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8.「★☆」如图，已知AB是$\odot O$的直径，半径$OC⊥ AB$，D是CO的中点，若过点D的弦$EF// AB$，则下列结论正确的是（
A.$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{AE}$
B.$\overset{\frown}{EC}=2\overset{\frown}{AE}$
C.$\overset{\frown}{EF}=3\overset{\frown}{AE}$
D.$\overset{\frown}{ABF}=4\overset{\frown}{AE}$
B
）A.$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{AE}$
B.$\overset{\frown}{EC}=2\overset{\frown}{AE}$
C.$\overset{\frown}{EF}=3\overset{\frown}{AE}$
D.$\overset{\frown}{ABF}=4\overset{\frown}{AE}$
答案
8.B 如图,连接OE,OF,CE,
∵ OC⊥AB,EF//AB,
∴ OC⊥EF,
∴ $∠ODE=90°$,又
∵ D是CO的中点,
∴ CE=OE=OC,
∴ △COE是等边三角形,
∴ $∠EOD=60°$,
∵ EF//AB,
∴ $∠AOE=∠OED=90°-∠EOD=30°$,
∴ $\overset{\frown}{EC}=2\overset{\frown}{AE}$,故选项A错误,选项B正确;
易得$∠EOF=120°$,
∴ $\overset{\frown}{EF}=4\overset{\frown}{AE}$,故选项C错误;
∵ $\overset{\frown}{ABF}$所对的圆心角的度数为$360°-30°-120°=210°$,
∴ $\overset{\frown}{ABF}=7\overset{\frown}{AE}$,故选项D错误.故选B.
解析
【分析】
要判断各选项中弧的数量关系，根据同圆中弧的度数等于它所对圆心角的度数，可知只需计算出各段弧对应的圆心角度数即可。首先作辅助线连接OE、OF，结合已知的OC⊥AB、EF//AB可推出OC⊥EF，再利用D是OC中点的条件，在Rt△ODE中通过边的关系求出各角的度数，即可得到对应圆心角的度数，进而判断弧的关系。
【解析】
连接OE、OF，
∵ OC⊥AB，EF//AB，
∴ OC⊥EF，即∠ODE=90°，
∵ D是CO的中点，OC、OE均为⊙O的半径，
∴ OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OE，
∴ 在Rt△ODE中，∠OED=30°，
∴ ∠EOD=90°-∠OED=60°，即$\overset{\frown}{EC}$对应的圆心角为60°，
∵ EF//AB，
∴ ∠AOE=∠OED=30°，即$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角为30°，
∴ $\overset{\frown}{EC}=2\overset{\frown}{AE}$，故A错误，B正确；
∵ OC⊥EF，OE=OF，
∴ OC平分∠EOF，即∠EOF=2∠EOD=120°，
∴ $\overset{\frown}{EF}$对应的圆心角为120°，可得$\overset{\frown}{EF}=4\overset{\frown}{AE}$，故C错误；
$\overset{\frown}{ABF}$所对的圆心角度数为$180°+∠BOF=180°+30°=210°$，
∴ $\overset{\frown}{ABF}=7\overset{\frown}{AE}$，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合垂直、平行、中点的性质求出各段弧对应的圆心角度数，再通过圆心角的数量关系判断弧的数量关系，整体侧重对圆的基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
要判断各选项中弧的数量关系，根据同圆中弧的度数等于它所对圆心角的度数，可知只需计算出各段弧对应的圆心角度数即可。首先作辅助线连接OE、OF，结合已知的OC⊥AB、EF//AB可推出OC⊥EF，再利用D是OC中点的条件，在Rt△ODE中通过边的关系求出各角的度数，即可得到对应圆心角的度数，进而判断弧的关系。
【解析】
连接OE、OF，
∵ OC⊥AB，EF//AB，
∴ OC⊥EF，即∠ODE=90°，
∵ D是CO的中点，OC、OE均为⊙O的半径，
∴ OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OE，
∴ 在Rt△ODE中，∠OED=30°，
∴ ∠EOD=90°-∠OED=60°，即$\overset{\frown}{EC}$对应的圆心角为60°，
∵ EF//AB，
∴ ∠AOE=∠OED=30°，即$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角为30°，
∴ $\overset{\frown}{EC}=2\overset{\frown}{AE}$，故A错误，B正确；
∵ OC⊥EF，OE=OF，
∴ OC平分∠EOF，即∠EOF=2∠EOD=120°，
∴ $\overset{\frown}{EF}$对应的圆心角为120°，可得$\overset{\frown}{EF}=4\overset{\frown}{AE}$，故C错误；
$\overset{\frown}{ABF}$所对的圆心角度数为$180°+∠BOF=180°+30°=210°$，
∴ $\overset{\frown}{ABF}=7\overset{\frown}{AE}$，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
