1[2026河北秦皇岛期末,中]如图,∠ABM是锐角,点C从点B出发沿射线BM方向运动,连结AC.关于△ABC的形状变化情况,下列说法正确的是 ()

A.钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形
B.钝角三角形→直角三角形→钝角三角形
C.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D.钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形

1.D 【解析】点C从点B出发后至AC⊥BC前，∠ACB＞90°,△ABC是钝角三角形; 当点C运动至AC⊥BC时, ∠ACB=90°,△ABC是直角三角形; 点C继续向右运动, ∠BAC由小变大, 当点C运动至AC⊥AB前, ∠BAC＜90°,△ABC是锐角三角形; 当点C运动至AC⊥AB时, ∠BAC=90°,△ABC是直角三角形; 点C继续向右运动, 即∠BAC＞90°,△ABC是钝角三角形. 因此△ABC的形状变化情况为钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形. 故选D.

2 新考法[2026 浙江温州期末,中]若7条长度均为整数的线段,其长度$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$满足$a_1＜a_2＜a_3＜a_4＜a_5＜a_6＜a_7$,且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形,$a_1=1$,则$a_6$能取的最小值是 ()

A.11
B.12
C.13
D.15

2.C 【解析】由任意3条线段都不能构成三角形，可知前两个数之和小于或等于第三个数. 当$a_1=1$时,$a_2$最小取2,$a_3$最小取3,…,则此时这7条线段的长度分别为1,2,3,5,8,13,21,则$a_6$能取的最小值是13. 故选C.

3[2026安徽安庆期中,较难]如图,在△ABC中,点D,E均在AB边上,已知∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,则下列结论一定成立的是 ()

A.∠ACB=2∠DCE
B.∠A=2∠BCE
C.∠B+∠A=2∠DCE
D.∠CDE+∠CED=2∠ACB

3.C 【解析】设∠A=x, ∠B=y, 所以∠ACE=∠AEC=(180°−x)/2=90°−x/2, ∠BCD=∠BDC=(180°−y)/2=90°−y/2. 设∠ACB=z, 则x+y+z=180°.
因为∠ACE=∠ACD+∠DCE, ∠BCD=∠DCE+∠BCE, 且∠ACB=∠ACD+∠DCE+∠BCE, 所以∠ACE+∠BCD=(∠ACD+∠DCE)+(∠DCE+∠BCE)=∠ACB+∠DCE, 所以90°−x/2+90°−y/2=z+∠DCE,180°−(x+y)/2=z+∠DCE. 又因为x+y=180°−z, 所以180°−(180°−z)/2=z+∠DCE,90°+z/2=z+∠DCE, 所以∠DCE=90°−z/2. 选项A, 若∠ACB=2∠DCE, 则z=2(90°−z/2)=180°−z, 解得z=90°, 该结论不一定成立. 选项B, ∠BCE=∠BCD−∠DCE=90°−y/2−(90°−z/2)=(z−y)/2, 若∠A=2∠BCE, 则x=2×(z−y)/2=z−y, 即x+y=z. 又因为x+y+z=180°, 解得z=90°, 该结论不一定成立. 选项C, ∠B+∠A=y+x=180°−z,2∠DCE=2(90°−z/2)=180°−z, 所以∠B+∠A=2∠DCE恒成立. 选项D, 在△CDE中, ∠CDE+∠CED=180°−∠DCE=180°−(90°−z/2)=90°+z/2, 若∠CDE+∠CED=2∠ACB, 则90°+z/2=2z, 解得z=60°, 该结论不一定成立. 故选C.

4[2026江苏苏州调研,中]如果一个三角形的三边长a,b,c均为偶数,且满足$a ＜ b ≤ c$,那么称该三角形为“幸运三角形”.当$b=6$时,“幸运三角形”有个;当$b=2n$($n$为不小于2的正整数)时,“幸运三角形”有个.(用含$n$的代数式表示)

