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1. [2026扬州期中]9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（
A.$\sqrt{9}=3$
B.$\pm\sqrt{9}=3$
C.$\sqrt{9}=\pm3$
D.$\pm\sqrt{9}=\pm3$
D
）A.$\sqrt{9}=3$
B.$\pm\sqrt{9}=3$
C.$\sqrt{9}=\pm3$
D.$\pm\sqrt{9}=\pm3$
答案
D
2. [2026周口月考]下列各数中,没有平方根的是（
A.2
B.0
C.$-(-5)^2$
D.$|-2|$
C
）A.2
B.0
C.$-(-5)^2$
D.$|-2|$
答案
C $-(-5)^2 = -25 ＜ 0$,因为负数没有平方根,所以$-(-5)^2$没有平方根。
3. [2025重庆北碚区期末]下列说法正确的是（
A.0 的平方根是 0
B.4 的平方根是 2
C.负数有 2 个平方根
D.正数只有 1 个平方根
A
）A.0 的平方根是 0
B.4 的平方根是 2
C.负数有 2 个平方根
D.正数只有 1 个平方根
答案
A 4的平方根是±2,故B项不符合题意;负数没有平方根,故C项不符合题意;正数有两个平方根,故D项不符合题意。
4. [2026 西安未央区期末]已知正数 $ m $ 的两个平方根分别为 $ 3a - 3 $ 和 $ 1 - 2a $，求 $ a $ 的值和 $ m $ 的值。
答案
解:根据题意,得$3a-3+1-2a=0$,(一个正数的两个平方根互为相反数)
解得$a=2$,
所以$1-2a=1-2×2=-3$,
所以$m=(-3)^2=9$,
所以$a$的值为2,$m$的值为9。
解得$a=2$,
所以$1-2a=1-2×2=-3$,
所以$m=(-3)^2=9$,
所以$a$的值为2,$m$的值为9。
5. [2025 淄博期中]如果$a^2=(-3)^2$，那么a等于（
A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.9
C
）A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.9
答案
C $a^2=(-3)^2=9 \xrightarrow{(\pm3)^2=9} a=\pm3$。
6. 易错题 [2026 怀化月考] $\sqrt{16}$的平方根是
±2
。答案
±2 $\sqrt{16}=4$,4的平方根是±2,所以$\sqrt{16}$的平方根是±2。
避坑指南
$\sqrt{16}$表示16的算术平方根,所以$\sqrt{16}$的平方根表示16的算术平方根的平方根。
避坑指南
$\sqrt{16}$表示16的算术平方根,所以$\sqrt{16}$的平方根表示16的算术平方根的平方根。
7. $4^{-2}$的平方根是
$\pm \dfrac{1}{4}$
。答案
$\pm \dfrac{1}{4}$ 因为$4^{-2}=\dfrac{1}{4^2}$,所以$4^{-2}$的平方根是$\pm\sqrt{\dfrac{1}{4^2}}=\pm\dfrac{1}{4}$。
8. 教材P33例3变式 求下列各数的平方根：
(1)$49$；(2)$\frac{16}{25}$；(3)$7\frac{1}{9}$；(4)$0.36$；(5)$(-\frac{3}{8})^2$。
(1)$49$；(2)$\frac{16}{25}$；(3)$7\frac{1}{9}$；(4)$0.36$；(5)$(-\frac{3}{8})^2$。
答案
解:(1)因为$(\pm7)^2=49$,所以49的平方根是±7。
(2)因为$(\pm\dfrac{4}{5})^2=\dfrac{16}{25}$,所以$\dfrac{16}{25}$的平方根是$\pm\dfrac{4}{5}$。
(3)因为$7\dfrac{1}{9}=\dfrac{64}{9}$,$(\pm\dfrac{8}{3})^2=\dfrac{64}{9}$,所以$7\dfrac{1}{9}$的平方根是$\pm\dfrac{8}{3}$。
(4)因为$(\pm0.6)^2=0.36$,所以0.36的平方根是±0.6。
(5)因为$(-\dfrac{3}{8})^2=\dfrac{9}{64}=(\dfrac{3}{8})^2$,所以$(-\dfrac{3}{8})^2$的平方根是$\pm\dfrac{3}{8}$。
(2)因为$(\pm\dfrac{4}{5})^2=\dfrac{16}{25}$,所以$\dfrac{16}{25}$的平方根是$\pm\dfrac{4}{5}$。
(3)因为$7\dfrac{1}{9}=\dfrac{64}{9}$,$(\pm\dfrac{8}{3})^2=\dfrac{64}{9}$,所以$7\dfrac{1}{9}$的平方根是$\pm\dfrac{8}{3}$。
(4)因为$(\pm0.6)^2=0.36$,所以0.36的平方根是±0.6。
(5)因为$(-\dfrac{3}{8})^2=\dfrac{9}{64}=(\dfrac{3}{8})^2$,所以$(-\dfrac{3}{8})^2$的平方根是$\pm\dfrac{3}{8}$。
9. 求下列各式的值：
(1) $\pm \sqrt{1600}$；
(2) $-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}$；
(3) 一题多解 $\sqrt{17^2 - 8^2}$。
(1) $\pm \sqrt{1600}$；
