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11. 一根1 m长的小棒，第一次截去它的三分之一，第二次截去剩下的三分之一，如此截下去，第五次后剩下的小棒的长度是（
A.$(\dfrac{1}{3})^5$ m
B.$[1 - (\dfrac{1}{3})^5]$ m
C.$(\dfrac{2}{3})^5$ m
D.$[1 - (\dfrac{2}{3})^5]$ m
C
）A.$(\dfrac{1}{3})^5$ m
B.$[1 - (\dfrac{1}{3})^5]$ m
C.$(\dfrac{2}{3})^5$ m
D.$[1 - (\dfrac{2}{3})^5]$ m
答案
第一个袋子：放入2个蓝球、4个白球（答案不唯一，蓝球数量小于白球数量即可）
第二个袋子：放入6个蓝球
第三个袋子：放入3个白球、3个蓝球
第四个袋子：放入6个白球
答：按上述方式在每个袋子中放入共6个球，即可满足对应的所有要求。
第二个袋子：放入6个蓝球
第三个袋子：放入3个白球、3个蓝球
第四个袋子：放入6个白球
答：按上述方式在每个袋子中放入共6个球，即可满足对应的所有要求。
12. 若n是正整数，则$1-(-1)^n$的值是
0或2
。答案
12. 0或2 解析:分两种情况:当n是正偶数时,$1-(-1)^n=1-1=0$;当n是正奇数时,$1-(-1)^n=1-(-1)=1+1=2$.故当n是正整数时,$1-(-1)^n$的值是0或2.
解析
【分析】
观察式子可知含有$(-1)^n$，根据乘方的符号规律：-1的偶次幂等于1，奇次幂等于-1。已知n是正整数，仅存在正偶数和正奇数两种情况，因此我们可以按n的奇偶性分类讨论，分别代入式子计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况计算：
① 当n是正偶数时：$(-1)^n=1$，则$1-(-1)^n=1-1=0$；
② 当n是正奇数时：$(-1)^n=-1$，则$1-(-1)^n=1-(-1)=1+1=2$。
因此当n是正整数时，$1-(-1)^n$的值为0或2。
【答案】
0或2
【知识点】
有理数的乘方；分类讨论思想；整数奇偶性
【点评】
本题考查-1的乘方的性质，解题关键是根据n的奇偶性分类讨论，避免漏算情况，属于乘方基础性质的应用类题目。
【难度系数】
0.8
观察式子可知含有$(-1)^n$，根据乘方的符号规律：-1的偶次幂等于1，奇次幂等于-1。已知n是正整数，仅存在正偶数和正奇数两种情况，因此我们可以按n的奇偶性分类讨论，分别代入式子计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况计算：
① 当n是正偶数时：$(-1)^n=1$，则$1-(-1)^n=1-1=0$；
② 当n是正奇数时：$(-1)^n=-1$，则$1-(-1)^n=1-(-1)=1+1=2$。
因此当n是正整数时，$1-(-1)^n$的值为0或2。
【答案】
0或2
【知识点】
有理数的乘方；分类讨论思想；整数奇偶性
【点评】
本题考查-1的乘方的性质，解题关键是根据n的奇偶性分类讨论，避免漏算情况，属于乘方基础性质的应用类题目。
【难度系数】
0.8
13. 用“☆”“★”定义新运算:对于任意有理数$a,b$,都有$a☆b=a^b$和$a★b=b^a$,那么$1★(-3☆2)=$
9
.答案
A中奖可能性：$8÷8 = 1$
B中奖可能性：$4÷8 = \frac{1}{2}$
C中奖可能性：$5÷8 = \frac{5}{8}$
$1 ＞ \frac{5}{8} ＞ \frac{1}{2}$
答：中奖可能性最大的是A。
B中奖可能性：$4÷8 = \frac{1}{2}$
C中奖可能性：$5÷8 = \frac{5}{8}$
$1 ＞ \frac{5}{8} ＞ \frac{1}{2}$
答：中奖可能性最大的是A。
14.（永州中考改编）定义：若$10^x = N$，则$x = \log_{10}N$，$x$称为以10为底的$N$的对数，简记为$\lg N$，其满足运算法则：$\lg M + \lg N = \lg (M · N)$（$M＞0,N＞0$）。例如：因为$10^2 = 100$，所以$2 = \lg 100$，亦即$\lg 100 = 2$；$\lg 4 + \lg 3 = \lg 12$。根据上述定义和运算法则，计算$(\lg 2)^2 + \lg 2 · \lg 5 + \lg 5 = $
1
。答案
14. 1 解析:因为$10^1 = 10$,所以$\lg 10 = 1$,所以$(\lg 2)^2 + \lg 2 · \lg 5 + \lg 5 = \lg 2(\lg 2 + \lg 5) + \lg 5 = \lg 2×\lg 10 + \lg 5 = \lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$.
