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11. 如图,从棱长为2的正方体毛坯的一角,挖下一个棱长为1的小正方体,放在余下毛坯顶上的一角处,得到一个如图所示的零件,这个零件的表面积是
28
.答案
$(3,3)$或$(-6,6)$
解析
点到两坐标轴的距离相等，说明点的横、纵坐标的绝对值相等，因此可得$|3a+6|=|2-a|$，分两种情况求解：
1. 当$3a+6=2-a$时，移项计算得$4a=-4$，解得$a=-1$，代入坐标得$3a+6=3$，$2-a=3$，此时点P坐标为$(3,3)$；
2. 当$3a+6=-(2-a)$时，化简得$3a+6=-2+a$，移项计算得$2a=-8$，解得$a=-4$，代入坐标得$3a+6=-6$，$2-a=6$，此时点P坐标为$(-6,6)$。
综上，点P的坐标为$(3,3)$或$(-6,6)$。
1. 当$3a+6=2-a$时，移项计算得$4a=-4$，解得$a=-1$，代入坐标得$3a+6=3$，$2-a=3$，此时点P坐标为$(3,3)$；
2. 当$3a+6=-(2-a)$时，化简得$3a+6=-2+a$，移项计算得$2a=-8$，解得$a=-4$，代入坐标得$3a+6=-6$，$2-a=6$，此时点P坐标为$(-6,6)$。
综上，点P的坐标为$(3,3)$或$(-6,6)$。
12. 小明用一个边长为3 cm、4 cm和5 cm的直角三角形,绕其中一条边所在直线旋转一周,得到了一个几何体.
(1)请画出可能得到的几何体简图;
(2)分别计算出这些几何体的体积.(锥体体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高)
(1)请画出可能得到的几何体简图;
(2)分别计算出这些几何体的体积.(锥体体积=$\frac{1}{3}$×底面积×高)
答案
解：
由题意可得长方形OABC各顶点坐标为：$A(3,0)$，$C(0,-4)$，$B(3,-4)$，
长方形OABC的面积$S = OA · OC = 3 × 4 = 12$。
因为直线BP将长方形面积分为$1:4$的两部分，所以两部分面积分别为$12 × \frac{1}{1+4} = \frac{12}{5}$，$12 × \frac{4}{1+4} = \frac{48}{5}$。
分两种情况讨论：
① 当点$P$在边$OA$上时，设$P(p,0)$，其中$0 ≤ p ≤ 3$。
此时$△ PAB$为直角三角形，$∠ PAB=90°$，$AP=3-p$，$AB=4$，
其面积$S_{△ PAB} = \frac{1}{2} · AP · AB = \frac{1}{2} × (3-p) × 4 = 2(3-p)$。
令$2(3-p) = \frac{12}{5}$，
解得$p = \frac{9}{5}$，
此时点$P$的坐标为$(\frac{9}{5}, 0)$。
② 当点$P$在边$OC$上时，设$P(0,q)$，其中$-4 ≤ q ≤ 0$。
此时$△ PCB$为直角三角形，$∠ PCB=90°$，$PC = q - (-4) = q+4$，$BC=3$，
其面积$S_{△ PCB} = \frac{1}{2} · PC · BC = \frac{1}{2} × (q+4) × 3 = \frac{3}{2}(q+4)$。
令$\frac{3}{2}(q+4) = \frac{12}{5}$，
解得$q = -\frac{12}{5}$，
此时点$P$的坐标为$(0, -\frac{12}{5})$。
综上，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{9}{5}, 0)}$或$\boldsymbol{(0, -\frac{12}{5})}$。
由题意可得长方形OABC各顶点坐标为：$A(3,0)$，$C(0,-4)$，$B(3,-4)$，
长方形OABC的面积$S = OA · OC = 3 × 4 = 12$。
因为直线BP将长方形面积分为$1:4$的两部分，所以两部分面积分别为$12 × \frac{1}{1+4} = \frac{12}{5}$，$12 × \frac{4}{1+4} = \frac{48}{5}$。
分两种情况讨论：
① 当点$P$在边$OA$上时，设$P(p,0)$，其中$0 ≤ p ≤ 3$。
此时$△ PAB$为直角三角形，$∠ PAB=90°$，$AP=3-p$，$AB=4$，
其面积$S_{△ PAB} = \frac{1}{2} · AP · AB = \frac{1}{2} × (3-p) × 4 = 2(3-p)$。
令$2(3-p) = \frac{12}{5}$，
解得$p = \frac{9}{5}$，
此时点$P$的坐标为$(\frac{9}{5}, 0)$。
② 当点$P$在边$OC$上时，设$P(0,q)$，其中$-4 ≤ q ≤ 0$。
此时$△ PCB$为直角三角形，$∠ PCB=90°$，$PC = q - (-4) = q+4$，$BC=3$，
其面积$S_{△ PCB} = \frac{1}{2} · PC · BC = \frac{1}{2} × (q+4) × 3 = \frac{3}{2}(q+4)$。
令$\frac{3}{2}(q+4) = \frac{12}{5}$，
解得$q = -\frac{12}{5}$，
此时点$P$的坐标为$(0, -\frac{12}{5})$。
