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1.某公司销售一种成本为20元/盏的LED护眼台灯.销售过程中发现,若销售单价为x元,则月销售量为$(-10x+500)$盏.为使每月获得的利润最大,该台灯应定价为（
A.30元/盏
B.35元/盏
C.40元/盏
D.45元/盏
B
）A.30元/盏
B.35元/盏
C.40元/盏
D.45元/盏
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这个利润最大化问题，首先明确销售利润的基本计算公式：总利润=单件利润×销售量。第一步先表示出单件台灯的利润，再结合给出的月销售量表达式，列出总利润关于销售单价x的函数关系式；由于得到的是二次函数，根据二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，最后计算顶点对应的x值即为最优定价。
【解析】
设每月获得的利润为y元。
已知台灯成本为20元/盏，销售单价为x元，因此单件利润为$(x-20)$元，月销售量为$(-10x+500)$盏。
根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-20)(-10x+500)\\&=-10x^2+500x+200x-10000\\&=-10x^2+700x-10000\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-10$，$b=700$得：
$x=-\frac{700}{2×(-10)}=35$
即当定价为35元/盏时，每月获得的利润最大。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际经济问题中的典型应用，解题关键是正确建立利润与售价之间的二次函数关系，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际销售逻辑。
【难度系数】
0.7
要解决这个利润最大化问题，首先明确销售利润的基本计算公式：总利润=单件利润×销售量。第一步先表示出单件台灯的利润，再结合给出的月销售量表达式，列出总利润关于销售单价x的函数关系式；由于得到的是二次函数，根据二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，最后计算顶点对应的x值即为最优定价。
【解析】
设每月获得的利润为y元。
已知台灯成本为20元/盏，销售单价为x元，因此单件利润为$(x-20)$元，月销售量为$(-10x+500)$盏。
根据总利润公式可得：
$\begin{aligned}y&=(x-20)(-10x+500)\\&=-10x^2+500x+200x-10000\\&=-10x^2+700x-10000\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-10$，$b=700$得：
$x=-\frac{700}{2×(-10)}=35$
即当定价为35元/盏时，每月获得的利润最大。
【答案】
B
【知识点】
销售利润计算，二次函数的应用，二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际经济问题中的典型应用，解题关键是正确建立利润与售价之间的二次函数关系，再利用二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值要符合实际销售逻辑。
【难度系数】
0.7
2.某旅行社推出某地两日游活动，10人起组团，每人需缴费400元.旅行社对超过10人的旅行团给予优惠:每增加1人，每人需缴费用降低20元.当该旅行社获得最大营业额时，增加的人数是（
A.5
B.4
C.3
D.2
A
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
2. A
解析
【分析】
这是二次函数最值的实际应用问题，解题思路如下：首先设增加的人数为自变量，根据题意分别表示出总人数和每人的缴费金额，再根据“营业额=总人数×每人缴费金额”列出营业额关于自变量的二次函数表达式，最后结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算出对应自变量的值即可，同时要注意自变量需符合实际意义。
【解析】
设比10人增加的人数为$x$，旅行社获得的营业额为$y$元。
根据题意可知：总人数为$(10+x)$人，每人缴费金额为$(400-20x)$元（$x≥0$且$400-20x＞0$，即$0≤ x＜20$，$x$为整数）。
营业额的函数表达式为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(400-20x)\\&=-20x^2+200x+4000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-20＜0$，图象开口向下，顶点处$y$取最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-20$，$b=200$得：
$x=-\frac{200}{2×(-20)}=5$
$x=5$符合自变量取值要求，即增加5人时旅行社获得最大营业额。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是常见的营销类最值问题，解题核心是找准等量关系列出正确的函数表达式，求解时要注意结合自变量的实际取值范围判断结果是否合理。
【难度系数】
0.7
这是二次函数最值的实际应用问题，解题思路如下：首先设增加的人数为自变量，根据题意分别表示出总人数和每人的缴费金额，再根据“营业额=总人数×每人缴费金额”列出营业额关于自变量的二次函数表达式，最后结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算出对应自变量的值即可，同时要注意自变量需符合实际意义。
【解析】
设比10人增加的人数为$x$，旅行社获得的营业额为$y$元。
