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1[2026甘肃庆阳期中]如图,在等边$△ ABC$中,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BD$平分$∠ ABC$,点$E$在$BC$的延长线上,连接$DE$,$∠ E=30°$,则$CE$的长是 (
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$
（第1题图）
（第2题图）
C
)A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$
（第1题图）
（第2题图）
答案
【解析】
∵ △ABC 是等边三角形,AB = 6 cm,BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ACB = 60°,DC = AD=3 cm.
∵ ∠E=30°, ∠E+∠EDC=∠ACB,
∴ ∠EDC=∠ACB-∠E=60°-30°=30°=∠E,
∴ CD=CE=3 cm,故选 C.
∵ △ABC 是等边三角形,AB = 6 cm,BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ACB = 60°,DC = AD=3 cm.
∵ ∠E=30°, ∠E+∠EDC=∠ACB,
∴ ∠EDC=∠ACB-∠E=60°-30°=30°=∠E,
∴ CD=CE=3 cm,故选 C.
2[2026 山东济南期末]如图,已知$∠ MON=30°$,点$A_1,A_2,A_3,···$在射线$ON$上,点$B_1,B_2,B_3,···$在射线$OM$上,$△ A_1B_1A_2,△ A_2B_2A_3,△ A_3B_3A_4,···$均为等边三角形,若$OA_1=2$,则$△ A_6B_6A_7$的边长为(
A.16
B.32
C.64
D.128
C
)A.16
B.32
C.64
D.128
答案
【解析】
∵ △A₁B₁A₂ 为等边三角形,
∴ ∠B₁A₁A₂=60°,A₁B₁ = A₁A₂ ,
∴ ∠A₁B₁O = ∠B₁A₁A₂-∠MON=60°-30°=30°,
∴ ∠A₁B₁O = ∠MON,
∴ A₁B₁ = OA₁ ,
∴ A₁B₁ = A₁A₂ = OA₁ ,同理可得 A₂B₂ = A₂A₃ = OA₂ = 2OA₁ = 2² ,A₃B₃ = A₃A₄ = OA₃ = 2OA₂ = 2² · OA₁ = 2³ ,A₄B₄ = A₄A₅ = OA₄ = 2OA₃ = 2³ · OA₁ = 2⁴ ,…,
∴ AₙBₙ = 2ⁿ ,
∴ △A₆B₆A₇ 的边长 A₆B₆=2⁶=64,故选 C.
∵ △A₁B₁A₂ 为等边三角形,
∴ ∠B₁A₁A₂=60°,A₁B₁ = A₁A₂ ,
∴ ∠A₁B₁O = ∠B₁A₁A₂-∠MON=60°-30°=30°,
∴ ∠A₁B₁O = ∠MON,
∴ A₁B₁ = OA₁ ,
∴ A₁B₁ = A₁A₂ = OA₁ ,同理可得 A₂B₂ = A₂A₃ = OA₂ = 2OA₁ = 2² ,A₃B₃ = A₃A₄ = OA₃ = 2OA₂ = 2² · OA₁ = 2³ ,A₄B₄ = A₄A₅ = OA₄ = 2OA₃ = 2³ · OA₁ = 2⁴ ,…,
∴ AₙBₙ = 2ⁿ ,
∴ △A₆B₆A₇ 的边长 A₆B₆=2⁶=64,故选 C.
3[2025辽宁大连期中]如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠1=∠2，∠DFE=70°，则∠EDF=
50
°。答案
【解析】
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ ∠DEC = ∠2+∠DEF = ∠1+∠B, ∠1 = ∠2 ,
∴ ∠DEF = ∠B = 60°.
∵ ∠DFE = 70°,
∴ ∠EDF = 180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-70°=50°. 故答案为 50.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ ∠DEC = ∠2+∠DEF = ∠1+∠B, ∠1 = ∠2 ,
∴ ∠DEF = ∠B = 60°.
∵ ∠DFE = 70°,
∴ ∠EDF = 180°-∠DEF-∠DFE=180°-60°-70°=50°. 故答案为 50.
4[2025福建南平期中]如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接BD，CD.
（1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ACN=40°，求∠BDC的度数.
（1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ACN=40°，求∠BDC的度数.
答案
(1)如图所示
.(2)
∵ A,D 关于 CN 对称,
∴ CN 垂直平分 AD,
∴ AC=CD,
∴ ∠ACN = ∠NCD = 40°.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠ACB = 60°, AC = BC,
∴ ∠BCD= ∠BCA+∠ACN+∠NCD = 60°+2×40° = 140°, BC = CD,
∴ ∠CBD = ∠CDB,
∴ ∠BDC = (180°-140°)/2 = 20°.
