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8 某同学使用计算器求20个数据的平均数时，错将其中一个数据201输入为21，那么由此求出的这组数据的平均数比实际平均数少
9
。答案
8. 9 【解析】求 20 个数据的平均数时,错将其中一个数据 201 输入为 21,即少加了 201-21=180,由此求出的这组数据的平均数比实际平均数少$\frac{180}{20}=9$,故答案为 9.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平均数的计算逻辑：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。本题中数据的总个数20没有变化，仅单个数据输入错误，因此我们可以先计算输入错误导致数据总和少算的部分，再将总差值平均分摊到20个数据上，就能得到错误平均数比实际平均数少的数值。
【解析】
首先计算数据输入错误后总和少加的数值：
原数据为201，错输为21，因此总和少加了 $201 - 21 = 180$。
因为平均数是总和除以数据总个数，总共有20个数据，所以平均数的差值为总差值除以总个数：
$\frac{180}{20} = 9$。
【答案】
9
【知识点】
平均数的计算，统计误差分析
【点评】
本题侧重考查对平均数概念的理解，解题的关键是抓住“总个数不变，平均数的差值等于总和的差值除以总个数”这一规律，无需计算所有数据的总和即可快速得出结果，解题思路较为灵活。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆平均数的计算逻辑：平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数。本题中数据的总个数20没有变化，仅单个数据输入错误，因此我们可以先计算输入错误导致数据总和少算的部分，再将总差值平均分摊到20个数据上，就能得到错误平均数比实际平均数少的数值。
【解析】
首先计算数据输入错误后总和少加的数值：
原数据为201，错输为21，因此总和少加了 $201 - 21 = 180$。
因为平均数是总和除以数据总个数，总共有20个数据，所以平均数的差值为总差值除以总个数：
$\frac{180}{20} = 9$。
【答案】
9
【知识点】
平均数的计算，统计误差分析
【点评】
本题侧重考查对平均数概念的理解，解题的关键是抓住“总个数不变，平均数的差值等于总和的差值除以总个数”这一规律，无需计算所有数据的总和即可快速得出结果，解题思路较为灵活。
【难度系数】
0.8
9 小明等五名同学四月份参加某次数学测验的成绩(单位:分)如下:100,100,x,x,80. 已知这组数据的中位数和平均数相等,那么整数x的值为
60或110
.答案
思路分析
分三种情况讨论: ① $x ＜ 80$;② $x ＞ 100$;③$80≤x≤100$.然后列方程求解即可.
9. 60 或 110 【解析】①x＜80 时,这组数据从小到大排序为 x,x,80,100,100,中位数是 80,所以 (100+100+x+x+80)÷5=80,所以 x=60.
②x＞100 时,这组数据从小到大排序为 80,100,100,x,x,中位数是 100,所以 (100+100+x+x+80)÷5=100,所以 x=110. ③当 80≤x≤100 时,这组数据从小到大排序为 80,x,x,100,100,中位数是 x,所以 (100+100+x+x+80)÷5=x,所以 $x=\frac{280}{3}$,x 不是整数,舍去. 故答案为 60 或 110.
分三种情况讨论: ① $x ＜ 80$;② $x ＞ 100$;③$80≤x≤100$.然后列方程求解即可.
9. 60 或 110 【解析】①x＜80 时,这组数据从小到大排序为 x,x,80,100,100,中位数是 80,所以 (100+100+x+x+80)÷5=80,所以 x=60.