根据题意可知：总人数为$(10+x)$人，每人缴费金额为$(400-20x)$元（$x≥0$且$400-20x＞0$，即$0≤ x＜20$，$x$为整数）。
营业额的函数表达式为：
$\begin{aligned}y&=(10+x)(400-20x)\\&=-20x^2+200x+4000\end{aligned}$
该二次函数中$a=-20＜0$，图象开口向下，顶点处$y$取最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-20$，$b=200$得：
$x=-\frac{200}{2×(-20)}=5$
$x=5$符合自变量取值要求，即增加5人时旅行社获得最大营业额。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值
【点评】
本题是常见的营销类最值问题，解题核心是找准等量关系列出正确的函数表达式，求解时要注意结合自变量的实际取值范围判断结果是否合理。
【难度系数】
0.7
3.当服装店某款衣服的售价为每件280元时，每件获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件.为尽快清空库存，店主决定降价销售，每件衣服的售价每降低5元，每天的销量增加25件.店主要想每天获得的利润最大，则需要将每件衣服的售价定为
260
元.答案
3. 260
解析
【分析】
这是一道二次函数在销售利润问题中的应用题，解题思路如下：①先根据售价与利润率的关系求出衣服的进价，为后续计算单件利润做准备；②选择合适的自变量（如降价金额），分别用含自变量的式子表示出降价后的单件利润、每日销售量；③根据“总利润=单件利润×销售量”列出总利润关于自变量的二次函数解析式；④利用二次函数的性质求出利润最大时对应的自变量值，进而求出对应售价，同时要符合尽快清空库存的要求。
【解析】
第一步：求衣服的进价
设每件衣服的进价为$x$元，由售价280元时利润是进价的40%，可得：
$x(1+40\%)=280$
解得$x=200$，即每件衣服进价为200元。
第二步：列总利润的函数表达式
设每件衣服降价$m$元，每天获得的总利润为$w$元。
降价后每件利润为：$280 - m - 200 = 80 - m$（元）
每降价5元销量增加25件，则降价$m$元后，每日销量为：$200 + \frac{m}{5}×25 = 200 + 5m$（件）
因此总利润：
$w=(80 - m)(200 + 5m)$
展开整理得：$w=-5m² + 200m + 16000$
第三步：求利润最大时的售价
该二次函数中$a=-5＜0$，图象开口向下，顶点处$w$取最大值。
顶点横坐标$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-5)}=20$
即当降价20元时，总利润最大，此时售价为$280 - 20 = 260$元，且降价后销量增加，符合尽快清空库存的要求。
【答案】
260
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，核心是找准数量关系建立二次函数模型，再结合二次函数性质求解，解题时需注意题目中“尽快清空库存”等实际限制条件，避免出现解不符合题意的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数在销售利润问题中的应用题，解题思路如下：①先根据售价与利润率的关系求出衣服的进价，为后续计算单件利润做准备；②选择合适的自变量（如降价金额），分别用含自变量的式子表示出降价后的单件利润、每日销售量；③根据“总利润=单件利润×销售量”列出总利润关于自变量的二次函数解析式；④利用二次函数的性质求出利润最大时对应的自变量值，进而求出对应售价，同时要符合尽快清空库存的要求。
【解析】
第一步：求衣服的进价
设每件衣服的进价为$x$元，由售价280元时利润是进价的40%，可得：
$x(1+40\%)=280$
解得$x=200$，即每件衣服进价为200元。
第二步：列总利润的函数表达式
设每件衣服降价$m$元，每天获得的总利润为$w$元。
降价后每件利润为：$280 - m - 200 = 80 - m$（元）
每降价5元销量增加25件，则降价$m$元后，每日销量为：$200 + \frac{m}{5}×25 = 200 + 5m$（件）
因此总利润：
$w=(80 - m)(200 + 5m)$
展开整理得：$w=-5m² + 200m + 16000$
第三步：求利润最大时的售价
该二次函数中$a=-5＜0$，图象开口向下，顶点处$w$取最大值。
顶点横坐标$m=-\frac{b}{2a}=-\frac{200}{2×(-5)}=20$
即当降价20元时，总利润最大，此时售价为$280 - 20 = 260$元，且降价后销量增加，符合尽快清空库存的要求。
【答案】
260
【知识点】
二次函数的应用；销售利润计算；二次函数的最值
【点评】
本题是销售类最值的典型题型，核心是找准数量关系建立二次函数模型，再结合二次函数性质求解，解题时需注意题目中“尽快清空库存”等实际限制条件，避免出现解不符合题意的情况。
【难度系数】
0.7
4.某品牌头盔4月份销售150顶，6月份销售216顶，且从4月份到6月份销售量的
月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)已知每顶该品牌头盔的进价为30元，当每顶售价为40元时，月销售量为600顶.若每顶售价不低于40元，且售价每上涨1元，则月销售量将减少5顶，为使月销售利润最大，则该品牌头盔的实际售价应定为每顶多少元？
月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率.
(2)已知每顶该品牌头盔的进价为30元，当每顶售价为40元时，月销售量为600顶.若每顶售价不低于40元，且售价每上涨1元，则月销售量将减少5顶，为使月销售利润最大，则该品牌头盔的实际售价应定为每顶多少元？
答案
4.【解】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x.
