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1.「2026山东济南商河期末改编」如图，某同学从地图上得知A地与B地之间的直线距离是20公里，但导航提供的路线长分别是22公里，24.5公里，26公里，其数学原理是
两点之间线段最短
。答案
两点之间线段最短
2. 聚焦 中考 尺规作图 「2026河南洛阳期末」在一次定向寻宝的游戏中，小明经过分析宝藏地图后，确定了宝藏P的位置在圆形区域内，两个建筑物A,B的位置如图所示，已知$∠ PBA=∠ 1$，线段$BP=a$，请你用尺规作图确定宝藏P的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
答案
如图,点 P 即为所求。
3. 学科特色双中点模型「2025陕西西安阎良期末」如图，A,B,C三点在同一直线上，点M,N分别是线段AC,BC的中点。
(1)如图1所示，若C是线段AB上一点，当AB=14 cm时，求线段MN的长度。
(2)如图2所示，若C为线段AB延长线上的一点，则线段MN与AB有怎样的数量关系？请你说明理由。
(1)如图1所示，若C是线段AB上一点，当AB=14 cm时，求线段MN的长度。
(2)如图2所示，若C为线段AB延长线上的一点，则线段MN与AB有怎样的数量关系？请你说明理由。
答案
(1)因为点 M,N 分别是线段 AC,BC 的中点，
所以 $MC=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,
所以 $MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
因为 $AC+BC=AB=14\ \mathrm{cm}$,
所以 $MN=\frac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm})$。
(2)$MN=\frac{1}{2}AB$。理由如下：
因为点 M,N 分别是线段 AC,BC 的中点，
所以 $MC=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,
所以 $MN=MC-CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$。
因为 $AC-BC=AB$,所以 $MN=\frac{1}{2}AB$。
所以 $MC=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,
所以 $MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$。
因为 $AC+BC=AB=14\ \mathrm{cm}$,
所以 $MN=\frac{1}{2}×14=7(\mathrm{cm})$。
(2)$MN=\frac{1}{2}AB$。理由如下：
因为点 M,N 分别是线段 AC,BC 的中点，
所以 $MC=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,
所以 $MN=MC-CN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)$。
因为 $AC-BC=AB$,所以 $MN=\frac{1}{2}AB$。
4.「2025陕西西安高陵期末」如图，甲从O处出发沿北偏东$15° 32'$方向走到A处，乙从O处出发沿南偏西$55° 28'$方向走到B处，则$∠ BOA$的度数是
140°4'
。答案
$140°4'$
解析 如图,由题意,得$∠1=15°32',∠3=90°-55°28'=34°32'$,所以$∠BOA=∠1+∠2+∠3=15°32'+90°+34°32'=140°4'$。
5.「2026安徽宿州期末」已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM以30°/秒，ON以10°/秒的速度同时绕点O逆时针旋转，设旋转时间为t秒.
(1)如图1，若∠AOB=120°，OM，ON分别逆时针旋转到OM'，ON'处.
①当t=2时，∠BON'+∠COM'=
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的度数.
(2)如图2，若∠AOB=4∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由.
(1)如图1，若∠AOB=120°，OM，ON分别逆时针旋转到OM'，ON'处.
①当t=2时，∠BON'+∠COM'=
40
°.②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的度数.
(2)如图2，若∠AOB=4∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由.
答案
(1)①40. 详解:当 $t=2$ 时, $∠AOM'=30°×2=60°,∠CON'=10°×2=20°$,
所以 $∠BON'+∠COM'=∠AOB-∠AOM'-∠CON'=120°-60°-20°=40°$。
②因为 $OM'$ 平分 $∠AOC$,$ON'$ 平分 $∠BOC$,
所以 $∠CON'=\frac{1}{2}∠BOC,∠COM'=\frac{1}{2}∠AOC$,
所以 $∠M'ON'=∠CON'+∠COM'=\frac{1}{2}∠BOC+\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠BOC+∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB=60°$。
(2)$∠COM=3∠BON$。理由如下：
设$∠BOC=x°$,则$∠AOB=4x°$,
所以$∠AOC=∠AOB-∠BOC=4x°-x°=3x°$,
旋转 $t$ 秒后,$∠AOM=30t°,∠CON=10t°$,
所以$∠COM=3x°-30t°=3(x-10t)°,∠BON=(x-10t)°$,
所以$∠COM=3∠BON$。
所以 $∠BON'+∠COM'=∠AOB-∠AOM'-∠CON'=120°-60°-20°=40°$。
②因为 $OM'$ 平分 $∠AOC$,$ON'$ 平分 $∠BOC$,
所以 $∠CON'=\frac{1}{2}∠BOC,∠COM'=\frac{1}{2}∠AOC$,
所以 $∠M'ON'=∠CON'+∠COM'=\frac{1}{2}∠BOC+\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠BOC+∠AOC)=\frac{1}{2}∠AOB=60°$。
(2)$∠COM=3∠BON$。理由如下：
设$∠BOC=x°$,则$∠AOB=4x°$,
所以$∠AOC=∠AOB-∠BOC=4x°-x°=3x°$,
旋转 $t$ 秒后,$∠AOM=30t°,∠CON=10t°$,
所以$∠COM=3x°-30t°=3(x-10t)°,∠BON=(x-10t)°$,
所以$∠COM=3∠BON$。
6.「2026山东济南期末」从五边形的一个顶点出发，可以画x条对角线，它们将五边形分成y个三角形，则$ x+y $的值为（
A.5
B.6
C.7
D.8
A
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
A n边形从一个顶点出发可引出$(n-3)$条对角线,它们把n边形分成$(n-2)$个三角形,
所以从五边形的一个顶点出发,可以画出 $5-3=2$ 条对角线,它们将五边形分成 $5-2=3$ 个三角形,所以 $x=2,y=3$,所以 $x+y=2+3=5$。故选 A。
所以从五边形的一个顶点出发,可以画出 $5-3=2$ 条对角线,它们将五边形分成 $5-2=3$ 个三角形,所以 $x=2,y=3$,所以 $x+y=2+3=5$。故选 A。
7.下列说法正确的是 (
A.各边相等的多边形是正多边形
B.若$AC=BC$,则点$C$是线段$AB$的中点
C.顶点在圆上的角叫作圆心角
D.钟表显示9点30分,此时时针与分针的夹角是$105°$
D
)A.各边相等的多边形是正多边形
B.若$AC=BC$,则点$C$是线段$AB$的中点
C.顶点在圆上的角叫作圆心角
D.钟表显示9点30分,此时时针与分针的夹角是$105°$
答案
D A.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形,故A说法错误;
因为点C不一定在线段AB上,所以无法判断点C是线段AB的中点,故B说法错误;
顶点在圆心的角叫作圆心角,故C说法错误;
钟表显示9点30分,此时时针与分针的夹角是 $360°÷12×3.5=105°$,故D说法正确。
故选 D。
因为点C不一定在线段AB上,所以无法判断点C是线段AB的中点,故B说法错误;
顶点在圆心的角叫作圆心角,故C说法错误;
钟表显示9点30分,此时时针与分针的夹角是 $360°÷12×3.5=105°$,故D说法正确。
故选 D。