②x＞100 时,这组数据从小到大排序为 80,100,100,x,x,中位数是 100,所以 (100+100+x+x+80)÷5=100,所以 x=110. ③当 80≤x≤100 时,这组数据从小到大排序为 80,x,x,100,100,中位数是 x,所以 (100+100+x+x+80)÷5=x,所以 $x=\frac{280}{3}$,x 不是整数,舍去. 故答案为 60 或 110.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确：5个数据的中位数是排序后第3个数据，x的取值会影响数据的排序结果，因此要分情况讨论x的取值范围，先确定每种情况下的中位数，再根据“中位数和平均数相等”列方程求解，最后结合x是整数的要求筛选符合条件的解。
【解析】
这组数据的平均数为$\frac{100+100+x+x+80}{5}=\frac{280+2x}{5}$，分三种情况讨论：
① 当$x＜80$时，数据从小到大排序为：$x,x,80,100,100$，中位数为80。
根据题意列方程：$\frac{280+2x}{5}=80$，
解得$x=60$，符合$x＜80$且为整数，有效。
② 当$x＞100$时，数据从小到大排序为：$80,100,100,x,x$，中位数为100。
根据题意列方程：$\frac{280+2x}{5}=100$，
解得$x=110$，符合$x＞100$且为整数，有效。
③ 当$80\le x\le100$时，数据从小到大排序为：$80,x,x,100,100$，中位数为x。
根据题意列方程：$\frac{280+2x}{5}=x$，
解得$x=\frac{280}{3}$，不是整数，舍去。
综上，整数x的值为60或110。
【答案】
60或110
【知识点】
中位数的定义、平均数的计算、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略x的取值对排序的影响，漏分类讨论导致漏解，同时要注意题目要求x为整数，需对计算出的解进行验证，舍去不符合要求的结果。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需明确：5个数据的中位数是排序后第3个数据，x的取值会影响数据的排序结果，因此要分情况讨论x的取值范围，先确定每种情况下的中位数，再根据“中位数和平均数相等”列方程求解，最后结合x是整数的要求筛选符合条件的解。
【解析】
这组数据的平均数为$\frac{100+100+x+x+80}{5}=\frac{280+2x}{5}$，分三种情况讨论：
① 当$x＜80$时，数据从小到大排序为：$x,x,80,100,100$，中位数为80。
根据题意列方程：$\frac{280+2x}{5}=80$，
解得$x=60$，符合$x＜80$且为整数，有效。
② 当$x＞100$时，数据从小到大排序为：$80,100,100,x,x$，中位数为100。
根据题意列方程：$\frac{280+2x}{5}=100$，
解得$x=110$，符合$x＞100$且为整数，有效。
③ 当$80\le x\le100$时，数据从小到大排序为：$80,x,x,100,100$，中位数为x。
根据题意列方程：$\frac{280+2x}{5}=x$，
解得$x=\frac{280}{3}$，不是整数，舍去。
综上，整数x的值为60或110。
【答案】
60或110
【知识点】
中位数的定义、平均数的计算、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略x的取值对排序的影响，漏分类讨论导致漏解，同时要注意题目要求x为整数，需对计算出的解进行验证，舍去不符合要求的结果。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共55分)
10 在小明、小红两名同学中选拔一人参加学校举办的“经典诗词朗诵”大赛,在相同的测试条件下,两人5次的测试成绩(单位:分)如下:
小明:80,85,82,85,83;
小红:88,79,90,81,72.
回答下列问题:
(1)求小明和小红测试的平均成绩;
(2)求小明和小红5次测试成绩的方差.
10 在小明、小红两名同学中选拔一人参加学校举办的“经典诗词朗诵”大赛,在相同的测试条件下,两人5次的测试成绩(单位:分)如下:
小明:80,85,82,85,83;
小红:88,79,90,81,72.
回答下列问题:
(1)求小明和小红测试的平均成绩;
(2)求小明和小红5次测试成绩的方差.
答案
10. 【解】(1) 小明测试的平均成绩为 $\frac{1}{5}×(80+85+82+85+83)=83$(分), 小红测试的平均成绩为 $\frac{1}{5}×(88+79+90+81+72)=82$(分).
(2) $s_小明^2=\frac{1}{5}×[(80-83)^2+2×(85-83)^2+(82-83)^2+(83-83)^2]=\frac{18}{5}$, $s_小红^2=\frac{1}{5}×[(88-82)^2+(79-82)^2+(90-82)^2+(81-82)^2+(72-82)^2]=42$.
(2) $s_小明^2=\frac{1}{5}×[(80-83)^2+2×(85-83)^2+(82-83)^2+(83-83)^2]=\frac{18}{5}$, $s_小红^2=\frac{1}{5}×[(88-82)^2+(79-82)^2+(90-82)^2+(81-82)^2+(72-82)^2]=42$.