综上，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{9}{5}, 0)}$或$\boldsymbol{(0, -\frac{12}{5})}$。
解析
【分析】
解题时需结合“面动成体”的原理，分三种情况分类讨论旋转轴：①绕长为4cm的直角边旋转；②绕长为3cm的直角边旋转；③绕长为5cm的斜边旋转。前两种情况旋转后得到单一圆锥，分别确定底面半径和高代入体积公式即可；绕斜边旋转时，先通过直角三角形面积法求出斜边上的高（即组合圆锥的公共底面半径），旋转后得到的是两个底面重合的圆锥组合体，两个圆锥的高之和等于斜边长，再代入体积公式计算。
【解析】
(1) 三种旋转情况对应几何体如下：
①以长为4cm的边所在直线为轴旋转，得到底面半径3cm、高4cm的圆锥；
②以长为3cm的边所在直线为轴旋转，得到底面半径4cm、高3cm的圆锥；
③以长为5cm的边所在直线为轴旋转，先根据直角三角形面积相等求斜边上的高：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×h$，解得$h=\frac{12}{5}=2.4\mathrm{cm}$，旋转后得到两个底面重合、底面半径为2.4cm，高之和为5cm的圆锥组合体。
(2) 结合锥体体积公式$V=\frac{1}{3}×$底面积$×$高分别计算：
①以4cm边为轴旋转的体积：$V_1=\frac{1}{3}×π×3²×4=12π(\mathrm{cm}^3)$
②以3cm边为轴旋转的体积：$V_2=\frac{1}{3}×π×4²×3=16π(\mathrm{cm}^3)$
③以5cm边为轴旋转的体积：$V_3=\frac{1}{3}×π×(\frac{12}{5})²×5=9.6π(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1)以长为4 cm的边所在直线为轴,得
,以长为3 cm的边所在直线为轴,得
,以长为5 cm的边所在直线为轴,得
.
(2)以长为4 cm的边所在直线为轴旋转所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×3²×4=12π(\mathrm{cm}^3)$,以长为3 cm的边所在直线为轴旋转所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×4²×3=16π(\mathrm{cm}^3)$,以长为5 cm的边所在直线为轴旋转所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×(\frac{3×4}{5})^2×5=9.6π(\mathrm{cm}^3)$.
【知识点】
面动成体，圆锥体积计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察空间想象能力与分类讨论思想，解题关键是明确直角三角形绕不同边旋转得到的几何体特征，尤其绕斜边旋转时得到的是两个同底圆锥的组合体，借助面积法求斜边上的高是该情况的计算核心，可有效避免错算漏算。
【难度系数】
0.7
解题时需结合“面动成体”的原理，分三种情况分类讨论旋转轴：①绕长为4cm的直角边旋转；②绕长为3cm的直角边旋转；③绕长为5cm的斜边旋转。前两种情况旋转后得到单一圆锥，分别确定底面半径和高代入体积公式即可；绕斜边旋转时，先通过直角三角形面积法求出斜边上的高（即组合圆锥的公共底面半径），旋转后得到的是两个底面重合的圆锥组合体，两个圆锥的高之和等于斜边长，再代入体积公式计算。
【解析】
(1) 三种旋转情况对应几何体如下：
①以长为4cm的边所在直线为轴旋转，得到底面半径3cm、高4cm的圆锥；
②以长为3cm的边所在直线为轴旋转，得到底面半径4cm、高3cm的圆锥；
③以长为5cm的边所在直线为轴旋转，先根据直角三角形面积相等求斜边上的高：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×h$，解得$h=\frac{12}{5}=2.4\mathrm{cm}$，旋转后得到两个底面重合、底面半径为2.4cm，高之和为5cm的圆锥组合体。
(2) 结合锥体体积公式$V=\frac{1}{3}×$底面积$×$高分别计算：
①以4cm边为轴旋转的体积：$V_1=\frac{1}{3}×π×3²×4=12π(\mathrm{cm}^3)$
②以3cm边为轴旋转的体积：$V_2=\frac{1}{3}×π×4²×3=16π(\mathrm{cm}^3)$
③以5cm边为轴旋转的体积：$V_3=\frac{1}{3}×π×(\frac{12}{5})²×5=9.6π(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1)以长为4 cm的边所在直线为轴,得
,以长为3 cm的边所在直线为轴,得,以长为5 cm的边所在直线为轴,得.(2)以长为4 cm的边所在直线为轴旋转所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×3²×4=12π(\mathrm{cm}^3)$,以长为3 cm的边所在直线为轴旋转所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×4²×3=16π(\mathrm{cm}^3)$,以长为5 cm的边所在直线为轴旋转所得几何体的体积为$\frac{1}{3}×π×(\frac{3×4}{5})^2×5=9.6π(\mathrm{cm}^3)$.