弧与圆心角的关系、平行线的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，结合垂直、平行、中点的性质求出各段弧对应的圆心角度数，再通过圆心角的数量关系判断弧的数量关系，整体侧重对圆的基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
9.「2026浙江舟山期中，★☆」如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$。若$AB=6$，$CD=\sqrt{13}$，则$\odot O$的半径是（
A.3
B.$\dfrac{13}{4}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.4
B
）A.3
B.$\dfrac{13}{4}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.4
答案
9.B 如图,过点O作OE⊥AB交$\odot O$于点E,交AB于点F,连接OA,AE,
由垂径定理可得$\overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$,$AF=\frac{1}{2}AB$=3,
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ AE=$CD=\sqrt{13}$,
∴ $EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$,
设$\odot O$的半径为x,则OA=OE=x,
∴ OF=x-2,
∵ $AF^2+OF^2=OA^2$,
∴ $3^2+(x-2)^2=x^2$,
∴ $x=\frac{13}{4}$,即$\odot O$的半径是$\frac{13}{4}$.故选B.
解析
【分析】
已知圆中两段弧的倍数关系和对应弦长，求解圆的半径可按以下思路推导：首先利用弧的倍数关系，结合垂径定理构造与$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，将弧的数量关系转化为弦的长度关系；接着在直角三角形中用勾股定理求出辅助线段的长度；最后设半径为未知数，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB交$\odot O$于点E，交AB于点F，连接OA、AE。
由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦，得$AE=CD=\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
设$\odot O$的半径为$x$，则$OA=OE=x$，因此$OF=OE-EF=x-2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得$AF^2+OF^2=OA^2$，代入数值：
$3^2+(x-2)^2=x^2$
展开得$9+x^2-4x+4=x^2$，
化简解得$x=\frac{13}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用题型，解题关键是通过作垂直于弦的直径构造等弧，将弧的关系转化为弦长关系，再结合勾股定理列方程求解，很好地考查了转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
已知圆中两段弧的倍数关系和对应弦长，求解圆的半径可按以下思路推导：首先利用弧的倍数关系，结合垂径定理构造与$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，将弧的数量关系转化为弦的长度关系；接着在直角三角形中用勾股定理求出辅助线段的长度；最后设半径为未知数，结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB交$\odot O$于点E，交AB于点F，连接OA、AE。
由垂径定理可得：$\overset{\frown}{AE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对等弦，得$AE=CD=\sqrt{13}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
设$\odot O$的半径为$x$，则$OA=OE=x$，因此$OF=OE-EF=x-2$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得$AF^2+OF^2=OA^2$，代入数值：
$3^2+(x-2)^2=x^2$
展开得$9+x^2-4x+4=x^2$，
化简解得$x=\frac{13}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；等弧对等弦；勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用题型，解题关键是通过作垂直于弦的直径构造等弧，将弧的关系转化为弦长关系，再结合勾股定理列方程求解，很好地考查了转化思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
10.「2026江苏南通崇川期末，★☆」如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB=AD，点E在BA的延长线上，若∠EAD=40°，则∠B的度数为
70°
。答案
10.答案 70°
解析 如图,连接OA,OD,
∵ AB=AD,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$,
∴ $∠BOA=∠DOA$.