解析
【分析】
(1) 计算平均成绩需用算术平均数公式：对于n个数据，平均数等于所有数据之和除以数据个数n。本题中两人测试次数均为5，分别将两人的5次成绩求和后除以5，即可得到对应平均成绩。
(2) 计算方差需用方差公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，需先借助第一问求出的平均成绩，分别计算两人每个成绩与自身平均成绩的差的平方，求和后再除以测试次数5即可，小明有两次成绩为85，计算时可合并简化运算。
【解析】
(1) 小明测试的平均成绩：
$\bar{x}_小明=\frac{1}{5}×(80+85+82+85+83)=\frac{1}{5}×415=83$（分）
小红测试的平均成绩：
$\bar{x}_小红=\frac{1}{5}×(88+79+90+81+72)=\frac{1}{5}×410=82$（分）
(2) 根据方差公式计算：
$s_小明^2=\frac{1}{5}×[(80-83)^2+2×(85-83)^2+(82-83)^2+(83-83)^2]=\frac{1}{5}×(9+8+1+0)=\frac{18}{5}$
$s_小红^2=\frac{1}{5}×[(88-82)^2+(79-82)^2+(90-82)^2+(81-82)^2+(72-82)^2]=\frac{1}{5}×(36+9+64+1+100)=42$
【答案】
(1) 小明平均成绩为83分，小红平均成绩为82分；
(2) 小明成绩的方差为$\frac{18}{5}$，小红成绩的方差为42。
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查平均数和方差的公式应用，解题核心是熟记两个统计量的计算公式，计算时需注意平方、求和环节的准确性，避免因运算失误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 计算平均成绩需用算术平均数公式：对于n个数据，平均数等于所有数据之和除以数据个数n。本题中两人测试次数均为5，分别将两人的5次成绩求和后除以5，即可得到对应平均成绩。
(2) 计算方差需用方差公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均数，需先借助第一问求出的平均成绩，分别计算两人每个成绩与自身平均成绩的差的平方，求和后再除以测试次数5即可，小明有两次成绩为85，计算时可合并简化运算。
【解析】
(1) 小明测试的平均成绩：
$\bar{x}_小明=\frac{1}{5}×(80+85+82+85+83)=\frac{1}{5}×415=83$（分）
小红测试的平均成绩：
$\bar{x}_小红=\frac{1}{5}×(88+79+90+81+72)=\frac{1}{5}×410=82$（分）
(2) 根据方差公式计算：
$s_小明^2=\frac{1}{5}×[(80-83)^2+2×(85-83)^2+(82-83)^2+(83-83)^2]=\frac{1}{5}×(9+8+1+0)=\frac{18}{5}$
$s_小红^2=\frac{1}{5}×[(88-82)^2+(79-82)^2+(90-82)^2+(81-82)^2+(72-82)^2]=\frac{1}{5}×(36+9+64+1+100)=42$
【答案】
(1) 小明平均成绩为83分，小红平均成绩为82分；
(2) 小明成绩的方差为$\frac{18}{5}$，小红成绩的方差为42。
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题是统计基础题型，重点考查平均数和方差的公式应用，解题核心是熟记两个统计量的计算公式，计算时需注意平方、求和环节的准确性，避免因运算失误失分。
【难度系数】
0.8
11[2026江苏连云港质检]小聪、小明准备代表学校参加市里的“党史知识”竞赛，老师对这两名同学进行了5次测试，两人5次测试的成绩(单位:分,满分10分)如下：
小聪:8,8,7,8,9.小明:10,9,7,5,9.
(1)求出表中的a,b,c,d,e的值.
(2)根据上面的计算,老师选择小聪代表班级参赛,理由是什么?
(3)如果再组织一次测试,小明得8分,那么
小明成绩的方差
小聪:8,8,7,8,9.小明:10,9,7,5,9.
(1)求出表中的a,b,c,d,e的值.
(2)根据上面的计算,老师选择小聪代表班级参赛,理由是什么?
(3)如果再组织一次测试,小明得8分,那么
小明成绩的方差
变小
.(填“变大”“变小”或“不变”)答案
11. 【解】(1) 小聪的成绩中 8 分出现的次数最多,故众数 a=8,方差 $b=\frac{1}{5}×[3×(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2]=0.4$, 小明成绩的平均数 c=(10+9+7+5+9)÷5=8,众数 d=9. 将成绩从小到大排列后,中间的数是 9,故中位数 e=9.
(2) 理由是两人成绩的平均数相同,但小聪成绩的方差较小,成绩较稳定.
