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13. [2025临沧期末]若$-2x^{a}y^{5}$与$3x^{4}y^{b}$的和是单项式，则$a+b$的平方根是（
A.81
B.$\pm9$
C.$\pm3$
D.$3$
C
）A.81
B.$\pm9$
C.$\pm3$
D.$3$
答案
由题意,可知$-2x^{a}y^{5}$与$3x^{4}y^{b}$是同类项,所以$a=4$,$b=5$,所以$a+b=4+5=9$,所以$a+b$的平方根是$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
14. [2025 黔东南州期中]已知$|b - 4| + (a - 1)^2 = 0$，则$\frac{a}{b}$的平方根是（
A.$\pm \frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\pm \frac{1}{4}$
A
）A.$\pm \frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\pm \frac{1}{4}$
答案
根据题意,得$b-4=0,a-1=0$,解得$a=1,b=4$,所以$\frac{a}{b}=\frac{1}{4}$。因为$(±\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$,所以$\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{1}{2}$。
15. 下列说法中不正确的个数是 (
①$(-5)^2$的平方根是$\pm5$；②$-a^2$没有平方根；③非负数$a$的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身。
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)①$(-5)^2$的平方根是$\pm5$；②$-a^2$没有平方根；③非负数$a$的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
当$a=0$时,$-a^2$有平方根,故②错误;正数有两个平方根,它们互为相反数,故③错误;负数没有平方根,一个正数的平方根有两个,互为相反数,故④错误;0的平方根等于它本身,1的平方根是$\pm1$,故⑤错误。
16. 如果一个自然数的平方根是$\pm a(a ≥ 0)$，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根为（
A.$\pm (a+1)$
B.$\pm a + 1$
C.$\pm \sqrt{a^2 + 1}$
D.$\pm \sqrt{a + 1}$
C
）A.$\pm (a+1)$
B.$\pm a + 1$
C.$\pm \sqrt{a^2 + 1}$
D.$\pm \sqrt{a + 1}$
答案
因为一个自然数的平方根是$\pm a$,所以这个自然数是$a^2$,所以相邻的下一个自然数是$a^2+1$,所以$a^2+1$的平方根是$\pm\sqrt{a^2+1}$。
17. [2025安庆期中]如果$\sqrt{a}$的平方根等于$\pm 2$，那么$a=$
16
。答案
因为$(±2)^2=4$,所以$\sqrt{a}=4$,所以$a=(\sqrt{a})^2=16$。
18. 若$m$是$(-4)^2$的平方根，$n$是$\sqrt{25}$的算术平方根，则$n^2 - 3m =$
-7 或 17
。答案
由题意得,$m=±\sqrt{(-4)^2}=±4$,$n^2=5$。当$m=4,n^2=5$时,$n^2-3m=5-3×4=-7$;当$m=-4,n^2=5$时,$n^2-3m=5-3×(-4)=17$。综上,$n^2-3m$的值为$-7$或17。
19. 求下列各式中$x$的值:
(1)$(3x - 1)^2 - 64 = 0$;
(2)$2(x - 1)^2 - 18 = 0$。
(1)$(3x - 1)^2 - 64 = 0$;
(2)$2(x - 1)^2 - 18 = 0$。
答案
解:(1)由$(3x-1)^2-64=0$可得,$(3x-1)^2=64$。因为$(±8)^2=64$,所以$3x-1=8$或$3x-1=-8$,所以$x=3$或$x=-\frac{7}{3}$。
(2)由$2(x-1)^2-18=0$可得,$(x-1)^2=9$。因为$(±3)^2=9$,所以$x-1=3$或$x-1=-3$,所以$x=4$或$x=-2$。
(2)由$2(x-1)^2-18=0$可得,$(x-1)^2=9$。因为$(±3)^2=9$,所以$x-1=3$或$x-1=-3$,所以$x=4$或$x=-2$。
20. [2026 平顶山期中] 已知$\sqrt{1-3b}$与$\sqrt{2a+1}$互为相反数，求$-3b+2a+6$的平方根。
答案
解:因为$\sqrt{1-3b}$与$\sqrt{2a+1}$互为相反数,所以$\sqrt{1-3b}+\sqrt{2a+1}=0$,所以$1-3b=0$,$2a+1=0$,所以$-3b=-1$,$2a=-1$,所以$-3b+2a+6=-1-1+6=4$,所以$-3b+2a+6$的平方根为$\pm2$。
21. 新趋势·过程性学习 [2025 南京月考] 甲、乙两人计算$a + \sqrt{1 - 2a + a^2}$的值，当$a = 3$时，得到下面不同的答案。
甲的解答：$a + \sqrt{1 - 2a + a^2} = a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + 1 - a = 1$。
乙的解答：$a + \sqrt{1 - 2a + a^2} = a + \sqrt{(a - 1)^2} = a + a - 1 = 2a - 1 = 5$。
哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？
甲的解答：$a + \sqrt{1 - 2a + a^2} = a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + 1 - a = 1$。
乙的解答：$a + \sqrt{1 - 2a + a^2} = a + \sqrt{(a - 1)^2} = a + a - 1 = 2a - 1 = 5$。
哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？
答案
解:乙的解答是正确的,甲的解答错在$\sqrt{(1-a)^2}=1-a$。理由如下:当$a=3$时,$1-a＜0$,所以$\sqrt{(1-a)^2}=a-1$。
22. 运算能力 [2026 泉州期中] 已知 $|2025 - m| + \sqrt{m - 2026} = m$，求 $m - 2025^2$ 的值。
答案
解:因为 $m - 2026≥0$,所以 $m≥2026$,
所以 $2025 - m≤ -1$,
所以 $|2025 - m| + \sqrt{m - 2026} = m$ 可化为 $m - 2025 + \sqrt{m - 2026} = m$,
所以 $\sqrt{m - 2026} = 2025$,
所以 $m - 2026 = 2025^2$,所以 $m - 2025^2 = 2026$。
所以 $2025 - m≤ -1$,
所以 $|2025 - m| + \sqrt{m - 2026} = m$ 可化为 $m - 2025 + \sqrt{m - 2026} = m$,
所以 $\sqrt{m - 2026} = 2025$,
所以 $m - 2026 = 2025^2$,所以 $m - 2025^2 = 2026$。