又
∵ OB=OA=OD,
∴ $∠B=∠OAB=∠OAD=∠ODA$.
∵ $∠EAD=40°$,
∴ $∠BAD=180°-40°=140°$,
∴ $∠B=∠OAB=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2}×140°=70°$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，根据已知条件AB=AD，结合圆中弦与弧的对应关系，可得弧AB等于弧AD，对应的圆心角也相等；其次，∠EAD与∠BAD是邻补角，已知∠EAD的度数可直接求出∠BAD的度数；最后，连接OA、OD，利用圆的半径相等可得多个等腰三角形，结合AB=AD可推出∠OAB=∠OAD，即OA平分∠BAD，再根据等腰三角形两底角相等即可求出∠B的度数。
【解析】
如图，连接OA，OD，
∵ AB=AD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠BOA=∠DOA$。
又
∵ OB=OA=OD，
∴ $∠B=∠OAB=∠OAD=∠ODA$。
∵ $∠EAD=40°$，
∴ $∠BAD=180°-40°=140°$，
∴ $∠B=∠OAB=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2}×140°=70°$。
【答案】
70°
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等腰三角形的性质、邻补角的定义
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，核心是通过添加辅助线将弦相等的条件转化为角相等的关系，解题过程同时用到了等腰三角形和邻补角的相关性质，对辅助线构造的意识有一定基础要求。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先，根据已知条件AB=AD，结合圆中弦与弧的对应关系，可得弧AB等于弧AD，对应的圆心角也相等；其次，∠EAD与∠BAD是邻补角，已知∠EAD的度数可直接求出∠BAD的度数；最后，连接OA、OD，利用圆的半径相等可得多个等腰三角形，结合AB=AD可推出∠OAB=∠OAD，即OA平分∠BAD，再根据等腰三角形两底角相等即可求出∠B的度数。
【解析】
如图，连接OA，OD，
∵ AB=AD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠BOA=∠DOA$。
又
∵ OB=OA=OD，
∴ $∠B=∠OAB=∠OAD=∠ODA$。
∵ $∠EAD=40°$，
∴ $∠BAD=180°-40°=140°$，
∴ $∠B=∠OAB=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2}×140°=70°$。
【答案】
70°
【知识点】
圆心角弧弦的关系、等腰三角形的性质、邻补角的定义
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题，核心是通过添加辅助线将弦相等的条件转化为角相等的关系，解题过程同时用到了等腰三角形和邻补角的相关性质，对辅助线构造的意识有一定基础要求。
【难度系数】
0.8
11.「2026四川南充期中，★☆」如图所示，已知C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD ⊥ OA$于M，$CN ⊥ OB$于N，若$OA=r$，$ON=a$，则$CD=$
$2\sqrt{r^2-a^2}$
.(用含$r,a$的代数式表示)答案
11.答案 $2\sqrt{r^2-a^2}$
解析 如图,连接OC,
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ $∠AOC=∠BOC$.
∵ OA=OC,OA=r,
∴ OC=r.
∵ CN⊥OB,CD⊥OA,
∴ $∠CMO=∠CNO=90°$,
又
∵ CO=CO,
∴ △CMO≌△CNO,
∴ OM=ON=a,
∴ $CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{r^2-a^2}$,
∴ 由垂径定理得$CD=2CM=2\sqrt{r^2-a^2}$.
