9. 如图，用两根长度均为 $ l(\mathrm{cm}) $ 的绳子分别围成一个正方形和一个圆。

（1）完成下列表格（结果保留 $ π $）：
| 周长/cm | μlticolumn{2}{c}{正方形} | μlticolumn{2}{c}{圆} |
|---------|----------------|----------------|---------------|----------------|
| | 边长/cm | 面积/cm² | 半径/cm | 面积/cm² |
| 8 | | | | |
| 12 | | | | |
| $ l $ | | | | |
（2）当周长发生变化时，正方形和圆的面积哪个大？改变 $ l $ 的取值再试一试，由此你能得到什么猜想？

9. 当周长为8 cm时，正方形的边长为2 cm，面积为4 $\mathrm{cm}^2$；圆的半径为$\dfrac{4}{π}$ cm，面积为$\dfrac{16}{π}\mathrm{cm}^2$，圆的面积大；当周长为12 cm时，正方形的边长为3 cm，面积为9 $\mathrm{cm}^2$；圆的半径为$\dfrac{6}{π}$ cm，面积为$\dfrac{36}{π}\mathrm{cm}^2$，圆的面积大；当周长为$l$(cm)时，正方形的边长为$\dfrac{l}{4}$ cm，面积为$\dfrac{l^2}{16}\mathrm{cm}^2$；圆的半径为$\dfrac{l}{2π}$ cm，面积为$\dfrac{l^2}{4π}\mathrm{cm}^2$，圆的面积大。
猜想：相同长度的绳子围成的圆的面积比正方形的面积大。

【分析】
解题时先明确正方形、圆的周长和面积计算公式，第一问根据给出的周长，分别代入公式计算对应正方形的边长、面积，圆的半径、面积即可；第二问先推导周长为$l$时正方形和圆的面积表达式，通过比较两个代数式的大小判断面积大小关系，再通过特殊值验证后归纳出普遍规律即可。
【解析】
（1）按表格要求依次计算：
①周长为$8\mathrm{cm}$时：
正方形边长$=8÷4=2\mathrm{cm}$，面积$=2^2=4\mathrm{cm}^2$；
圆的半径$=8÷(2π)=\dfrac{4}{π}\mathrm{cm}$，面积$=π×(\dfrac{4}{π})^2=\dfrac{16}{π}\mathrm{cm}^2$。
②周长为$12\mathrm{cm}$时：
正方形边长$=12÷4=3\mathrm{cm}$，面积$=3^2=9\mathrm{cm}^2$；
圆的半径$=12÷(2π)=\dfrac{6}{π}\mathrm{cm}$，面积$=π×(\dfrac{6}{π})^2=\dfrac{36}{π}\mathrm{cm}^2$。
③周长为$l\mathrm{cm}$时：
正方形边长$=l÷4=\dfrac{l}{4}\mathrm{cm}$，面积$=(\dfrac{l}{4})^2=\dfrac{l^2}{16}\mathrm{cm}^2$；
圆的半径$=l÷(2π)=\dfrac{l}{2π}\mathrm{cm}$，面积$=π×(\dfrac{l}{2π})^2=\dfrac{l^2}{4π}\mathrm{cm}^2$。
（2）比较周长为$l$时两者的面积：因为$4π\approx12.56＜16$，分子为正数的分数中，分母越小分数值越大，因此$\dfrac{l^2}{4π}＞\dfrac{l^2}{16}$，说明无论$l$取任意正数值，圆的面积始终大于正方形的面积。
【答案】
（1）表格依次填入：$2$，$4$，$\dfrac{4}{π}$，$\dfrac{16}{π}$；$3$，$9$，$\dfrac{6}{π}$，$\dfrac{36}{π}$；$\dfrac{l}{4}$，$\dfrac{l^2}{16}$，$\dfrac{l}{2π}$，$\dfrac{l^2}{4π}$。
（2）当周长发生变化时，圆的面积更大；猜想：相同长度的绳子围成的圆的面积比正方形的面积大。
【知识点】
正方形周长面积计算；圆的周长面积计算；代数式大小比较
【点评】
本题通过计算不同周长下正方形和圆的面积，引导学生经历从特殊到一般的探究过程，既巩固了几何图形基本公式的应用，也锻炼了归纳猜想的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.8