4=x+9\ \mathrm{m}$，对乙物体有：
$\frac{2}{h} = \frac{4}{x+9}$
化简第二个方程得：$h=\frac{x+9}{2}$，将其代入第一个方程：
$\frac{4}{\frac{x+9}{2}} = \frac{3}{x+3}$
整理得：$\frac{8}{x+9} = \frac{3}{x+3}$
交叉相乘得：$8(x+3)=3(x+9)$
展开计算：$8x+24=3x+27$
移项合并同类项得：$5x=3$
解得$x=0.6$。
将$x=0.6$代入$h=\frac{x+9}{2}$，得$h=\frac{0.6+9}{2}=4.8$。
【答案】
(1) 按上述作图步骤完成绘制即可；
(2) $\boldsymbol{4.8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是中心投影与相似三角形结合的实际应用题，作图的关键是理解中心投影的光线为点光源发出的放射状光线，计算的核心是准确找到相似三角形的对应边，理清各线段之间的长度关系，是几何知识应用于生活场景的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 中心投影的光源是点光源，光线从同一点发出，因此分别连接甲、乙物体的顶端和各自影子的右端点，两条直线的交点就是灯的位置；再连接灯的位置和丙物体顶端并延长交地面于一点，该点到丙物体底部的线段就是丙的影子。
(2) 垂直于地面的物体与灯杆平行，会和光线、地面构成相似三角形，对应边成比例。我们设灯的高度为$h$，灯底部到甲物体底部的水平距离为$x$，分别针对甲、乙物体列出相似的比例方程，联立求解即可得到灯的高度。
【解析】
(1) 作图步骤：
①分别过甲物体顶端和甲影子的右端点作直线，过乙物体顶端和乙影子的右端点作直线，两条直线的交点即为灯的位置；
②过该交点向地面作垂线得到灯杆；
③连接灯的位置与丙物体的顶端并延长交地面于一点，该点与丙物体底部之间的线段就是丙物体的影子。
(2) 解：设灯的高度为$h\ \mathrm{m}$，灯的底部到甲物体底部的水平距离为$x\ \mathrm{m}$。
由于灯杆、甲、乙都与地面垂直，根据中心投影下的相似三角形性质：
对甲物体有：
$\frac{4}{h} = \frac{3}{x+3}$
甲、乙两物体相距$5\ \mathrm{m}$，乙的影长为$4\ \mathrm{m}$，因此灯的底部到乙影子右端点的水平距离为$x+5+4=x+9\ \mathrm{m}$，对乙物体有：
$\frac{2}{h} = \frac{4}{x+9}$
化简第二个方程得：$h=\frac{x+9}{2}$，将其代入第一个方程：
$\frac{4}{\frac{x+9}{2}} = \frac{3}{x+3}$
整理得：$\frac{8}{x+9} = \frac{3}{x+3}$
交叉相乘得：$8(x+3)=3(x+9)$
展开计算：$8x+24=3x+27$
移项合并同类项得：$5x=3$
解得$x=0.6$。
将$x=0.6$代入$h=\frac{x+9}{2}$，得$h=\frac{0.6+9}{2}=4.8$。
【答案】
(1) 按上述作图步骤完成绘制即可；
(2) $\boldsymbol{4.8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是中心投影与相似三角形结合的实际应用题，作图的关键是理解中心投影的光线为点光源发出的放射状光线，计算的核心是准确找到相似三角形的对应边，理清各线段之间的长度关系，是几何知识应用于生活场景的典型题型。
【难度系数】
0.7
17.(12分)已知图15为一个几何体的三视图。
主视图：长方形左视图：长方形
俯视图：等边三角形
(1)写出这个几何体的名称；
(2)任意画出它的一种表面展开图；
(3)若主视图的长为10 cm,俯视图中三角形的边长为4 cm,求这个几何体的侧面积。
主视图：长方形左视图：长方形
俯视图：等边三角形
(1)写出这个几何体的名称；
(2)任意画出它的一种表面展开图；
(3)若主视图的长为10 cm,俯视图中三角形的边长为4 cm,求这个几何体的侧面积。
答案
解：
(1) 这个几何体的名称是正三棱柱。
(2) 该几何体的表面展开图不唯一：由3个完全相同的长方形依次沿宽边拼接成一排，将2个全等的边长为4cm的等边三角形分别拼接在长方形组合的不同侧边，满足正三棱柱展开图由3个矩形和2个全等等边三角形组成的结构要求即可。
(3) 由题意可知，该正三棱柱的侧棱长为10 cm，底面等边三角形的边长为4 cm，三个侧面均为长10 cm、宽4 cm的长方形，
侧面积为：$3× 4× 10=120\ \mathrm{cm}^2$