解析
【分析】
要求CD的长度，根据垂径定理，CD垂直于半径OA，可得CD=2CM，因此只需先求出CM的长度即可。首先，由C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据弧中点的性质可得$∠AOC=∠BOC$；接着连接OC，结合$CD⊥OA$、$CN⊥OB$的条件，可证明$△ CMO$与$△ CNO$全等，从而得到$OM=ON=a$；最后在$Rt△ CMO$中利用勾股定理求出CM，再乘2即可得到CD的长度。
【解析】
解：如图，连接OC，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠AOC=∠BOC$。
∵ OC是$\odot O$的半径，$OA=r$，
∴ $OC=r$。
∵ $CD ⊥ OA$，$CN ⊥ OB$，
∴ $∠CMO=∠CNO=90°$。
在$△ CMO$和$△ CNO$中：
$\{\begin{array}{l}∠CMO=∠CNO\\∠MOC=∠NOC\\CO=CO\end{array} $
∴ $△ CMO≌△ CNO$（AAS），
∴ $OM=ON=a$。
在$Rt△ CMO$中，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{r^2-a^2}$。
∵ $OA⊥CD$，OA是$\odot O$的半径，根据垂径定理，
∴ $CD=2CM=2\sqrt{r^2-a^2}$。
【答案】
$2\sqrt{r^2-a^2}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；全等三角形的判定与性质；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是连接OC构造全等三角形和直角三角形，将未知线段转化为直角三角形的边求解，熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要求CD的长度，根据垂径定理，CD垂直于半径OA，可得CD=2CM，因此只需先求出CM的长度即可。首先，由C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据弧中点的性质可得$∠AOC=∠BOC$；接着连接OC，结合$CD⊥OA$、$CN⊥OB$的条件，可证明$△ CMO$与$△ CNO$全等，从而得到$OM=ON=a$；最后在$Rt△ CMO$中利用勾股定理求出CM，再乘2即可得到CD的长度。
【解析】
解：如图，连接OC，
∵ C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠AOC=∠BOC$。
∵ OC是$\odot O$的半径，$OA=r$，
∴ $OC=r$。
∵ $CD ⊥ OA$，$CN ⊥ OB$，
∴ $∠CMO=∠CNO=90°$。
在$△ CMO$和$△ CNO$中：
$\{\begin{array}{l}∠CMO=∠CNO\\∠MOC=∠NOC\\CO=CO\end{array} $
∴ $△ CMO≌△ CNO$（AAS），
∴ $OM=ON=a$。
在$Rt△ CMO$中，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{OC^2-OM^2}=\sqrt{r^2-a^2}$。
∵ $OA⊥CD$，OA是$\odot O$的半径，根据垂径定理，
∴ $CD=2CM=2\sqrt{r^2-a^2}$。
【答案】
$2\sqrt{r^2-a^2}$
【知识点】
弧与圆心角的关系；全等三角形的判定与性质；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是连接OC构造全等三角形和直角三角形，将未知线段转化为直角三角形的边求解，熟练掌握圆的基本性质和全等三角形的判定方法是解题的前提。
【难度系数】
0.7
12.「2026浙江杭州月考，★☆」如图，AB为$\odot O$的直径，AE为$\odot O$的弦，C为$\overset{\frown}{ABE}$的中点，$CD ⊥ AB$，垂足为D.若$AE = 8$，$DB = 2$，则$\odot O$的半径为
5
.答案
12.答案 5
解析 如图,连接CO并延长,交AE于点T.
设$\odot O$的半径为r,由题意得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$,
∴ CT⊥AE,
∴ $AT=TE=\frac{1}{2}AE=4$,
∵ $∠ATO=∠CDO=90°,∠AOT=∠COD,AO=CO$,
∴ △AOT≌△COD(AAS),
∴ CD=AT=4.
在Rt△COD中,$OC^2=CD^2+OD^2$,
∴ $r^2=4^2+(r-2)^2$,
∴ r=5,即$\odot O$的半径为5.