(3) 如果再组织一次测试,小明得 8 分,则平均数不变,方差变为 $\frac{1}{6}×(3.2×5)≈2.7＜3.2$,即小明成绩的方差变小. 故答案为变小.
(2) 理由是两人成绩的平均数相同,但小聪成绩的方差较小,成绩较稳定.
(3) 如果再组织一次测试,小明得 8 分,则平均数不变,方差变为 $\frac{1}{6}×(3.2×5)≈2.7＜3.2$,即小明成绩的方差变小. 故答案为变小.
解析
【分析】
解决这道题需要依次运用各统计量的定义和计算方法：
1. 求解第(1)问时，先明确众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大（或从大到小）排列后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取最中间的数，为偶数时取中间两个数的平均数），平均数是所有数据的和除以数据个数，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，分别对应计算a、b、c、d、e的值即可。
2. 第(2)问结合方差的意义分析：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，在平均数相同的前提下，选择方差小的选手参赛更合适。
3. 第(3)问加入新成绩后，先判断平均数不变，再计算新方差和原方差比较，就能得出变化趋势。
【解析】
(1) ①小聪的5次成绩排序为7,8,8,8,9，其中8分出现3次，出现次数最多，因此众数$a=8$；
方差$b=\frac{1}{5}×[3×(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(0+1+1)=0.4$。
②小明的5次成绩排序为5,7,9,9,10，平均数$c=(5+7+9+9+10)÷5=40÷5=8$；
其中9分出现2次，出现次数最多，因此众数$d=9$；
排序后第3个数据是9，因此中位数$e=9$。
(2) 由计算结果可知，小聪和小明的平均成绩均为8分，水平相当，但小聪成绩的方差0.4远小于小明成绩的方差3.2，说明小聪的成绩波动更小，发挥更稳定，因此老师选择小聪代表班级参赛。
(3) 加入新成绩8分后，小明的平均成绩为$\frac{40+8}{6}=8$，和原平均数相同，
新方差为$\frac{1}{6}×[3.2×5+(8-8)^2]=\frac{16}{6}\approx2.7＜3.2$，因此小明成绩的方差变小。
【答案】
(1) $a=8$，$b=0.4$，$c=8$，$d=9$，$e=9$；
(2) 两人平均成绩相同，小聪成绩的方差更小，发挥更稳定；
(3) 变小
【知识点】
1. 统计量计算
2. 方差的计算
3. 方差的意义
【点评】
本题结合竞赛选拔的实际场景，考查了基础统计量的计算与实际应用，解题的关键是准确掌握各统计量的定义，理解方差反映数据波动程度的特性，属于统计部分的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要依次运用各统计量的定义和计算方法：
1. 求解第(1)问时，先明确众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大（或从大到小）排列后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取最中间的数，为偶数时取中间两个数的平均数），平均数是所有数据的和除以数据个数，方差是每个数据与平均数差的平方的平均数，分别对应计算a、b、c、d、e的值即可。
2. 第(2)问结合方差的意义分析：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，在平均数相同的前提下，选择方差小的选手参赛更合适。
3. 第(3)问加入新成绩后，先判断平均数不变，再计算新方差和原方差比较，就能得出变化趋势。
【解析】
(1) ①小聪的5次成绩排序为7,8,8,8,9，其中8分出现3次，出现次数最多，因此众数$a=8$；
方差$b=\frac{1}{5}×[3×(8-8)^2+(7-8)^2+(9-8)^2]=\frac{1}{5}×(0+1+1)=0.4$。
②小明的5次成绩排序为5,7,9,9,10，平均数$c=(5+7+9+9+10)÷5=40÷5=8$；
其中9分出现2次，出现次数最多，因此众数$d=9$；
排序后第3个数据是9，因此中位数$e=9$。
(2) 由计算结果可知，小聪和小明的平均成绩均为8分，水平相当，但小聪成绩的方差0.4远小于小明成绩的方差3.2，说明小聪的成绩波动更小，发挥更稳定，因此老师选择小聪代表班级参赛。
(3) 加入新成绩8分后，小明的平均成绩为$\frac{40+8}{6}=8$，和原平均数相同，
新方差为$\frac{1}{6}×[3.2×5+(8-8)^2]=\frac{16}{6}\approx2.7＜3.2$，因此小明成绩的方差变小。
【答案】
(1) $a=8$，$b=0.4$，$c=8$，$d=9$，$e=9$；
(2) 两人平均成绩相同，小聪成绩的方差更小，发挥更稳定；
(3) 变小
【知识点】
1. 统计量计算
2. 方差的计算
3. 方差的意义
【点评】
本题结合竞赛选拔的实际场景，考查了基础统计量的计算与实际应用，解题的关键是准确掌握各统计量的定义，理解方差反映数据波动程度的特性，属于统计部分的基础常规题型。
【难度系数】
0.7
12 某校舞蹈队共16名学生,测量并获取了所有学生的身高(单位:cm),数据整理如下:
a.16名学生的身高:
161,162,162,164,165,165,165,166,
166,167,168,168,170,172,172,175.
