11 如图,弧 AD 是以等边三角形 ABC 的一边 AB 为半径的四分之一圆周,P 为弧 AD 上任意一点.若 AC=5,则四边形 ACBP 周长的最大值是().

A.15
B.$15+5\sqrt{2}$
C.20
D.$15+5\sqrt{5}$

11. B

12（2026·连云港新海实验中学期中）如图，在扇形AOB中，D为$\overset{\frown}{AB}$上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若$CD=OA$，$∠ O=75°$，则$∠ CAO$的度数为°。

12. 70

13(2025·南通海门区海南中学月考)如图,点O是同心圆的圆心,大圆半径OA,OB分别交小圆于点C,D,求证:AB//CD.

13. $\because OC=OD,\therefore ∠OCD=∠ODC$，
$\therefore ∠OCD=\frac{1}{2}(180°-∠O)$，
$\because OA=OB,\therefore ∠OAB=∠OBA$，
$\therefore ∠OAB=\frac{1}{2}(180°-∠O)$，
$\therefore ∠OCD=∠OAB,\therefore AB//CD$。

14(2026·浙江杭州上城区开元中学月考改编)如图，C是$\odot O$直径AB上一点，过点C作弦DE，$∠ AOD=40°$，$∠ E=40°$，求证：$CD=CO$。
(第14题)

14. $\because OD=OE,∠E=40°$，
$\therefore ∠D=∠E=40°$。
$\because ∠AOD=40°,\therefore 即∠COD=40°$，
$\therefore ∠D=∠COD,\therefore CD=CO$。
思路引导 本题重点考查与圆有关的概念和性质、弧的度数的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，先根据半径相等推出$∠D=∠E=40°$，再由$∠AOD=40°$推导出$∠D=∠COD=40°$即可求证。

15(2026·苏州沧浪中学月考)如图，A,B,C是$\odot O$上的三点，BO平分$∠ ABC$.求证:$BA=BC$.

15. 连接OA,OC，如图。
$\because OA=OB,OB=OC$，
$\therefore ∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO$。
$\because BO$平分$∠ABC,\therefore ∠ABO=∠CBO$，
$\therefore ∠BAO=∠BCO,\therefore △OAB≌△OCB,\therefore AB=BC$。

16 动点定圆模型（2026·扬州高邮月考）如图，线段OA＝5，以O为圆心，2为半径作$\odot O$.P为$\odot O$上的动点，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转$90°$得到AQ，连接OQ.在点P运动的过程中，求OQ长度的最小值.

16. 如图，将AO绕点A逆时针旋转90°得到AR，连接OR，则$∠OAR=90°,RA=OA=5$，
$\therefore OR=\sqrt{RA^2+OA^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$。
$\because$ 将AP绕点A逆时针旋转90°得到AQ，
$\therefore ∠PAQ=90°,AQ=AP$，
$\therefore ∠RAQ=∠OAP=90°-∠PAR$，
在$△RAQ$和$△OAP$中，$\begin{cases} RA=OA, \\ ∠RAQ=∠OAP, \\ AQ=AP, \end{cases}$
$\therefore △RAQ≌△OAP(SAS)$。
$\because ⊙O$的半径为2，$\therefore RQ=OP=2,\therefore OR-RQ=5\sqrt{2}-2$。
$\because OQ+RQ≥OR,\therefore OQ≥OR-RQ,\therefore OQ≥5\sqrt{2}-2$，
$\therefore OQ$长度的最小值是$5\sqrt{2}-2$。
归纳总结 本题重点考查旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键。