解析
【分析】
解题时首先结合“C为$\overset{\frown}{ABE}$的中点”这一条件，联想到垂径定理的推论：弧的中点与圆心的连线垂直平分该弧所对的弦，因此作辅助线延长CO交AE于点T，可得CT垂直平分AE，先求出AT的长度。接下来观察$△ AOT$和$△ COD$，两个三角形都有直角，且有对顶角相等，加上半径$AO=CO$，可证两三角形全等，将AT的长度转化为CD的长度。最后设圆的半径为r，用含r的式子表示OD的长度，在$Rt△ COD$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
如图，连接CO并延长，交AE于点T。
设$\odot O$的半径为$r$，
∵ C为$\overset{\frown}{ABE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，
根据垂径定理的推论可得$CT⊥AE$，
∴ $AT=TE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×8=4$。
∵ $∠ATO=∠CDO=90°$，$∠AOT=∠COD$（对顶角相等），$AO=CO$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ AOT≌△ COD$（AAS），
∴ $CD=AT=4$。
∵ $DB=2$，
∴ $OD=OB-DB=r-2$，
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得$OC^2=CD^2+OD^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-2)^2$，
解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是合理构造辅助线，利用垂径定理得到相等的线段，再通过全等三角形转化线段长度，最后结合勾股定理列方程求解，能较好地考查学生对圆的性质和几何基本定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合“C为$\overset{\frown}{ABE}$的中点”这一条件，联想到垂径定理的推论：弧的中点与圆心的连线垂直平分该弧所对的弦，因此作辅助线延长CO交AE于点T，可得CT垂直平分AE，先求出AT的长度。接下来观察$△ AOT$和$△ COD$，两个三角形都有直角，且有对顶角相等，加上半径$AO=CO$，可证两三角形全等，将AT的长度转化为CD的长度。最后设圆的半径为r，用含r的式子表示OD的长度，在$Rt△ COD$中利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
如图，连接CO并延长，交AE于点T。
设$\odot O$的半径为$r$，
∵ C为$\overset{\frown}{ABE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，
根据垂径定理的推论可得$CT⊥AE$，
∴ $AT=TE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×8=4$。
∵ $∠ATO=∠CDO=90°$，$∠AOT=∠COD$（对顶角相等），$AO=CO$（都是$\odot O$的半径），
∴ $△ AOT≌△ COD$（AAS），
∴ $CD=AT=4$。
∵ $DB=2$，
∴ $OD=OB-DB=r-2$，
在$Rt△ COD$中，由勾股定理得$OC^2=CD^2+OD^2$，
代入得$r^2=4^2+(r-2)^2$，
解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是合理构造辅助线，利用垂径定理得到相等的线段，再通过全等三角形转化线段长度，最后结合勾股定理列方程求解，能较好地考查学生对圆的性质和几何基本定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13.「★☆」如图，AB为$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$。
(1)求证：$AE=BF$。
(2)作半径$ON ⊥ AB$于点M，若$AB=12$，$MN=3$，求OM的长。
(1)求证：$AE=BF$。
(2)作半径$ON ⊥ AB$于点M，若$AB=12$，$MN=3$，求OM的长。
答案
13.解析 (1)证明:连接OA,OB,如图.
∵ OA=OB,
∴ $∠OAB=∠OBA$,
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ $∠AOE=∠BOF$,在△AOE和△BOF中,$\begin{cases} ∠OAE=∠OBF, \\ OA=OB, \\ ∠AOE=∠BOF, \end{cases}$
∴ △AOE≌△BOF(ASA),
∴ AE=BF.
(2)连接OA,如图.
∵ OM⊥AB,
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=6$,设OM=x,则OA=ON=x+3,在Rt△AOM中,由勾股定理得$6^2+x^2=(x+3)^2$,解得x=4.5,
∴ OM=4.5.
