16. 对于实数 $ a $，$ b $，定义运算“$ * $”：$ a * b = \left\{ \begin{array} { l } { a ^ { 2 } - a b ( a \geq b ) , } \\ { a b - b ^ { 2 } ( a ＜ b ) . } \end{array} \right. $ 例如：$ 4 * 2 $，$ \because 4 ＞ 2 $，$ \therefore 4 * 2 = 4 ^ { 2 } - 4 × 2 = 8 $.若 $ x _ { 1 } $，$ x _ { 2 } $ 是一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 5 x + 6 = 0 $ 的两个根，则 $ x _ { 1 } * x _ { 2 } = $______.

-3 或 3

17. 用适当的方法解下面的方程：
(1) $ ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } = 4 $；
(2) $ 3 y ( y - 1 ) = 2 - 2 y $；
(3) $ 5 x ^ { 2 } - 8 x = 5 $；
(4) $ ( x + 2 ) ^ { 2 } - 8 ( x + 2 ) + 15 = 0 $.

(1) $ x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 } $ (2) $ y _ { 1 } = - \frac { 2 } { 3 } , y _ { 2 } = 1 $
(3) $ x = \frac { 4 \pm \sqrt { 41 } } { 5 } $ (4) $ x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = 3 $

18. 如图，点 $ A $ 在数轴的负半轴上，点 $ B $ 在数轴的正半轴上，且点 $ A $ 对应的数是 $ 2 x - 1 $，点 $ B $ 对应的数是 $ x ^ { 2 } + x $，已知 $ A B = 5 $，求 $ x $ 的值.

根据题意得 $ x ^ { 2 } + x - ( 2 x - 1 ) = 5 $，
整理得 $ x ^ { 2 } - x - 4 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 17 } } { 2 } , x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 17 } } { 2 } $，
∵点 A 在数轴的负半轴上，
$ \therefore 2 x - 1 ＜ 0 $，即 $ x ＜ \frac { 1 } { 2 } $，$ \therefore x = \frac { 1 - \sqrt { 17 } } { 2 } $。

19. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( m - 1 ) x ^ { 2 } - 2 m x + m + 1 = 0 $.
(1)求出方程的根；
(2)$ m $ 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

(1) 根据题意得 $ m \neq 1 $。
$ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 m ) ^ { 2 } - 4 ( m - 1 ) ( m + 1 ) = 4 $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 2 m + 2 } { 2 ( m - 1 ) } = \frac { m + 1 } { m - 1 } , x _ { 2 } = \frac { 2 m - 2 } { 2 ( m - 1 ) } = 1 $。
(2) 由(1)知 $ x _ { 1 } = \frac { m + 1 } { m - 1 } = 1 + \frac { 2 } { m - 1 } $，
∵方程的两个根都是正整数，$ \therefore \frac { 2 } { m - 1 } $ 是正整数，
$ \therefore m - 1 = 1 $ 或 $ m - 1 = 2 $，$ \therefore m = 2 $ 或 $ m = 3 $。