5 下列条件中,不能判定△ABC为等边三角形的是 (
A.∠A=∠B=60°
B.∠B+∠C=120°
C.∠B=60°,AB=AC
D.∠A=60°,AB=AC
B
)A.∠A=∠B=60°
B.∠B+∠C=120°
C.∠B=60°,AB=AC
D.∠A=60°,AB=AC
答案
【解析】
A
∵ ∠A = ∠B = 60°,
∴ ∠C = 60°,
∴ ∠A = ∠B = ∠C,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 A 不符合题意
B
∵ ∠B+∠C = 120°,
∴ ∠A = 60°,∠B 和∠C 的度数不确定,
∴ △ABC 不一定是等边三角形,故选项 B 符合题意
C
∵ ∠B=60°,AB=AC,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 C 不符合题意
D
∵ ∠A=60°,AB=AC,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 D 不符合题意
A
∵ ∠A = ∠B = 60°,
∴ ∠C = 60°,
∴ ∠A = ∠B = ∠C,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 A 不符合题意
B
∵ ∠B+∠C = 120°,
∴ ∠A = 60°,∠B 和∠C 的度数不确定,
∴ △ABC 不一定是等边三角形,故选项 B 符合题意
C
∵ ∠B=60°,AB=AC,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 C 不符合题意
D
∵ ∠A=60°,AB=AC,
∴ △ABC 是等边三角形,故选项 D 不符合题意
6 [2026湖北武汉期末]落地灯既实用又可起装饰作用.如图是某种落地灯的简易示意图,已知悬杆CD部分的长度与支杆BC相等,且∠BCE=120°(E,C,D三点在同一条直线上).若CD的长度为50 cm,则此时B,D两点之间的距离为 (
A.25 cm
B.50 cm
C.55 cm
D.100 cm
B
)A.25 cm
B.50 cm
C.55 cm
D.100 cm
答案
【解析】如图,连接 BD. 由题意可知,CD = BC.
∵ ∠BCE = 120°,
∴ ∠BCD = 180°-∠BCE = 180°-120° = 60°,
∴ △BCD 是等边三角形,
∴ BD=CD=50 cm,即此时 B,D 两点之间的距离为 50 cm,故选 B.
7[2026江苏无锡质检]若$a,b,c$为三角形的三边长,且$(a-b)^2 + \sqrt{a - c} + |b - c| = 0$,则这个三角形是
等边三角形
.(按边分类)答案
【解析】
∵ $(a-b)^2 + \sqrt{a - c} + |b - c| = 0$,
∴ a-b=0,a-c=0,b-c=0,
∴ a=b,a=c,b=c,
∴ a=b=c,
∴ 这个三角形是等边三角形. 故答案为等边三角形.
∵ $(a-b)^2 + \sqrt{a - c} + |b - c| = 0$,
∴ a-b=0,a-c=0,b-c=0,
∴ a=b,a=c,b=c,
∴ a=b=c,
∴ 这个三角形是等边三角形. 故答案为等边三角形.
8[2026河南平顶山期中]如图,已知在△ABC中,∠A=60°,AC=$\frac{1}{2}$AB.求证:△ABC是直角三角形.
答案
【证明】如图,在 AB 上截取 AD=AC,连接 CD.
∵ ∠A=60°,
∴ △ACD 是等边三角形,
∴ CD=AD=AC,∠ADC = ∠ACD = 60°.
∵ AC = $\frac{1}{2}$AB,
∴ AD = $\frac{1}{2}$AB,
∴ BD=AD=CD,
∴ ∠B = ∠BCD.
∵ ∠ADC = ∠B + ∠BCD,
∴ ∠BCD = 30°,
∴ ∠ACB = ∠BCD + ∠ACD = 90°,
∴ △ABC 为直角三角形.
9[2025 吉林长春期中]如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE//AB.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)若AD=13,CE=9,则CF的长为
(1)判断△DEF的形状,并说明理由;
(2)若AD=13,CE=9,则CF的长为
5
.答案
(1)△DEF 是等边三角形. 理由如下:
∵ AB=AD, ∠A=60°,
∴ △ABD 为等边三角形,
∴ ∠ADB = ∠ABD = 60°.
∵ CE // AB,
∴ ∠DEF = ∠A = 60°, ∠EFD = ∠ABD = 60°,
∴ ∠EFD = ∠EDF = ∠DEF,
∴ △DEF 是等边三角形.
(2)连接 AC 交 BD 于点 O,如图
.∵ AB=AD,CB=CD,
∴ AC 垂直平分 BD,
∴ AC 平分∠BAD,
∴ ∠BAO=∠DAO.
∵ CE // AB,
∴ ∠ACE = ∠BAO = ∠DAO,
∴ AE=CE=9,
∴ DE=AD-AE=13-9=4.
∵ △DEF 是等边三角形,
∴ EF = DE = 4,
∴ CF=CE-EF=9-4=5. 故答案为 5.
