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1. 如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA，OC。若∠ADC=43°，则∠AOC的度数为
86°
。答案
1. 86°
解析
【分析】
本题要求圆心角∠AOC的度数，已知圆周角∠ADC的度数，解题思路如下：首先观察两个角所对应的弧，可发现二者均对应劣弧AC；再回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需将已知的圆周角度数乘2，即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵∠ADC是⊙O中劣弧AC所对的圆周角，∠AOC是⊙O中劣弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠ADC，
又
∵∠ADC=43°，
∴∠AOC=2×43°=86°。
【答案】
86°
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是准确找到同弧所对的圆周角和圆心角，直接套用圆周角定理即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
本题要求圆心角∠AOC的度数，已知圆周角∠ADC的度数，解题思路如下：首先观察两个角所对应的弧，可发现二者均对应劣弧AC；再回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此只需将已知的圆周角度数乘2，即可求出圆心角的度数。
【解析】
解：
∵∠ADC是⊙O中劣弧AC所对的圆周角，∠AOC是⊙O中劣弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠ADC，
又
∵∠ADC=43°，
∴∠AOC=2×43°=86°。
【答案】
86°
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题是基础计算题，解题的关键是准确找到同弧所对的圆周角和圆心角，直接套用圆周角定理即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
2. 如图
，AB是$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的点，$CD=CB$，$CE⊥ AB$于点E，连接BD交CE于点F.
(1)求证:$CF=BF$;
(2)若$CD=2$，$AC=4$，求弦BD的长.
，AB是$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上的点，$CD=CB$，$CE⊥ AB$于点E，连接BD交CE于点F.(1)求证:$CF=BF$;
(2)若$CD=2$，$AC=4$，求弦BD的长.
答案
(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∴∠A=90°−∠ABC。
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°。
∴∠ECB=90°−∠ABC。
∴∠A=∠ECB。又
∵CD=CB，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$。
∴∠DBC=∠A。
∴∠ECB=∠DBC。
∴CF=BF
(2) 如答图33，连接OD，OC，交BD于点G，则OD=OB。又
∵CD=BC，
∴OC⊥BD，DG=BG。
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=BC=2，
∴在Rt△ACB中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∴⊙O的半径为$\sqrt{5}$。设OG=x，则CG=$\sqrt{5}−x$，由勾股定理，得$BG^2=OB^2−OG^2=BC^2−CG^2$，
∴$(\sqrt{5})^2−x^2=2^2−(\sqrt{5}−x)^2$，解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$。
∴$BG=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
∴$BD=\frac{8\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证CF=BF，可转化为证两角相等：先利用直径所对圆周角为直角、CE⊥AB的条件，通过同角的余角相等得到∠A=∠ECB；再结合等弦对等弧、同弧所对圆周角相等，推出∠DBC=∠A，等量代换得到∠ECB=∠DBC，即可由等角对等边得证。
(2) 要求BD的长，根据CD=CB可知OC垂直平分BD，故只需先求BG的长再乘2即可：先用勾股定理求出直径AB的长度，得到圆的半径；再设OG=x，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示BG²，列方程求解出x，进而求出BG，最终得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠ABC。
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°−∠ABC，
∴∠A=∠ECB。
又
∵CD=CB，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF。
(2) 解：如答图33，连接OD，OC，交BD于点G，则OD=OB。
又
∵CD=BC，
∴OC⊥BD，DG=BG。
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=BC=2，
∴在Rt△ACB中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{5}$。
设OG=x，则CG=$\sqrt{5}−x$，由勾股定理，得$BG^2=OB^2−OG^2=BC^2−CG^2$，
∴$(\sqrt{5})^2−x^2=2^2−(\sqrt{5}−x)^2$，解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$BG=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$BD=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形的判定与方程思想在几何计算中的应用，第一问逻辑链条清晰，侧重角的等量代换；第二问需要合理作辅助线构造直角三角形，是圆的常规综合题，能够较好地考查学生对圆相关性质的掌握程度和几何运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证CF=BF，可转化为证两角相等：先利用直径所对圆周角为直角、CE⊥AB的条件，通过同角的余角相等得到∠A=∠ECB；再结合等弦对等弧、同弧所对圆周角相等，推出∠DBC=∠A，等量代换得到∠ECB=∠DBC，即可由等角对等边得证。
(2) 要求BD的长，根据CD=CB可知OC垂直平分BD，故只需先求BG的长再乘2即可：先用勾股定理求出直径AB的长度，得到圆的半径；再设OG=x，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示BG²，列方程求解出x，进而求出BG，最终得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠ABC。
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°−∠ABC，
∴∠A=∠ECB。
又
∵CD=CB，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF。
(2) 解：如答图33，连接OD，OC，交BD于点G，则OD=OB。
又
∵CD=BC，
∴OC⊥BD，DG=BG。
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=BC=2，
∴在Rt△ACB中，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{5}$。
设OG=x，则CG=$\sqrt{5}−x$，由勾股定理，得$BG^2=OB^2−OG^2=BC^2−CG^2$，
∴$(\sqrt{5})^2−x^2=2^2−(\sqrt{5}−x)^2$，解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴$BG=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$BD=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{\frac{8\sqrt{5}}{5}}$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 垂径定理