【知识点】
面动成体，圆锥体积计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察空间想象能力与分类讨论思想，解题关键是明确直角三角形绕不同边旋转得到的几何体特征，尤其绕斜边旋转时得到的是两个同底圆锥的组合体，借助面积法求斜边上的高是该情况的计算核心，可有效避免错算漏算。
【难度系数】
0.7
13. 如图,往一个密封的正方体容器持续注入一些水,注水的过程中,可将容器任意放置,水平面形状不可能是
①三角形,②正方形,③梯形,④五边形,⑤六边形,⑥七边形.
14. (枣庄中考改编) 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1) 根据上面多面体模型,完成表格中的空格:
你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的关系式是
(2)若一个多面体的面数比顶点数大$8$,且有$30$条棱,则这个多面体的面数是
(3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,每个顶点处都有$3$条棱,且每个顶点都是$3$个面的交点,已知共有$36$条棱.求该多面体外表面三角形的个数.
⑥
(填序号).①三角形,②正方形,③梯形,④五边形,⑤六边形,⑥七边形.
14. (枣庄中考改编) 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题:
(1) 根据上面多面体模型,完成表格中的空格:
你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的关系式是
V+F-E=2
.(2)若一个多面体的面数比顶点数大$8$,且有$30$条棱,则这个多面体的面数是
20
.(3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的,每个顶点处都有$3$条棱,且每个顶点都是$3$个面的交点,已知共有$36$条棱.求该多面体外表面三角形的个数.
答案
13. ⑥ 解析:因为正方体有六个面,用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,最少与三个面相交得三角形,所以截面的形状可能为三角形(只能是锐角三角形)、四边形(正方形、长方形、梯形都可能)、五边形、六边形.
14. (1)6 6 V+F-E=2 解析:由题图可知,四面体的棱数为6,正八面体的顶点数为6,根据表格中数据发现4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2,规律为V+F-E=2.
(2)20 解析:由题意得F-8+F-30=2,解得F=20.
(3)因为$E=36=\frac{3V}{2}$,所以V=24.又因为V+F-E=2,所以F=14.设三角形的个数为x,则八边形的个数为14-x,每个三角形有3个顶点,每个八边形有8个顶点,且因为每个顶点都是3个面的交点,共有24个顶点,所以$\frac{3x+8(14-x)}{3}=24$,解得x=8,所以该多面体外表面三角形的个数为8.
14. (1)6 6 V+F-E=2 解析:由题图可知,四面体的棱数为6,正八面体的顶点数为6,根据表格中数据发现4+4-6=2,8+6-12=2,6+8-12=2,20+12-30=2,规律为V+F-E=2.
(2)20 解析:由题意得F-8+F-30=2,解得F=20.
(3)因为$E=36=\frac{3V}{2}$,所以V=24.又因为V+F-E=2,所以F=14.设三角形的个数为x,则八边形的个数为14-x,每个三角形有3个顶点,每个八边形有8个顶点,且因为每个顶点都是3个面的交点,共有24个顶点,所以$\frac{3x+8(14-x)}{3}=24$,解得x=8,所以该多面体外表面三角形的个数为8.
