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1 下列说法中,正确的是 (
A.在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同是必然事件
B.某彩票的中奖概率是5%,买100张彩票一定有5张中奖
C.成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件
D.运动会上射击运动员射击一次,命中10环是必然事件
A
)A.在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同是必然事件
B.某彩票的中奖概率是5%,买100张彩票一定有5张中奖
C.成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件
D.运动会上射击运动员射击一次,命中10环是必然事件
答案
【解析】在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同是必然事件,故A符合题意;某彩票的中奖概率是5%,买100张彩票不一定有5张中奖,故B不符合题意;成语"水中捞月"所描述的事件是不可能事件,故C不符合题意;运动会上射击运动员射击一次,命中10环是随机事件,故D不符合题意. 故选A.
2 若k是随机投掷一个骰子所得的数字(1~6)，则关于x的一元二次方程$(k-1)x^2+4x+1=0$有两个不等实数根的概率P为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
【解析】$\because$关于x的一元二次方程$(k-1)x^2+4x+1=0$有两个不等实数根,$\therefore b^2-4ac=16-4(k-1)＞0$,且$k≠1$,解得$k＜5$,且$k≠1$,则符合条件的数字为2,3,4,共3个,故方程有两个不等实数根的概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. 故选A.
二、填空题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
3 新考向跨学科综合[2025安徽中考]在一个平衡的天平左、右两端托盘上,分别放置质量为20 g和70 g的物品后,天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为
3 新考向跨学科综合[2025安徽中考]在一个平衡的天平左、右两端托盘上,分别放置质量为20 g和70 g的物品后,天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
【解析】从四件物品中任选两件共有6种组合:(10 g,20 g),(10 g,30 g),(10 g,40 g),(20 g,30 g),(20 g,40 g),(30 g,40 g),其中符合平衡条件的共有2种:(10 g,40 g),(20 g,30 g),$\therefore$天平恢复平衡的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
4 用下图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是
$\frac{1}{3}$
。答案
【解析】将题图中左图的蓝色部分分为相等的三部分,分别记为蓝$_1$、蓝$_2$、蓝$_3$. 画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中配成紫色的结果有4种,$\therefore$配成紫色的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$,故答案为$\frac{1}{3}$.
三、解答题(本大题共2小题,共50分)
5[2025江苏连云港质检]甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A、B、C、D).
①若甲先从中随机选取1个,则甲选中球拍C的概率为
②若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,试用列表或画树状图的方法,求乙选中球拍C的概率.
(2)双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.这个约定是否公平?为什么?试用列表或画树状图的方法说明理由.
5[2025江苏连云港质检]甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A、B、C、D).
①若甲先从中随机选取1个,则甲选中球拍C的概率为
$\frac{1}{4}$
;②若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,试用列表或画树状图的方法,求乙选中球拍C的概率.
(2)双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.这个约定是否公平?为什么?试用列表或画树状图的方法说明理由.
答案
(1)①甲先从中随机选取1个,则甲选中球拍C的概率为$\frac{1}{4}$. 故答案为$\frac{1}{4}$.
②画树状图如下:
一共有12种等可能的结果,其中乙选中球拍C的结果有3种,$\therefore P(乙选中球拍C)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.
(2)公平. 理由:画树状图如下:
一共有4种等可能的结果,其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种,$\therefore P(甲先发球)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,$P(乙先发球)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
$\because P(甲先发球)=P(乙先发球)$,$\therefore$这个约定公平.
6[2026浙江绍兴期中]某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定顾客购物满100元就能获得一次转动转盘的机会.当转盘停止转动时,指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品.请根据下表数据回答问题.
(1)填空:$a=$
(2)假如你去转动该转盘一次,你获得“橙汁”的概率大约是
(3)在该转盘中,表示“可乐”区域的扇形的圆心角度数约是多少?
(1)填空:$a=$
0.705
,$b=$0.701
.(2)假如你去转动该转盘一次,你获得“橙汁”的概率大约是
0.7
.(精确到0.1)(3)在该转盘中,表示“可乐”区域的扇形的圆心角度数约是多少?
答案
(1)$a=564÷800=0.705$,$b=701÷1000=0.701$. 故答案为0.705,0.701.
(2)随着转动转盘次数的增多,指针落在"橙汁"区域的频率将会接近0.7,故获得"橙汁"的概率大约是0.7,故答案为0.7.
(3)$\because$获得"橙汁"的概率大约是0.7,$\therefore$获得"可乐"的概率大约是$1-0.7=0.3$,$\therefore$在该转盘中,表示"可乐"区域的扇形的圆心角度数约是$0.3×360°=108°$.
(2)随着转动转盘次数的增多,指针落在"橙汁"区域的频率将会接近0.7,故获得"橙汁"的概率大约是0.7,故答案为0.7.
(3)$\because$获得"橙汁"的概率大约是0.7,$\therefore$获得"可乐"的概率大约是$1-0.7=0.3$,$\therefore$在该转盘中,表示"可乐"区域的扇形的圆心角度数约是$0.3×360°=108°$.