解析
【分析】
(1)要证明$AE=BF$，可通过证明$AE$、$BF$所在的三角形全等来实现：首先连接$OA$、$OB$，同圆的半径相等可得$OA=OB$，进而推出$∠OAB=∠OBA$；再根据同圆中相等的弧对应相等的圆心角，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$得到$∠AOE=∠BOF$，即可用ASA证明$△ AOE≌△ BOF$，得到对应边$AE=BF$。
(2)求$OM$的长时，先利用垂径定理，由$ON⊥AB$可得$AM$为$AB$的一半，算出$AM=6$；设$OM=x$，可得圆的半径$OA=x+3$，再在$Rt△ AOM$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接$OA$，$OB$，如图。
∵ $OA=OB$，
∴ $∠OAB=∠OBA$，
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠AOE=∠BOF$，
在$△ AOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases} ∠OAE=∠OBF, \\ OA=OB, \\ ∠AOE=∠BOF, \end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ BOF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=BF$。
(2)解：连接$OA$，如图。
∵ $OM⊥AB$，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=6$，
设$OM=x$，则$OA=ON=x+3$，在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得$6^2+x^2=(x+3)^2$，解得$x=4.5$，即$OM=4.5$。
【答案】
(1)$AE=BF$得证；(2)$OM=4.5$
【知识点】
圆心角与弧的关系，全等三角形判定与性质，垂径定理与勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问将弧相等的条件转化为圆心角相等，结合等腰三角形性质证明三角形全等，是圆中证明线段相等的常用思路；第二问利用垂径定理结合勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题方法较为常规。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$AE=BF$，可通过证明$AE$、$BF$所在的三角形全等来实现：首先连接$OA$、$OB$，同圆的半径相等可得$OA=OB$，进而推出$∠OAB=∠OBA$；再根据同圆中相等的弧对应相等的圆心角，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$得到$∠AOE=∠BOF$，即可用ASA证明$△ AOE≌△ BOF$，得到对应边$AE=BF$。
(2)求$OM$的长时，先利用垂径定理，由$ON⊥AB$可得$AM$为$AB$的一半，算出$AM=6$；设$OM=x$，可得圆的半径$OA=x+3$，再在$Rt△ AOM$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接$OA$，$OB$，如图。
∵ $OA=OB$，
∴ $∠OAB=∠OBA$，
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠AOE=∠BOF$，
在$△ AOE$和$△ BOF$中，
$\begin{cases} ∠OAE=∠OBF, \\ OA=OB, \\ ∠AOE=∠BOF, \end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ BOF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=BF$。
(2)解：连接$OA$，如图。
∵ $OM⊥AB$，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB=6$，
设$OM=x$，则$OA=ON=x+3$，在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得$6^2+x^2=(x+3)^2$，解得$x=4.5$，即$OM=4.5$。
【答案】
(1)$AE=BF$得证；(2)$OM=4.5$
【知识点】
圆心角与弧的关系，全等三角形判定与性质，垂径定理与勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问将弧相等的条件转化为圆心角相等，结合等腰三角形性质证明三角形全等，是圆中证明线段相等的常用思路；第二问利用垂径定理结合勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，解题方法较为常规。
【难度系数】
0.7
14. 核心素养 推理能力 如图,点C,D三等分以O为圆心的$\overset{\frown}{MN}$,连接MN,CD,OC,OD,OM,下列结论错误的是 (
A.$∠ COM=∠ COD$
B.若$OM=MN$,则$∠ COD=20°$
C.$MN// CD$
D.$MN=3CD$
第14题图 第15题图
D
)A.$∠ COM=∠ COD$
B.若$OM=MN$,则$∠ COD=20°$
C.$MN// CD$
D.$MN=3CD$
第14题图 第15题图
答案
14.D 如图,连接ON,MC,DN,过点O作OE⊥CD,交$\overset{\frown}{CD}$于点E,
∵ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $∠COM=∠COD$,故选项A结论正确.当OM=MN时,
∵ OM=ON,
∴ OM=ON=MN,
∴ △OMN为等边三角形,
∴ $∠MON=60°$,
∵ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$,
∴ $∠COM=∠COD=∠DON$,
∴ $∠COD=20°$,故选项B结论正确.
∵ OE⊥CD,
∴ $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$,
∴ $\overset{\frown}{ME}=\overset{\frown}{NE}$,
∴ OE⊥MN,
∴ MN//CD,故选项C结论正确.