根据题意,得 $150(1+x)^2=216$.
解得 $x_1=0.2,x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
故该品牌头盔销售量的月增长率为 $20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为每顶 m 元,月销售利润为 w 元.
根据题意,得 $w=(m-30)[600-5(m-40)]$,
即 $w=-5(m-95)^2+21125$.
当 $m=95$ 时,w 取最大值,最大值为 21125.
故该品牌头盔的实际售价应定为每顶 95 元.
根据题意,得 $150(1+x)^2=216$.
解得 $x_1=0.2,x_2=-2.2$(不合题意,舍去).
故该品牌头盔销售量的月增长率为 $20\%$.
(2)设该品牌头盔的实际售价应定为每顶 m 元,月销售利润为 w 元.
根据题意,得 $w=(m-30)[600-5(m-40)]$,
即 $w=-5(m-95)^2+21125$.
当 $m=95$ 时,w 取最大值,最大值为 21125.
故该品牌头盔的实际售价应定为每顶 95 元.
解析
【分析】
(1) 第一问属于增长率类应用题，解题思路为：先设月增长率为x，4月销量为初始量，经过2个月增长到6月销量，符合增长率公式“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”，据此列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合题意的负根。
(2) 第二问属于销售利润最值类应用题，解题思路为：牢记“总利润=单顶利润×月销售量”的等量关系，设实际售价为m元，先表示出单顶利润，再根据售价涨幅和销量减少的对应关系表示出月销售量，进而列出利润关于售价的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求出利润最大时对应的售价即可。
【解析】
(1) 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意列方程：$150(1+x)^2=216$，
整理得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设该品牌头盔的实际售价应定为每顶m元，月销售利润为w元，
单顶利润为$(m-30)$元，
售价较40元上涨了$(m-40)$元，因此月销量减少$5(m-40)$顶，实际月销量为$[600-5(m-40)]$顶，
根据总利润公式列式：
$\begin{aligned}w&=(m-30)[600-5(m-40)]\\&=(m-30)(800-5m)\\&=-5m^2+950m-24000\\&=-5(m-95)^2+21125\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-5＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$当$m=95$时，w取得最大值。
【答案】
(1) 该品牌头盔销售量的月增长率为$\boldsymbol{20\%}$；
(2) 该品牌头盔的实际售价应定为每顶$\boldsymbol{95}$元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用；二次函数利润最值应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，分别考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，解题核心是找准等量关系，正确列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数求最值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问属于增长率类应用题，解题思路为：先设月增长率为x，4月销量为初始量，经过2个月增长到6月销量，符合增长率公式“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”，据此列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合题意的负根。
(2) 第二问属于销售利润最值类应用题，解题思路为：牢记“总利润=单顶利润×月销售量”的等量关系，设实际售价为m元，先表示出单顶利润，再根据售价涨幅和销量减少的对应关系表示出月销售量，进而列出利润关于售价的二次函数表达式，最后利用二次函数的性质求出利润最大时对应的售价即可。
【解析】
(1) 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意列方程：$150(1+x)^2=216$，
整理得$(1+x)^2=1.44$，开方得$1+x=\pm1.2$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2) 设该品牌头盔的实际售价应定为每顶m元，月销售利润为w元，
单顶利润为$(m-30)$元，
售价较40元上涨了$(m-40)$元，因此月销量减少$5(m-40)$顶，实际月销量为$[600-5(m-40)]$顶，
根据总利润公式列式：
$\begin{aligned}w&=(m-30)[600-5(m-40)]\\&=(m-30)(800-5m)\\&=-5m^2+950m-24000\\&=-5(m-95)^2+21125\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-5＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$当$m=95$时，w取得最大值。
【答案】
(1) 该品牌头盔销售量的月增长率为$\boldsymbol{20\%}$；
(2) 该品牌头盔的实际售价应定为每顶$\boldsymbol{95}$元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用；二次函数利润最值应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，分别考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，解题核心是找准等量关系，正确列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数求最值的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.某酒店有A,B两种客房,其中A种客房有24间,B种客房有20间.若A,B两种客房全部住满,则一天的营业额为7200元;若A,B两种客房各有10间住满,则一天的营业额为3200元.
(1)求A,B两种客房每间的定价.
(2)酒店对A种客房调研发现:若客房不调价,则房间可全部住满;每间定价每增加10元,就会有一间客房空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额w最高?最高营业额为多少元?
(1)求A,B两种客房每间的定价.
(2)酒店对A种客房调研发现:若客房不调价,则房间可全部住满;每间定价每增加10元,就会有一间客房空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额w最高?最高营业额为多少元?
答案
5.【解】(1)设 A 种客房每间的定价为 x 元,B 种客房每间的定价为 y 元.
