10.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是BC,AC边上的点,$∠ ADE=∠ C$。
(1)若$∠ 1=65°$,求$∠ 2$的度数;
(2)若$AD=AB$,$BD=10$,$CD=12$,$CE=14$,求AE的长。

解:(1) $\because ∠ ADE=∠ C,∠ EAD=∠ DAC$,
$\therefore ∠ AED=∠ ADC$。
$\because ∠ AED + ∠ 1 = 180°$, $∠ ADC + ∠ 2=180°$,
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
又$\because ∠ 1=65°,\therefore ∠ 2=65°$。
(2) $\because AD=AB,\therefore ∠ B=∠ 2$,
$\therefore ∠ B=∠ 1$。
$\because ∠ C=∠ C,\therefore △ CBA∽△ CED$。
$\therefore \frac{BC}{CE}=\frac{AC}{CD}$。
设$AE=x$,则$\frac{10+12}{14}=\frac{x+14}{12}$,
解得$x=\frac{34}{7}$,即$AE=\frac{34}{7}$。

11.如图，在矩形ABCD中，BC=12 cm，AB=8 cm，P，Q分别是AB，BC上运动的两点。若点P自点A出发，以1 cm/s的速度沿AB方向向点B运动，同时，点Q自点B出发，以2 cm/s的速度沿BC方向向点C运动，一点到达终点后，则另一点也停止运动，经过几秒，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？

解:设经过$x\ \mathrm{s}$后,$△ PBQ$与$△ BCD$相似,由题意知$∠ PBQ=∠ BCD=90°$。
①如图,当$∠ 1=∠ 2$时,有$△ PBQ∽△ DCB$,
$\therefore \frac{PB}{DC}=\frac{BQ}{BC}$,即$\frac{8-x}{8}=\frac{2x}{12}$,解得$x=\frac{24}{7}$。
②如图,当$∠ 1=∠ 3$时,有$△ PBQ∽△ BCD$,
$\therefore \frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{DC}$,即$\frac{8-x}{12}=\frac{2x}{8}$,解得$x=2$。
$\therefore$经过$\frac{24}{7}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$,以$P,B,Q$为顶点的三角形与$△ BDC$相似。

12.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的三个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点并且与△ABC相似。

(1)证明:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{5}$,$BC=5$。
显然有$AB^2+AC^2=BC^2$,
根据勾股定理的逆定理,得$△ ABC$为直角三角形。
(2)解:$△ ABC$和$△ DEF$相似。理由:
根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5}$,$BC=5$,$DE=4\sqrt{2}$, $DF=2\sqrt{2}$,$EF=2\sqrt{10}$。
$\because \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$,
$\therefore △ ABC∽△ DEF$。
(3)解:如图,$△ P_2P_4P_5$即为所求。