答：这个几何体的侧面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 这个几何体的名称是正三棱柱。
(2) 该几何体的表面展开图不唯一：由3个完全相同的长方形依次沿宽边拼接成一排，将2个全等的边长为4cm的等边三角形分别拼接在长方形组合的不同侧边，满足正三棱柱展开图由3个矩形和2个全等等边三角形组成的结构要求即可。
(3) 由题意可知，该正三棱柱的侧棱长为10 cm，底面等边三角形的边长为4 cm，三个侧面均为长10 cm、宽4 cm的长方形，
侧面积为：$3× 4× 10=120\ \mathrm{cm}^2$
答：这个几何体的侧面积为$120\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1)判断几何体名称时，先根据主视图、左视图均为长方形，确定该几何体属于柱体，再结合俯视图为等边三角形，可知柱体底面是等边三角形，即可得出几何体名称；
(2)画表面展开图时，明确正三棱柱的结构：3个侧面是全等的长方形，2个底面是全等的等边三角形，展开时将3个长方形沿宽拼接，再把两个等边三角形分别接在长方形组的对应侧边即可，答案不唯一，符合结构要求即可；
(3)计算侧面积时，先对应三视图的棱长：主视图的长对应正三棱柱的侧棱长，俯视图等边三角形的边长对应底面边长，每个侧面都是长10cm、宽4cm的长方形，侧面积为3个侧面长方形的面积之和，代入数据计算即可。
【解析】
(1) 主视图和左视图为长方形说明该几何体是柱体，俯视图为等边三角形说明底面是等边三角形，因此这个几何体是正三棱柱。
(2) 正三棱柱的表面展开图结构：3个完全相同的长方形依次沿宽拼接成一排，再将2个边长为4cm的全等等边三角形，分别拼接在长方形组合的不同侧边即可，展开图不唯一，满足上述结构要求即可。
(3) 由题意可知，该正三棱柱的侧棱长为10 cm，底面等边三角形的边长为4 cm，三个侧面均为长10 cm、宽4 cm的长方形，
侧面积为：$3× 4× 10=120\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 正三棱柱；
(2) 展开图由3个全等长方形和2个全等等边三角形组成，符合结构即可；
(3) $120\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判断几何体，几何体的展开图，棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查三视图与几何体的对应关系、几何体展开图特征、棱柱侧面积的计算，解题关键是准确根据三视图还原几何体，明确三视图数据对应的几何体实际棱长，掌握棱柱侧面积的计算方法。
【难度系数】
0.8
(1)判断几何体名称时，先根据主视图、左视图均为长方形，确定该几何体属于柱体，再结合俯视图为等边三角形，可知柱体底面是等边三角形，即可得出几何体名称；
(2)画表面展开图时，明确正三棱柱的结构：3个侧面是全等的长方形，2个底面是全等的等边三角形，展开时将3个长方形沿宽拼接，再把两个等边三角形分别接在长方形组的对应侧边即可，答案不唯一，符合结构要求即可；
(3)计算侧面积时，先对应三视图的棱长：主视图的长对应正三棱柱的侧棱长，俯视图等边三角形的边长对应底面边长，每个侧面都是长10cm、宽4cm的长方形，侧面积为3个侧面长方形的面积之和，代入数据计算即可。
【解析】
(1) 主视图和左视图为长方形说明该几何体是柱体，俯视图为等边三角形说明底面是等边三角形，因此这个几何体是正三棱柱。
(2) 正三棱柱的表面展开图结构：3个完全相同的长方形依次沿宽拼接成一排，再将2个边长为4cm的全等等边三角形，分别拼接在长方形组合的不同侧边即可，展开图不唯一，满足上述结构要求即可。
(3) 由题意可知，该正三棱柱的侧棱长为10 cm，底面等边三角形的边长为4 cm，三个侧面均为长10 cm、宽4 cm的长方形，
侧面积为：$3× 4× 10=120\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 正三棱柱；
(2) 展开图由3个全等长方形和2个全等等边三角形组成，符合结构即可；
(3) $120\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判断几何体，几何体的展开图，棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查三视图与几何体的对应关系、几何体展开图特征、棱柱侧面积的计算，解题关键是准确根据三视图还原几何体，明确三视图数据对应的几何体实际棱长，掌握棱柱侧面积的计算方法。
【难度系数】
0.8