4.3；$\frac{1}{2}n(n-1)$ 【解析】当$b=6$时,$a=2$或4. 当$a=2$时,$6-2＜c＜6+2$,即$4＜c＜8$. 因为$c$为偶数, 所以$c=6$, 当$a=4$时,$6-4＜c＜6+4$,即$2＜c＜10$. 因为$c$为偶数,$c≥6$, 所以$c=6$或8, 所以满足条件的“幸运三角形”有3个. 当$n=2$时,“幸运三角形”的三边长分别是2,4,4,共1个; 当$n=3$时,“幸运三角形”的三边长分别是2,6,6或4,6,6或4,6,8,共3个,$3=1+2$; 当$n=4$时,“幸运三角形”的三边长分别是2,8,8或4,8,8或4,8,10或6,8,8或6,8,10或6,8,12,共6个,$6=1+2+3$; 当$n=5$时,“幸运三角形”的三边长分别是2,10,10或4,10,10或4,10,12或6,10,10或6,10,12或6,10,14或8,10,10或8,10,12或8,10,14或8,10,16,共10个,$10=1+2+3+4$;…, 所以“幸运三角形”的个数为$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{1}{2}n(n-1)$, 故答案为3,$\frac{1}{2}n(n-1)$.

5 新考向开放性试题 [2026 北京海淀区期末,中]
以网格中的格点 A,B,C,D,E 中的任意三点为顶点,按下面的要求画三角形.
(1)在图(1)中画一个锐角三角形；
(2)在图(2)中画一个直角三角形；
(3)在图(3)中画一个钝角三角形.

刷素养 走向重高

5.【解】(1)如图(1),△ADE即为所求.
(2)如图(2),△BDE即为所求.(答案不唯一)
(3)如图(3),△CDE即为所求.(答案不唯一)

6 核心素养 几何直观 [2026福建厦门调研,较难]定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的2倍,那么称这两个角互为“友爱角”,这个三角形叫作“友爱三角形”.例如:在△ABC中,如果∠A=40°,∠B=80°,那么∠A与∠B互为“友爱角”,△ABC为“友爱三角形”.
(1)如图(1),△ABC是“友爱三角形”,∠ACB=90°,且∠A与∠B互为“友爱角”(∠B＞∠A).
①∠A=,∠B=.
②将△ABC沿过点C的直线折叠,使得点B落在AB边上的点B'处,折痕为CD(D在AB上).判断△ACD是否为“友爱三角形”,并说明理由.
(2)如图(2),在△ABC中,∠B＞∠A,∠B=72°,D是边AB上一点(不与A,B重合),连结CD.将△CDB沿CD折叠得到△CDB',B'落在AC边上,若△ADB'是“友爱三角形”,求∠ACD的度数.

6.【解】(1)①因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=180°−∠ACB=90°.
因为∠A与∠B互为“友爱角”(∠B＞∠A),所以∠B=2∠A,所以∠A+2∠A=90°,解得∠A=30°,所以∠B=60°,故答案为30°,60°.
②△ACD是“友爱三角形”. 理由如下:
由折叠的性质可得∠B'DC=∠BDC.
因为∠B'DC+∠BDC=180°,所以∠B'DC=∠BDC=90°.
由①知∠A=30°,所以∠ACD=180°−∠A−∠ADC=60°,所以∠ACD=2∠A,所以△ACD是“友爱三角形”.
(2)由折叠的性质可得∠CB'D=∠B=72°,∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB,所以∠AB'D=180°−∠CB'D=108°.
因为△ADB'是“友爱三角形”,所以当∠AB'D=2∠A时,∠A=54°＜72°,所以∠ACB=180°−∠A−∠B=54°,所以∠ACD=27°;
当∠AB'D=2∠ADB'时,∠ADB'=54°,所以∠A=180°−54°−108°=18°＜72°,所以∠ACB=180°−∠A−∠B=90°,所以∠ACD=45°;
当∠A=2∠ADB'时,∠A+∠ADB'=180°−∠AB'D=72°,所以2∠ADB'+∠ADB'=72°,所以∠ADB'=24°,所以∠A=48°＜72°,所以∠ACB=180°−∠A−∠B=60°,所以∠ACD=30°;
当∠ADB'=2∠A时,∠A+∠ADB'=180°−∠AB'D=72°,所以2∠A+∠A=72°,所以∠A=24°＜72°,所以∠ACB=180°−∠A−∠B=84°,所以∠ACD=42°.
综上所述,∠ACD的度数为27°或30°或42°或45°.