(2) $-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}$；
(3) 一题多解 $\sqrt{17^2 - 8^2}$。
答案
解:(1)因为$40^2=1600$,
所以$\pm\sqrt{1600}=\pm40$。
(2)因为$1\dfrac{11}{25}=\dfrac{36}{25}$,$(\dfrac{6}{5})^2=\dfrac{36}{25}$,
所以$-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}=-\sqrt{\dfrac{36}{25}}=-\dfrac{6}{5}$。
(3)通解 $\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
优解 $\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{(17+8)×(17-8)}=\sqrt{25×9}=\sqrt{225}=15$。
所以$\pm\sqrt{1600}=\pm40$。
(2)因为$1\dfrac{11}{25}=\dfrac{36}{25}$,$(\dfrac{6}{5})^2=\dfrac{36}{25}$,
所以$-\sqrt{1\dfrac{11}{25}}=-\sqrt{\dfrac{36}{25}}=-\dfrac{6}{5}$。
(3)通解 $\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$。
优解 $\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{(17+8)×(17-8)}=\sqrt{25×9}=\sqrt{225}=15$。
10. 教材P38T5变式 求下列各式中的$x$:
(1)$16x^2 - 49 = 0$;
(2)$(x + 1)^2 = 64$。
(1)$16x^2 - 49 = 0$;
(2)$(x + 1)^2 = 64$。
答案
解:(1)由$16x^2-49=0$可得,$x^2=\dfrac{49}{16}$,
因为$(\pm\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{49}{16}$,所以$x=\pm\dfrac{7}{4}$。
(2)两边开平方,得$x+1=\pm8$,
所以$x=7$或$x=-9$。
解题通法
解带有平方的方程的方法
首先将方程化为一边是含未知数的平方的形式,另一边是一个非负数的形式,再开平方求平方根,从而得到未知数的值。开平方时,一定要注意不能漏掉负的平方根,同时要根据题目的特点,注意整体思想的运用。
因为$(\pm\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{49}{16}$,所以$x=\pm\dfrac{7}{4}$。
(2)两边开平方,得$x+1=\pm8$,
所以$x=7$或$x=-9$。
解题通法
解带有平方的方程的方法
首先将方程化为一边是含未知数的平方的形式,另一边是一个非负数的形式,再开平方求平方根,从而得到未知数的值。开平方时,一定要注意不能漏掉负的平方根,同时要根据题目的特点,注意整体思想的运用。
11. [2025湖南师大附中月考]已知$m$是$25$的平方根，$n=(\sqrt{5})^2$，则$m,n$的关系是（
A.$m=\pm n$
B.$m=n$
C.$m=-n$
D.$|m|≠ n$
A
）A.$m=\pm n$
B.$m=n$
C.$m=-n$
D.$|m|≠ n$
答案
A 因为$m$是25的平方根,所以$m=\pm5$,又因为$n=(\sqrt{5})^2=5$,所以$m=\pm n$。
12. 若$m$是169的算术平方根，$n$是121的负的平方根，则$(m+n)^2$的平方根为（
A.2
B.4
C.$\pm2$
D.$\pm4$
C
）A.2
B.4
C.$\pm2$
D.$\pm4$
答案
C 因为$m$是169的算术平方根,$n$是121的负的平方根,所以$m=13$,$n=-11$,所以$m+n=2$,所以$(m+n)^2$的平方根是$\pm\sqrt{2^2}=\pm2$。
得分要点
平方根和算术平方根的联系与区别
| | 平方根 | 算术平方根 |
| ---- | ---- | ---- |
| 定义 | 一般地,如果一个数$x$的平方等于$a$,即$x^2=a$,那么这个数$x$就叫作$a$的平方根 | 一般地,如果一个正数$x$的平方等于$a$,即$x^2=a$,那么这个正数$x$就叫作$a$的算术平方根 |
| 表示 | $\pm\sqrt{a}$ | $\sqrt{a}$ |
| 性质 | 一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根 | 一个正数的算术平方根只有一个;0的算术平方根是0 |
得分要点
平方根和算术平方根的联系与区别
| | 平方根 | 算术平方根 |
| ---- | ---- | ---- |
| 定义 | 一般地,如果一个数$x$的平方等于$a$,即$x^2=a$,那么这个数$x$就叫作$a$的平方根 | 一般地,如果一个正数$x$的平方等于$a$,即$x^2=a$,那么这个正数$x$就叫作$a$的算术平方根 |
| 表示 | $\pm\sqrt{a}$ | $\sqrt{a}$ |
| 性质 | 一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根 | 一个正数的算术平方根只有一个;0的算术平方根是0 |