根据题意,得 $\begin{cases}24x+20y=7200,\\10x+10y=3200.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=200,\\y=120.\end{cases}$
故 A 种客房每间的定价为 200 元,B 种客房每间的定价为 120 元.
(2)设 A 种客房每间的定价为 a 元.
根据题意,得 $w=(24-\dfrac{a-200}{10})a$,
即 $w=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$.
当 $a=220$ 时,w 取最大值,最大值为 4840.
故当 A 种客房每间的定价为 220 元时,A 种客房一天的营业额w 最高,最高营业额为 4840 元.
根据题意,得 $\begin{cases}24x+20y=7200,\\10x+10y=3200.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=200,\\y=120.\end{cases}$
故 A 种客房每间的定价为 200 元,B 种客房每间的定价为 120 元.
(2)设 A 种客房每间的定价为 a 元.
根据题意,得 $w=(24-\dfrac{a-200}{10})a$,
即 $w=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$.
当 $a=220$ 时,w 取最大值,最大值为 4840.
故当 A 种客房每间的定价为 220 元时,A 种客房一天的营业额w 最高,最高营业额为 4840 元.
解析
【分析】
（1）第一问通过列二元一次方程组求解，首先提取题干两个核心等量关系：①24间A客房总营业额+20间B客房总营业额=7200元；②10间A客房总营业额+10间B客房总营业额=3200元，设A、B两种客房定价分别为x元、y元，代入等量关系列方程组求解即可。
（2）第二问为二次函数最值的实际应用，明确营业额=每间定价×实际入住房间数：原A客房满房24间，每涨价10元少1间入住，若定价为a元，涨价金额为(a-200)元，空闲房间数为$\frac{a-200}{10}$，因此实际入住数为$24-\frac{a-200}{10}$，据此列出营业额w关于a的函数关系式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向即可求出最大值及对应定价。
【解析】
(1)设A种客房每间的定价为x元，B种客房每间的定价为y元。
根据题意，得 $\begin{cases}24x+20y=7200,\\10x+10y=3200.\end{cases}$
将第二个方程化简为$x+y=320$，即$y=320-x$，代入第一个方程：
$24x+20(320-x)=7200$
解得$x=200$，代入$y=320-x$得$y=120$。
(2)设A种客房每间的定价为a元，A种客房一天的营业额为w元。
根据题意，得：
$w=(24-\dfrac{a-200}{10})a$
整理配方得：
$w=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$
$\because -\dfrac{1}{10}＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$a=220$时，w取得最大值，最大值为4840元。
【答案】
(1)A种客房每间的定价为200元，B种客房每间的定价为120元；
(2)当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额w最高，最高营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的最值应用
【点评】
本题是结合生活场景的综合应用题，考查学生提取等量关系、建立数学模型的能力，第二问需准确梳理定价涨幅与空闲房间数的对应关系，熟练掌握二次函数最值的求解方法是解题核心，属于常考中档题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问通过列二元一次方程组求解，首先提取题干两个核心等量关系：①24间A客房总营业额+20间B客房总营业额=7200元；②10间A客房总营业额+10间B客房总营业额=3200元，设A、B两种客房定价分别为x元、y元，代入等量关系列方程组求解即可。
（2）第二问为二次函数最值的实际应用，明确营业额=每间定价×实际入住房间数：原A客房满房24间，每涨价10元少1间入住，若定价为a元，涨价金额为(a-200)元，空闲房间数为$\frac{a-200}{10}$，因此实际入住数为$24-\frac{a-200}{10}$，据此列出营业额w关于a的函数关系式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向即可求出最大值及对应定价。
【解析】
(1)设A种客房每间的定价为x元，B种客房每间的定价为y元。
根据题意，得 $\begin{cases}24x+20y=7200,\\10x+10y=3200.\end{cases}$
将第二个方程化简为$x+y=320$，即$y=320-x$，代入第一个方程：
$24x+20(320-x)=7200$
解得$x=200$，代入$y=320-x$得$y=120$。
(2)设A种客房每间的定价为a元，A种客房一天的营业额为w元。
根据题意，得：
$w=(24-\dfrac{a-200}{10})a$
整理配方得：
$w=-\dfrac{1}{10}(a-220)^2+4840$
$\because -\dfrac{1}{10}＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$a=220$时，w取得最大值，最大值为4840元。
【答案】
(1)A种客房每间的定价为200元，B种客房每间的定价为120元；
(2)当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额w最高，最高营业额为4840元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二次函数的最值应用
【点评】
本题是结合生活场景的综合应用题，考查学生提取等量关系、建立数学模型的能力，第二问需准确梳理定价涨幅与空闲房间数的对应关系，熟练掌握二次函数最值的求解方法是解题核心，属于常考中档题型。
【难度系数】
0.7