解析
【分析】
首先观察所求式子的结构，前两项含有公因式$\lg 2$，第一步先提取公因式简化式子；再结合题目给出的对数运算法则$\lg M + \lg N = \lg (M·N)$，计算括号内$\lg 2+\lg 5$的结果；最后根据对数的定义求出最终值即可。
【解析】
根据对数的定义，因为$10^1=10$，所以$\lg 10=1$。
对原式变形计算：
$\begin{aligned}(\lg 2)^2 + \lg 2 · \lg 5 + \lg 5 &= \lg 2(\lg 2 + \lg 5) + \lg 5 \quad \mathrm{（提取公因式$\lg 2$）} \\&= \lg 2 × \lg (2×5) + \lg 5 \quad \mathrm{（运用对数运算法则）} \\&= \lg 2 × \lg 10 + \lg 5 \\&= \lg 2 ×1 + \lg 5 \\&= \lg 2 + \lg 5 \\&= \lg (2×5) \\&= \lg 10 = 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，提公因式法，乘方的意义
【点评】
本题为新定义类运算题，解题关键是读懂题目给出的对数定义和运算法则，结合已学的提公因式方法简化式子，再逐步计算，主要考查学生对新定义的理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察所求式子的结构，前两项含有公因式$\lg 2$，第一步先提取公因式简化式子；再结合题目给出的对数运算法则$\lg M + \lg N = \lg (M·N)$，计算括号内$\lg 2+\lg 5$的结果；最后根据对数的定义求出最终值即可。
【解析】
根据对数的定义，因为$10^1=10$，所以$\lg 10=1$。
对原式变形计算：
$\begin{aligned}(\lg 2)^2 + \lg 2 · \lg 5 + \lg 5 &= \lg 2(\lg 2 + \lg 5) + \lg 5 \quad \mathrm{（提取公因式$\lg 2$）} \\&= \lg 2 × \lg (2×5) + \lg 5 \quad \mathrm{（运用对数运算法则）} \\&= \lg 2 × \lg 10 + \lg 5 \\&= \lg 2 ×1 + \lg 5 \\&= \lg 2 + \lg 5 \\&= \lg (2×5) \\&= \lg 10 = 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，提公因式法，乘方的意义
【点评】
本题为新定义类运算题，解题关键是读懂题目给出的对数定义和运算法则，结合已学的提公因式方法简化式子，再逐步计算，主要考查学生对新定义的理解能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
15. 阅读下列各式：$(a×b)^2=a^2×b^2$，$(a×b)^3=a^3×b^3$，$(a×b)^4=a^4×b^4$，$(a×b)^5=a^5×b^5$……回答下列问题.
(1)猜想：$(a×b)^n=$
(2)请用我们学过的知识说明上式成立的理由.
(3)请计算：①$(-\dfrac{1}{4})^{1000}×4^{1000}$；
②$(-0.125)^{99}×2^{98}×4^{97}$.
(1)猜想：$(a×b)^n=$
$a^n×b^n$
.(2)请用我们学过的知识说明上式成立的理由.
(3)请计算：①$(-\dfrac{1}{4})^{1000}×4^{1000}$；
②$(-0.125)^{99}×2^{98}×4^{97}$.