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数:
(1)写出表中m,n的值;
(2)对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,168,172,他们的身高的方差为$\frac{32}{9}$,在选另外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为
a.16名学生的身高:
161,162,162,164,165,165,165,166,
166,167,168,168,170,172,172,175.
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数:
(1)写出表中m,n的值;
(2)对于不同组的学生,如果一组学生的身高的方差越小,则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断:在下列两组学生中,舞台呈现效果更好的是
甲组
;(填“甲组”或“乙组”)(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛.已确定三名学生参赛,他们的身高分别为168,168,172,他们的身高的方差为$\frac{32}{9}$,在选另外两名学生时,首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于$\frac{32}{9}$,其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大,则选出的另外两名学生的身高分别为
170
和172
.答案
12. 【解】(1) 将这组数据按照从小到大的顺序排列为 161, 162, 162, 164, 165, 165, 165, 166, 166, 167, 168, 168, 170, 172, 172, 175, 出现次数最多的数据是 165, 出现了 3 次, 即众数为 165, 16 个数据中的第 8 个和第 9 个数据分别是 166, 166, 所以中位数为 $\frac{166+166}{2}=166$, 所以 m=166, n=165.
(2) 甲组学生身高的平均数为 $\frac{1}{5}×(162+165+165+166+166)=164.8(cm)$, 甲组学生身高的方差为 $\frac{1}{5}×[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$, 乙组学生身高的平均数为 $\frac{1}{5}×(161+162+164+165+175)=165.4(cm)$, 乙组学生身高的方差为 $\frac{1}{5}×[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$.
因为 25.04＞2.16, 所以舞台呈现效果更好的是甲组, 故答案为甲组.
(3) 由题意可得, 三名学生身高的平均数为 $\frac{1}{3}×(168+168+172)=\frac{508}{3}(cm)$, 身高的方差为 $\frac{32}{9}$. 因为所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 $\frac{32}{9}$, 且要求新组成的五名学生的身高的平均数尽可能大, 所以选出的另外两名学生的身高应大于 $\frac{508}{3}$, 且与 $\frac{508}{3}$ 的差值较小, 所以可以选择的另外两名学生的身高分别为 170, 172, 故答案为 170,172.
(2) 甲组学生身高的平均数为 $\frac{1}{5}×(162+165+165+166+166)=164.8(cm)$, 甲组学生身高的方差为 $\frac{1}{5}×[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$, 乙组学生身高的平均数为 $\frac{1}{5}×(161+162+164+165+175)=165.4(cm)$, 乙组学生身高的方差为 $\frac{1}{5}×[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$.
因为 25.04＞2.16, 所以舞台呈现效果更好的是甲组, 故答案为甲组.
(3) 由题意可得, 三名学生身高的平均数为 $\frac{1}{3}×(168+168+172)=\frac{508}{3}(cm)$, 身高的方差为 $\frac{32}{9}$. 因为所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于 $\frac{32}{9}$, 且要求新组成的五名学生的身高的平均数尽可能大, 所以选出的另外两名学生的身高应大于 $\frac{508}{3}$, 且与 $\frac{508}{3}$ 的差值较小, 所以可以选择的另外两名学生的身高分别为 170, 172, 故答案为 170,172.