∵ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$,
∴ MC=CD=DN,
∵ MC+CD+DN＞MN,
∴ MN＜3CD,故选项D结论错误.故选D.
解析
【分析】
本题是圆的性质相关的选择题，可结合已知条件“C、D三等分$\overset{\frown}{MN}$”，逐一验证各选项：首先利用同圆中相等的弧对应的圆心角相等判断选项A；再结合等边三角形的判定与性质计算圆心角度数判断选项B；利用垂径定理和平行线的判定判断选项C；最后根据三角形三边关系判断弦长关系，确定错误选项。
【解析】
连接ON，过点O作OE⊥CD，交$\overset{\frown}{CD}$于点E。
1. 验证选项A：
∵ C、D三等分$\overset{\frown}{MN}$，
∴ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠COM=∠COD$，故A结论正确。
2. 验证选项B：
若$OM=MN$，
∵ OM、ON都是圆O的半径，
∴ $OM=ON$，即$OM=ON=MN$，
∴ $△ OMN$为等边三角形，$∠MON=60°$。
又
∵ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$，三个弧对应的圆心角相等，
∴ $∠COM=∠COD=∠DON=\frac{1}{3}∠MON=20°$，故B结论正确。
3. 验证选项C：
∵ $OE⊥CD$，根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$，结合$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{DN}$，可推出$\overset{\frown}{ME}=\overset{\frown}{NE}$，
∴ OE也垂直于MN，
∵ CD、MN都垂直于OE，
∴ $MN// CD$，故C结论正确。
4. 验证选项D：
∵ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$，
∴ 对应的弦长$MC=CD=DN$，
根据三角形三边关系，折线M-C-D-N的长度大于线段MN的长度，即$MC+CD+DN＞MN$，代入得$3CD＞MN$，即$MN＜3CD$，故D结论错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆心角与弧的关系；垂径定理；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，解题时需注意：同圆中弧的等分对应圆心角的等分，但不能直接推导为弦长的等分，需结合几何性质严谨判断，易错点是混淆弧长与弦长的关系。
【难度系数】
0.6
本题是圆的性质相关的选择题，可结合已知条件“C、D三等分$\overset{\frown}{MN}$”，逐一验证各选项：首先利用同圆中相等的弧对应的圆心角相等判断选项A；再结合等边三角形的判定与性质计算圆心角度数判断选项B；利用垂径定理和平行线的判定判断选项C；最后根据三角形三边关系判断弦长关系，确定错误选项。
【解析】
连接ON，过点O作OE⊥CD，交$\overset{\frown}{CD}$于点E。
1. 验证选项A：
∵ C、D三等分$\overset{\frown}{MN}$，
∴ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠COM=∠COD$，故A结论正确。
2. 验证选项B：
若$OM=MN$，
∵ OM、ON都是圆O的半径，
∴ $OM=ON$，即$OM=ON=MN$，
∴ $△ OMN$为等边三角形，$∠MON=60°$。
又
∵ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$，三个弧对应的圆心角相等，
∴ $∠COM=∠COD=∠DON=\frac{1}{3}∠MON=20°$，故B结论正确。
3. 验证选项C：
∵ $OE⊥CD$，根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$，结合$\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{DN}$，可推出$\overset{\frown}{ME}=\overset{\frown}{NE}$，
∴ OE也垂直于MN，
∵ CD、MN都垂直于OE，
∴ $MN// CD$，故C结论正确。
4. 验证选项D：
∵ $\overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DN}$，
∴ 对应的弦长$MC=CD=DN$，
根据三角形三边关系，折线M-C-D-N的长度大于线段MN的长度，即$MC+CD+DN＞MN$，代入得$3CD＞MN$，即$MN＜3CD$，故D结论错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆心角与弧的关系；垂径定理；三角形三边关系
【点评】
本题综合考查圆的基础性质，解题时需注意：同圆中弧的等分对应圆心角的等分，但不能直接推导为弦长的等分，需结合几何性质严谨判断，易错点是混淆弧长与弦长的关系。
【难度系数】
0.6
15. 核心素养 几何直观 如图，CD是$\odot O$的直径，点A是半圆上靠近点D的一个三等分点，B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，P为直线CD上的一个动点，当CD=4时，AP+BP的最小值为
$2\sqrt{2}$
。答案
15.答案 $2\sqrt{2}$
解析 如图,作点A关于CD的对称点A',连接A'B,交CD于点P,此时PA+PB的值最小,最小值为A'B的长,连接OA',OB,
∵ 点A与A'关于CD对称,点A是半圆上靠近点D的一个三等分点,
∴ PA=PA',$∠A'OD=∠AOD=60°$,
∵ 点B是$\overset{\frown}{AD}$的中点,
∴ $∠BOD=30°$,
∴ $∠A'OB=∠A'OD+∠BOD=90°$,易知OB=OA'=2,
∴ $A'B=2\sqrt{2}$.
