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典例2 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OD ⊥ AB$，垂足为H，$BC ⊥ AB$，交AD的延长线于点C.
(1)求证:D是AC的中点；
(2)若$AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径.
(1)求证:D是AC的中点；
(2)若$AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径.
答案
(1) 证明：
∵ $OD ⊥ AB$，垂足为$H$，
由垂径定理得 $AH = BH$，即$H$是$AB$的中点。
又∵ $BC ⊥ AB$，
∴ $OD // BC$，
∴ $HD$是$△ ABC$的中位线，
∴ $AD = DC$，即$D$是$AC$的中点。
(2) 解：
∵ $OD ⊥ AB$，$AB=6$，
∴ $AH = \frac{1}{2}AB = 3$。
∵ $D$是$AC$的中点，$AC=2\sqrt{13}$，
∴ $AD = \frac{1}{2}AC = \sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，$∠ AHD=90°$，由勾股定理得：
$HD = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2} = 2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OH = OD - HD = r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$∠ OHA=90°$，由勾股定理得：
$OA^2 = OH^2 + AH^2$，
即 $r^2 = (r-2)^2 + 3^2$，
展开整理得 $4r=13$，解得 $r=\frac{13}{4}$。
答：$\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$。
∵ $OD ⊥ AB$，垂足为$H$，
由垂径定理得 $AH = BH$，即$H$是$AB$的中点。
又∵ $BC ⊥ AB$，
∴ $OD // BC$，
∴ $HD$是$△ ABC$的中位线，
∴ $AD = DC$，即$D$是$AC$的中点。
(2) 解：
∵ $OD ⊥ AB$，$AB=6$，
∴ $AH = \frac{1}{2}AB = 3$。
∵ $D$是$AC$的中点，$AC=2\sqrt{13}$，
∴ $AD = \frac{1}{2}AC = \sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，$∠ AHD=90°$，由勾股定理得：
$HD = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2} = 2$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=r$，$OH = OD - HD = r-2$。
在$\mathrm{Rt}△ OAH$中，$∠ OHA=90°$，由勾股定理得：
$OA^2 = OH^2 + AH^2$，
即 $r^2 = (r-2)^2 + 3^2$，
展开整理得 $4r=13$，解得 $r=\frac{13}{4}$。
答：$\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$。
典例3 如图，AB为$\odot O$的直径，AC为$\odot O$的弦，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D.
(1)若$∠ ADC＝35°$，求$∠ CAB$的度数；
(2)若$AB＝6$，求$△ ABD$的面积.
(1)若$∠ ADC＝35°$，求$∠ CAB$的度数；
(2)若$AB＝6$，求$△ ABD$的面积.
答案
解：
(1) ∵ AB为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because ∠ ABC$与$∠ ADC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC=35°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$∠ CAB=90°-∠ ABC=90°-35°=55°$。
(2) $\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because CD$平分$∠ ACB$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=45°$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore AD=BD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形。
$\because AB=6$，
$\therefore AD^2+BD^2=AB^2$，即$2AD^2=36$，解得$AD=BD=3\sqrt{2}$。
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AD· BD=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}=9$。
(1) ∵ AB为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$。
$\because ∠ ABC$与$∠ ADC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=∠ ADC=35°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$∠ CAB=90°-∠ ABC=90°-35°=55°$。
(2) $\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because CD$平分$∠ ACB$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=45°$，
$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore AD=BD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形。
$\because AB=6$，
$\therefore AD^2+BD^2=AB^2$，即$2AD^2=36$，解得$AD=BD=3\sqrt{2}$。
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AD· BD=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}=9$。
典例4 如图，$AO ⊥ OB$，以点O为圆心、OB为半径作扇形OAB，以点A为圆心、AB为半径作扇形ABC，$AC // OB$，$AO=1$，求阴影部分的面积。
答案
解：
∵ $AO⊥OB$，$AC// OB$，
∴ $∠ OAC = ∠ AOB = 90°$，
∵ 扇形$OAB$以$O$为圆心、$OB$为半径，
∴ $OA=OB=1$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$△ AOB$为等腰直角三角形，
∴ $∠ OAB=45°$，
∴ $∠ BAC = ∠ OAC - ∠ OAB = 90° - 45° = 45°$，
计算各部分面积：
$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\dfrac{45π· AB^2}{360}=\dfrac{45π× (\sqrt{2})^2}{360}=\dfrac{π}{4}$，
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\dfrac{90π· OB^2}{360}=\dfrac{90π× 1^2}{360}=\dfrac{π}{4}$，
$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}· OA· OB=\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{1}{2}$，
因此阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}ABC}-(S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ AOB})=\dfrac{π}{4}-(\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}$。
答：阴影部分的面积为$\dfrac{1}{2}$。
∵ $AO⊥OB$，$AC// OB$，
∴ $∠ OAC = ∠ AOB = 90°$，
∵ 扇形$OAB$以$O$为圆心、$OB$为半径，
∴ $OA=OB=1$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$△ AOB$为等腰直角三角形，
∴ $∠ OAB=45°$，
∴ $∠ BAC = ∠ OAC - ∠ OAB = 90° - 45° = 45°$，
计算各部分面积：
$S_{\mathrm{扇形}ABC}=\dfrac{45π· AB^2}{360}=\dfrac{45π× (\sqrt{2})^2}{360}=\dfrac{π}{4}$，
$S_{\mathrm{扇形}OAB}=\dfrac{90π· OB^2}{360}=\dfrac{90π× 1^2}{360}=\dfrac{π}{4}$，
$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}· OA· OB=\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{1}{2}$，
因此阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}ABC}-(S_{\mathrm{扇形}OAB}-S_{△ AOB})=\dfrac{π}{4}-(\dfrac{π}{4}-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}$。
答：阴影部分的面积为$\dfrac{1}{2}$。