解析
【分析】
(1) 求解中位数和众数需结合对应定义思考：众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将数据按大小顺序排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，奇数个数据取中间位置的数。本题数据已按从小到大排列，直接数出出现次数最多的数，再找到第8、9个数据求平均即可得到m、n的值。
(2) 题干明确方差越小舞台呈现效果越好，因此只需分别计算甲组、乙组身高的方差，比较两组方差的大小，方差更小的一组呈现效果更好。
(3) 需同时满足两个要求：①五名学生身高的方差小于$\frac{32}{9}$；②五名学生身高的平均数尽可能大。首先计算已确定三名学生的平均身高，要让平均数尽可能大优先选择身高更高的学生，同时为了控制方差不超过原有值，所选身高需尽可能接近三人的平均身高，避免数据波动过大，从给出的身高数据中筛选符合要求的即可。
【解析】
(1) 将16名学生的身高按从小到大排列后，出现次数最多的数据是165，共出现3次，因此众数$n=165$；16个数据的中位数为第8个和第9个数据的平均数，第8、9个数据均为166，因此中位数$m=\frac{166+166}{2}=166$。
(2) 计算甲组身高的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(162+165+165+166+166)=164.8\ \mathrm{cm}$
甲组方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$
计算乙组身高的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(161+162+164+165+175)=165.4\ \mathrm{cm}$
乙组方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$
因为$25.04＞2.16$，甲组方差更小，所以舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 已确定三名学生的平均身高为$\overline{x}=\frac{1}{3}×(168+168+172)=\frac{508}{3}\ \mathrm{cm}$，要让五人平均数尽可能大，优先选择身高较高的学生，同时要保证整体方差小于$\frac{32}{9}$，所选身高需尽量接近$\frac{508}{3}\approx169.33\ \mathrm{cm}$，筛选后符合要求的身高为170和172。
【答案】
(1)$m=166$，$n=165$；(2)甲组；(3)170，172
【知识点】
中位数与众数、方差的计算与应用、平均数的计算
【点评】
本题结合舞蹈队选人的实际场景考查统计特征量的应用，既要求熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的基础计算方法，也需要结合题干多个约束条件灵活筛选数据，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解中位数和众数需结合对应定义思考：众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将数据按大小顺序排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数，奇数个数据取中间位置的数。本题数据已按从小到大排列，直接数出出现次数最多的数，再找到第8、9个数据求平均即可得到m、n的值。
(2) 题干明确方差越小舞台呈现效果越好，因此只需分别计算甲组、乙组身高的方差，比较两组方差的大小，方差更小的一组呈现效果更好。
(3) 需同时满足两个要求：①五名学生身高的方差小于$\frac{32}{9}$；②五名学生身高的平均数尽可能大。首先计算已确定三名学生的平均身高，要让平均数尽可能大优先选择身高更高的学生，同时为了控制方差不超过原有值，所选身高需尽可能接近三人的平均身高，避免数据波动过大，从给出的身高数据中筛选符合要求的即可。
【解析】
(1) 将16名学生的身高按从小到大排列后，出现次数最多的数据是165，共出现3次，因此众数$n=165$；16个数据的中位数为第8个和第9个数据的平均数，第8、9个数据均为166，因此中位数$m=\frac{166+166}{2}=166$。
(2) 计算甲组身高的平均数：$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(162+165+165+166+166)=164.8\ \mathrm{cm}$
甲组方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(162-164.8)^2+(165-164.8)^2+(165-164.8)^2+(166-164.8)^2+(166-164.8)^2]=2.16$
计算乙组身高的平均数：$\overline{x}_乙=\frac{1}{5}×(161+162+164+165+175)=165.4\ \mathrm{cm}$
乙组方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(161-165.4)^2+(162-165.4)^2+(164-165.4)^2+(165-165.4)^2+(175-165.4)^2]=25.04$
因为$25.04＞2.16$，甲组方差更小，所以舞台呈现效果更好的是甲组。
(3) 已确定三名学生的平均身高为$\overline{x}=\frac{1}{3}×(168+168+172)=\frac{508}{3}\ \mathrm{cm}$，要让五人平均数尽可能大，优先选择身高较高的学生，同时要保证整体方差小于$\frac{32}{9}$，所选身高需尽量接近$\frac{508}{3}\approx169.33\ \mathrm{cm}$，筛选后符合要求的身高为170和172。
【答案】
(1)$m=166$，$n=165$；(2)甲组；(3)170，172
【知识点】
中位数与众数、方差的计算与应用、平均数的计算
【点评】
本题结合舞蹈队选人的实际场景考查统计特征量的应用，既要求熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的基础计算方法，也需要结合题干多个约束条件灵活筛选数据，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