答案
解：
同时掷两枚骰子，总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
点数之和小于7的情况数：$1+2+3+4+5 = 15$（种）
点数之和大于7的情况数：$5+4+3+2+1 = 15$（种）
两人获胜的可能性相等。
答：这个游戏公平，因为掷出点数之和大于7和点数之和小于7的情况都有15种，龙龙和典典赢的可能性大小相等。
同时掷两枚骰子，总共有 $6 × 6 = 36$ 种等可能的结果。
点数之和小于7的情况数：$1+2+3+4+5 = 15$（种）
点数之和大于7的情况数：$5+4+3+2+1 = 15$（种）
两人获胜的可能性相等。
答：这个游戏公平，因为掷出点数之和大于7和点数之和小于7的情况都有15种，龙龙和典典赢的可能性大小相等。
16. 阅读材料:
求 $1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}$ 的值.
解:设 $S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}$ ①,
将等式两边同时乘2,得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}+2^{100}$ ②,
将②式减去①式,得 $2S-S=2^{100}-1$,
即 $S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}=2^{100}-1$.
上述方法叫作错位相减法.仿照此法计算:
$1+3+3^2+3^3+···+3^{99}+3^{100}$.
求 $1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}$ 的值.
解:设 $S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}$ ①,
将等式两边同时乘2,得
$2S=2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}+2^{100}$ ②,
将②式减去①式,得 $2S-S=2^{100}-1$,
即 $S=1+2+2^2+2^3+2^4+···+2^{99}=2^{100}-1$.
上述方法叫作错位相减法.仿照此法计算:
$1+3+3^2+3^3+···+3^{99}+3^{100}$.
答案
16. 设 $S=1+3+3^2+3^3+…+3^{99}+3^{100}$ ①,将等式两边同时乘3,得 $3S=3+3^2+3^3+3^4+…+3^{100}+3^{101}$ ②,将②式减去①式,得 $3S-S=3^{101}-1$,即 $S=1+3+3^2+3^3+…+3^{99}+3^{100}=\dfrac{3^{101}-1}{2}$.
解析
【分析】
本题属于方法迁移类阅读题，首先观察所求式子的特征：从第二项开始，每一项都是前一项的3倍，和题干给出的求和式结构完全相同，可直接模仿材料中的错位相减法求解。解题思路为：第一步先设所求式子的总和为S，第二步将等式两边同时乘公比3得到新的等式，第三步用新等式减去原等式，中间重复的相同项会相互抵消，最后整理化简就能得到原式的结果。
【解析】
设 $S=1+3+3^2+3^3+…+3^{99}+3^{100}$ ①，
将等式两边同时乘3，得：
$3S=3+3^2+3^3+3^4+…+3^{100}+3^{101}$ ②，
用②式减去①式，得：
$3S - S = 3^{101} - 1$，
即 $2S = 3^{101} - 1$，
解得 $S=\dfrac{3^{101}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3^{101}-1}{2}$
【知识点】
有理数乘方，错位相减法，整式加减
【点评】
本题是典型的方法探究迁移题，核心是理解错位相减法的原理，抓住“设和→乘公比→错位相消→化简求值”的固定步骤，仿照给定示例即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题属于方法迁移类阅读题，首先观察所求式子的特征：从第二项开始，每一项都是前一项的3倍，和题干给出的求和式结构完全相同，可直接模仿材料中的错位相减法求解。解题思路为：第一步先设所求式子的总和为S，第二步将等式两边同时乘公比3得到新的等式，第三步用新等式减去原等式，中间重复的相同项会相互抵消，最后整理化简就能得到原式的结果。
【解析】
设 $S=1+3+3^2+3^3+…+3^{99}+3^{100}$ ①，
将等式两边同时乘3，得：
$3S=3+3^2+3^3+3^4+…+3^{100}+3^{101}$ ②，
用②式减去①式，得：
$3S - S = 3^{101} - 1$，
即 $2S = 3^{101} - 1$，
解得 $S=\dfrac{3^{101}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3^{101}-1}{2}$
【知识点】
有理数乘方，错位相减法，整式加减
【点评】
本题是典型的方法探究迁移题，核心是理解错位相减法的原理，抓住“设和→乘公比→错位相消→化简求值”的固定步骤，仿照给定示例即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
17. 已知 $ m ≥ 2, n ≥ 2 $，且 $ m, n $ 均为正整数，如果将 $ m^n $ 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有 (
① $ 2^5 $ 的“分解”结果是15和17两个数.