∴ PA+PB=PA'+PB=A'B=$2\sqrt{2}$.
∴ AP+BP的最小值为$2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是圆背景下的最短路径问题，可借助“将军饮马”模型求解：首先要使直线CD上的动点P到A、B的距离和最小，作点A关于CD的对称点A'，由轴对称性质可知AP=A'P，因此AP+BP可转化为A'P+BP；再根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，A'P+BP取得最小值，即最小值为线段A'B的长度；最后结合圆的性质，先根据弧的等分关系求出对应圆心角的度数，判断△A'OB的形状，再用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，此时AP+BP的值最小，最小值为A'B的长，连接OA'、OB。
∵ CD是$\odot O$的直径，CD=4，
∴ $\odot O$的半径$OA'=OB=2$。
∵ 点A与A'关于CD对称，点A是半圆上靠近点D的三等分点，
∴ $∠A'OD=∠AOD=180°÷3=60°$，且$AP=A'P$。
∵ B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴ $∠BOD=\frac{1}{2}∠AOD=30°$，
∴ $∠A'OB=∠A'OD+∠BOD=60°+30°=90°$，即$△ A'OB$是等腰直角三角形。
在$Rt△ A'OB$中，由勾股定理得：$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ AP+BP的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题、圆心角与弧的关系、勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质与最短路径模型进行考查，解题核心是利用轴对称将两条线段和的最值问题转化为单条线段的长度求解，同时需要熟练掌握弧与圆心角的对应关系，能正确构造直角三角形计算线段长度，很好地体现了几何直观和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
本题是圆背景下的最短路径问题，可借助“将军饮马”模型求解：首先要使直线CD上的动点P到A、B的距离和最小，作点A关于CD的对称点A'，由轴对称性质可知AP=A'P，因此AP+BP可转化为A'P+BP；再根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，A'P+BP取得最小值，即最小值为线段A'B的长度；最后结合圆的性质，先根据弧的等分关系求出对应圆心角的度数，判断△A'OB的形状，再用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点P，此时AP+BP的值最小，最小值为A'B的长，连接OA'、OB。
∵ CD是$\odot O$的直径，CD=4，
∴ $\odot O$的半径$OA'=OB=2$。
∵ 点A与A'关于CD对称，点A是半圆上靠近点D的三等分点，
∴ $∠A'OD=∠AOD=180°÷3=60°$，且$AP=A'P$。
∵ B是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴ $∠BOD=\frac{1}{2}∠AOD=30°$，
∴ $∠A'OB=∠A'OD+∠BOD=60°+30°=90°$，即$△ A'OB$是等腰直角三角形。
在$Rt△ A'OB$中，由勾股定理得：$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴ AP+BP的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题、圆心角与弧的关系、勾股定理
【点评】
本题结合圆的性质与最短路径模型进行考查，解题核心是利用轴对称将两条线段和的最值问题转化为单条线段的长度求解，同时需要熟练掌握弧与圆心角的对应关系，能正确构造直角三角形计算线段长度，很好地体现了几何直观和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