解析
第13题
【分析】
水平面的形状本质是平面截正方体得到的截面形状，正方体共有6个面，平面与正方体相交时，相交的面数决定了截面的边数：和n个面相交就得到n边形，最少和3个面相交，最多和6个面相交，据此判断各个形状是否可能即可。
【解析】
正方体一共有6个面：
1. 当水平面与3个面相交时，可得到三角形截面；
2. 当水平面与4个面相交时，可得到正方形、梯形等四边形截面；
3. 当水平面与5个面相交时，可得到五边形截面；
4. 当水平面与6个面相交时，可得到六边形截面；
水平面最多只能和6个面相交，不可能得到7条边的七边形，因此不可能的是⑥。
【答案】
⑥
【知识点】
正方体的截面，面与面相交得线
【点评】
本题考查正方体截面的可能形状，解题关键是明确截面的边数等于平面与正方体相交的面的个数，牢记正方体截面最多为六边形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
---
第14题
【分析】
(1) 先通过观察多面体模型数出对应空格的数值，再计算每组V、F、E的和差关系，总结出通用规律；(2) 将已知的面数和顶点数的关系、棱数代入得到的规律公式，列一元一次方程求解即可；(3) 先根据每个顶点处的棱数和总棱数求出顶点数，再代入规律公式求总面数，最后根据面的构成和顶点的计数特点列方程求解三角形的个数，注意顶点、棱、面计数时避免重复。
【解析】
(1) 观察多面体模型可得：四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6；
计算各组数据：四面体$4+4-6=2$，长方体$8+6-12=2$，正八面体$6+8-12=2$，正十二面体$20+12-30=2$，可得顶点数V、面数F、棱数E的关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(2) 由题意得：面数F比顶点数V大8，即$V=F-8$，已知$E=30$，代入$V+F-E=2$得：
$F-8 + F -30 = 2$
$2F = 40$
解得$F=20$。
(3) 因为每个顶点处都有3条棱，每条棱连接2个顶点，所以总棱数$E=\frac{3V}{2}$，已知$E=36$，代入得：
$36=\frac{3V}{2}$，解得$V=24$。
将$V=24$，$E=36$代入$V+F-E=2$得：
$24 + F -36 = 2$，解得$F=14$。
设三角形的个数为$x$，则八边形的个数为$14-x$，每个三角形有3个顶点，每个八边形有8个顶点，且每个顶点是3个面的交点，因此总顶点数等于所有面的顶点数之和除以3，列方程：
$\frac{3x + 8(14-x)}{3}=24$
去分母得：$3x + 112 -8x =72$
移项合并得：$-5x=-40$
解得$x=8$，即三角形的个数为8。
【答案】
(1) $6$；$6$；$V+F-E=2$
(2) $20$
(3) $8$
【知识点】
欧拉公式，一元一次方程的应用，多面体的棱与顶点关系
【点评】
本题围绕欧拉公式展开，从规律探究到规律应用，考查了观察归纳能力和方程的应用能力，第(3)问的难点是理清顶点计数时的重复关系，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
【分析】
水平面的形状本质是平面截正方体得到的截面形状，正方体共有6个面，平面与正方体相交时，相交的面数决定了截面的边数：和n个面相交就得到n边形，最少和3个面相交，最多和6个面相交，据此判断各个形状是否可能即可。
【解析】
正方体一共有6个面：
1. 当水平面与3个面相交时，可得到三角形截面；
2. 当水平面与4个面相交时，可得到正方形、梯形等四边形截面；
3. 当水平面与5个面相交时，可得到五边形截面；
4. 当水平面与6个面相交时，可得到六边形截面；
水平面最多只能和6个面相交，不可能得到7条边的七边形，因此不可能的是⑥。
【答案】
⑥
【知识点】
正方体的截面，面与面相交得线
【点评】
本题考查正方体截面的可能形状，解题关键是明确截面的边数等于平面与正方体相交的面的个数，牢记正方体截面最多为六边形即可快速解题。
【难度系数】
0.8
---
第14题
【分析】
(1) 先通过观察多面体模型数出对应空格的数值，再计算每组V、F、E的和差关系，总结出通用规律；(2) 将已知的面数和顶点数的关系、棱数代入得到的规律公式，列一元一次方程求解即可；(3) 先根据每个顶点处的棱数和总棱数求出顶点数，再代入规律公式求总面数，最后根据面的构成和顶点的计数特点列方程求解三角形的个数，注意顶点、棱、面计数时避免重复。
【解析】
(1) 观察多面体模型可得：四面体的棱数为6，正八面体的顶点数为6；
计算各组数据：四面体$4+4-6=2$，长方体$8+6-12=2$，正八面体$6+8-12=2$，正十二面体$20+12-30=2$，可得顶点数V、面数F、棱数E的关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(2) 由题意得：面数F比顶点数V大8，即$V=F-8$，已知$E=30$，代入$V+F-E=2$得：
$F-8 + F -30 = 2$
$2F = 40$
解得$F=20$。
(3) 因为每个顶点处都有3条棱，每条棱连接2个顶点，所以总棱数$E=\frac{3V}{2}$，已知$E=36$，代入得：
$36=\frac{3V}{2}$，解得$V=24$。
将$V=24$，$E=36$代入$V+F-E=2$得：
$24 + F -36 = 2$，解得$F=14$。
设三角形的个数为$x$，则八边形的个数为$14-x$，每个三角形有3个顶点，每个八边形有8个顶点，且每个顶点是3个面的交点，因此总顶点数等于所有面的顶点数之和除以3，列方程：
$\frac{3x + 8(14-x)}{3}=24$
去分母得：$3x + 112 -8x =72$
移项合并得：$-5x=-40$
解得$x=8$，即三角形的个数为8。
【答案】
(1) $6$；$6$；$V+F-E=2$
(2) $20$
(3) $8$
【知识点】
欧拉公式，一元一次方程的应用，多面体的棱与顶点关系
【点评】
本题围绕欧拉公式展开，从规律探究到规律应用，考查了观察归纳能力和方程的应用能力，第(3)问的难点是理清顶点计数时的重复关系，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