②在 $ 4^3 $ 的“分解”中，最小的数是13.
③若 $ m^3 $ 的“分解”结果中最小的数是23，则 $ m=5 $.
④若 $ 3^n $ 的“分解”结果中最小的数是79，则 $ n=5 $.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)① $ 2^5 $ 的“分解”结果是15和17两个数.
②在 $ 4^3 $ 的“分解”中，最小的数是13.
③若 $ m^3 $ 的“分解”结果中最小的数是23，则 $ m=5 $.
④若 $ 3^n $ 的“分解”结果中最小的数是79，则 $ n=5 $.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
(1) 沙和尚；猪八戒
(2) 答：不一定。因为抽卡片属于随机事件，40次试验的结果存在偶然性，不能完全代表盒中卡片的实际数量多少。
(3) A
(2) 答：不一定。因为抽卡片属于随机事件，40次试验的结果存在偶然性，不能完全代表盒中卡片的实际数量多少。
(3) A
解析
【分析】
首先观察“分解”的特征，总结规律：①$m^n$会分解为$m$个连续的奇数，所有奇数的和等于$m^n$；②分别从底数为2、3的示例中归纳出分解的最小奇数的通用规律，再用规律逐一验证4个叙述是否正确。
【解析】
先总结通用规律：
1. 底数为$m$时，$m^n$分解出的连续奇数的个数等于$m$，所有奇数的和为$m^n$；
2. 从示例归纳特殊规律：
$2^n$分解的最小奇数为$2^{n-1}-1$；
$m^3$分解的最小奇数为$m^2 - m +1$；
$3^n$分解的最小奇数为$3^{n-1}-2$。
逐个判断叙述：
① $2^5$的最小奇数为$2^{5-1}-1=15$，两个连续奇数为15、17，和为$15+17=32=2^5$，叙述正确；
② $4^3$的最小奇数为$4^2-4+1=13$，四个连续奇数13、15、17、19的和为$13+15+17+19=64=4^3$，叙述正确；
③ $m=5$时，$5^3$分解的最小奇数为$5^2-5+1=21≠23$，叙述错误；
④ 若$3^n$最小奇数为79，则$3^{n-1}-2=79$，得$3^{n-1}=81=3^4$，即$n-1=4$，$n=5$，叙述正确。
综上，①②④共3个叙述正确。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题需要先从示例中归纳通用规律，再运用规律验证结论，重点考查观察归纳能力和乘方的运算能力，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先观察“分解”的特征，总结规律：①$m^n$会分解为$m$个连续的奇数，所有奇数的和等于$m^n$；②分别从底数为2、3的示例中归纳出分解的最小奇数的通用规律，再用规律逐一验证4个叙述是否正确。
【解析】
先总结通用规律：
1. 底数为$m$时，$m^n$分解出的连续奇数的个数等于$m$，所有奇数的和为$m^n$；
2. 从示例归纳特殊规律：
$2^n$分解的最小奇数为$2^{n-1}-1$；
$m^3$分解的最小奇数为$m^2 - m +1$；
$3^n$分解的最小奇数为$3^{n-1}-2$。
逐个判断叙述：
① $2^5$的最小奇数为$2^{5-1}-1=15$，两个连续奇数为15、17，和为$15+17=32=2^5$，叙述正确；
② $4^3$的最小奇数为$4^2-4+1=13$，四个连续奇数13、15、17、19的和为$13+15+17+19=64=4^3$，叙述正确；
③ $m=5$时，$5^3$分解的最小奇数为$5^2-5+1=21≠23$，叙述错误；
④ 若$3^n$最小奇数为79，则$3^{n-1}-2=79$，得$3^{n-1}=81=3^4$，即$n-1=4$，$n=5$，叙述正确。
综上，①②④共3个叙述正确。
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题需要先从示例中归纳通用规律，再运用规律验证结论，重点考查观察归纳能力和乘方的运算能力，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