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、等腰三角形的判定与方程思想在几何计算中的应用，第一问逻辑链条清晰，侧重角的等量代换；第二问需要合理作辅助线构造直角三角形，是圆的常规综合题，能够较好地考查学生对圆相关性质的掌握程度和几何运算能力。
【难度系数】
0.7
3. 在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BC}$的长与$\odot O$的直径的比为$\frac{π}{6}$，则$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角的度数为（
A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$180°$
A
）.A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$180°$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先求出弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，再根据圆周角定理得到对应的圆周角度数。具体思考路径：①题目给出了弧长与直径的比值，可通过弧长公式建立等式，求出弧对应的圆心角度数；②根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，即可计算出所求圆周角的度数。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$n°$，则$\odot O$的直径为$2R$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BC}$的长为：$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}$
由题意得$\frac{l_{\overset{\frown}{BC}}}{2R}=\frac{π}{6}$，将弧长公式代入得：
$\frac{\frac{nπ R}{180}}{2R}=\frac{π}{6}$
约去等式两边的$R$和$π$，化简得：$\frac{n}{360}=\frac{1}{6}$
解得$n=60$，即$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$60°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为$\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 弧长公式
2. 圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，核心是灵活运用弧长公式和圆周角定理，解题的关键是通过已知的比例关系先求出圆心角度数，再转化为圆周角，整体计算量小，熟记公式即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先求出弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角，再根据圆周角定理得到对应的圆周角度数。具体思考路径：①题目给出了弧长与直径的比值，可通过弧长公式建立等式，求出弧对应的圆心角度数；②根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，即可计算出所求圆周角的度数。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$，$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$n°$，则$\odot O$的直径为$2R$。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{BC}$的长为：$l_{\overset{\frown}{BC}}=\frac{nπ R}{180}$
由题意得$\frac{l_{\overset{\frown}{BC}}}{2R}=\frac{π}{6}$，将弧长公式代入得：
$\frac{\frac{nπ R}{180}}{2R}=\frac{π}{6}$
约去等式两边的$R$和$π$，化简得：$\frac{n}{360}=\frac{1}{6}$
解得$n=60$，即$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角为$60°$。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角为$\frac{1}{2}×60°=30°$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 弧长公式
2. 圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，核心是灵活运用弧长公式和圆周角定理，解题的关键是通过已知的比例关系先求出圆心角度数，再转化为圆周角，整体计算量小，熟记公式即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 如图3，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8 cm，以点C为圆心，8 cm为半径画弧，以BC为直径作半圆，求阴影部分的面积.
答案
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠ACB=90°。由题意得以BC为直径作的半圆其半径为$\frac{1}{2}BC=4$ cm。
∴$S_{阴影}=S_{扇形ACB}−S_{半圆}=\frac{90π×8^2}{360}−\frac{1}{2}×π×4^2=8π(cm^2)$
解析
【分析】
本题为不规则图形的面积求解问题，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差计算。首先根据等腰直角三角形的性质可确定∠ACB=90°，因此以C为圆心、8cm为半径的弧AB对应的是圆心角为90°的扇形ACB；再明确以BC为直径的半圆半径为4cm。通过观察图形，可将左侧阴影部分割补到右侧三角形ABC内的对应空白位置，此时阴影面积恰好等于扇形ACB的面积减去以BC为直径的半圆的面积，代入对应公式即可求解。
【解析】
解：
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8cm，
∴∠ACB=90°，
由题意得，以BC为直径的半圆的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$cm，
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{扇形ACB}-S_{半圆}\\&=\frac{90π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×π×4^2\\&=16π-8π\\&=8π(cm^2)\end{aligned}$
【答案】
$8π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题关键是灵活运用割补法将未知的不规则面积转化为规则图形的面积差，需熟练掌握扇形、圆的面积计算公式。
【难度系数】
0.7
本题为不规则图形的面积求解问题，解题核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差计算。首先根据等腰直角三角形的性质可确定∠ACB=90°，因此以C为圆心、8cm为半径的弧AB对应的是圆心角为90°的扇形ACB；再明确以BC为直径的半圆半径为4cm。通过观察图形，可将左侧阴影部分割补到右侧三角形ABC内的对应空白位置，此时阴影面积恰好等于扇形ACB的面积减去以BC为直径的半圆的面积，代入对应公式即可求解。
【解析】
解：
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8cm，
∴∠ACB=90°，
由题意得，以BC为直径的半圆的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$cm，
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{扇形ACB}-S_{半圆}\\&=\frac{90π×8^2}{360}-\frac{1}{2}×π×4^2\\&=16π-8π\\&=8π(cm^2)\end{aligned}$
【答案】
$8π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题关键是灵活运用割补法将未知的不规则面积转化为规则图形的面积差，需熟练掌握扇形、圆的面积计算公式。
【难度系数】
0.7
