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13 如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q。若n和q互为相反数，则m，n，p，q四个数中，绝对值最大的是（
A.p
B.q
C.m
D.n
A
）A.p
B.q
C.m
D.n
答案
A 【解析】因为$n$和$q$互为相反数,所以数轴的原点在线段$NQ$的正中间.所以点$P$表示的数的绝对值最大.
解析
【分析】
解题时先结合相反数的几何意义确定数轴原点的位置：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，且分别位于原点两侧，因此n和q对应的点N、Q的中点就是原点。再根据绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是它在数轴上对应的点到原点的距离，比较四个点到原点的距离，距离最远的点对应的数绝对值最大。
【解析】
∵n和q互为相反数，
∴数轴的原点是线段NQ的中点，
结合数轴上各点的位置可知，点P到原点的距离最远，
根据绝对值的几何意义，点P对应的数p的绝对值最大。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，相反数的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是数轴、相反数和绝对值的综合基础题，解题的关键是利用互为相反数的两个数的几何特征确定原点位置，再结合绝对值的几何意义快速判断结果。
【难度系数】
0.8
解题时先结合相反数的几何意义确定数轴原点的位置：互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，且分别位于原点两侧，因此n和q对应的点N、Q的中点就是原点。再根据绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是它在数轴上对应的点到原点的距离，比较四个点到原点的距离，距离最远的点对应的数绝对值最大。
【解析】
∵n和q互为相反数，
∴数轴的原点是线段NQ的中点，
结合数轴上各点的位置可知，点P到原点的距离最远，
根据绝对值的几何意义，点P对应的数p的绝对值最大。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，相反数的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是数轴、相反数和绝对值的综合基础题，解题的关键是利用互为相反数的两个数的几何特征确定原点位置，再结合绝对值的几何意义快速判断结果。
【难度系数】
0.8
14 分类讨论思想 若在数轴上的A，B两点所表示的有理数分别是$x$，$y$，且$|x|=2$，$|y|=3$，则A，B两点之间的距离是
$1或5$
。答案
1或5
解析
【分析】
解题思路：首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合数轴上两点之间的距离等于两点对应数的差的绝对值，分x、y同号和异号两种情况分类计算，最终得到所有可能的距离。思考时要注意绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，不能遗漏任何一种取值组合。
【解析】
解：
∵|x|=2，
∴x=2或x=-2；
∵|y|=3，
∴y=3或y=-3；
数轴上A、B两点的距离为|x - y|，分情况讨论：
① 当x、y同号时：
若x=2，y=3，距离为|2 - 3|=1；
若x=-2，y=-3，距离为|-2 - (-3)|=1；
② 当x、y异号时：
若x=2，y=-3，距离为|2 - (-3)|=5；
若x=-2，y=3，距离为|-2 - 3|=5；
综上，A、B两点之间的距离是1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
1.绝对值的性质 2.数轴两点距离计算 3.分类讨论思想
【点评】
本题核心考查绝对值的应用与数轴上两点距离的计算，解题关键是牢记绝对值为正数的数有正负两个取值，需要全面分类讨论所有可能的数值组合，避免因漏看取值情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合数轴上两点之间的距离等于两点对应数的差的绝对值，分x、y同号和异号两种情况分类计算，最终得到所有可能的距离。思考时要注意绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，不能遗漏任何一种取值组合。
【解析】
解：
∵|x|=2，
∴x=2或x=-2；
∵|y|=3，
∴y=3或y=-3；
数轴上A、B两点的距离为|x - y|，分情况讨论：
① 当x、y同号时：
若x=2，y=3，距离为|2 - 3|=1；
若x=-2，y=-3，距离为|-2 - (-3)|=1；
② 当x、y异号时：
若x=2，y=-3，距离为|2 - (-3)|=5；
若x=-2，y=3，距离为|-2 - 3|=5；
综上，A、B两点之间的距离是1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
1.绝对值的性质 2.数轴两点距离计算 3.分类讨论思想
【点评】
本题核心考查绝对值的应用与数轴上两点距离的计算，解题关键是牢记绝对值为正数的数有正负两个取值，需要全面分类讨论所有可能的数值组合，避免因漏看取值情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
15若$|x+6| + |y - 13| = 0$，则$2y - |x| =$
$20$
答案
20
解析
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。已知两个绝对值的和为0，由于两个非负数相加结果为0时，只有一种可能：两个非负数各自都等于0，据此可以列出关于x、y的方程，求出x、y的值后，再代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的绝对值均为非负数
∴ |x+6|≥0，|y-13|≥0
又
∵ |x+6| + |y - 13| = 0
∴ $\begin{cases}x+6=0 \\ y-13=0\end{cases}$
解得：x=-6，y=13
将x=-6，y=13代入2y - |x|得：
原式=2×13 - |-6| = 26 - 6 = 20
【答案】
20
【知识点】
绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，核心解题规律为“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”，熟练掌握该规律即可快速求解此类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。已知两个绝对值的和为0，由于两个非负数相加结果为0时，只有一种可能：两个非负数各自都等于0，据此可以列出关于x、y的方程，求出x、y的值后，再代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的绝对值均为非负数
∴ |x+6|≥0，|y-13|≥0
又
∵ |x+6| + |y - 13| = 0
∴ $\begin{cases}x+6=0 \\ y-13=0\end{cases}$
解得：x=-6，y=13
将x=-6，y=13代入2y - |x|得：
原式=2×13 - |-6| = 26 - 6 = 20
【答案】
20
【知识点】
绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，核心解题规律为“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”，熟练掌握该规律即可快速求解此类题目。
【难度系数】
0.8
16 计算：
(1) $|-22| + |-9|$；
(2) $|-56| - |-18|$；
(3) $\left| +3\dfrac{2}{3} \right| × |-12|$；
(4) $\left| -\dfrac{3}{4} \right| ÷ \left| -1\dfrac{7}{8} \right|$；
(5) $\left| -3\dfrac{1}{3} \right| × \left| -1\dfrac{1}{8} \right| ÷ |-1.25|$。
(1) $|-22| + |-9|$；
(2) $|-56| - |-18|$；
(3) $\left| +3\dfrac{2}{3} \right| × |-12|$；
(4) $\left| -\dfrac{3}{4} \right| ÷ \left| -1\dfrac{7}{8} \right|$；
(5) $\left| -3\dfrac{1}{3} \right| × \left| -1\dfrac{1}{8} \right| ÷ |-1.25|$。
答案
(1) 31
(2) 38
(3) 44
(4) $\dfrac{2}{5}$
(5) 3
(2) 38
(3) 44
(4) $\dfrac{2}{5}$
(5) 3
解析
【分析】
解题核心思路是先利用绝对值的性质去掉绝对值符号：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所有绝对值化简后均为非负数；再根据有理数加减乘除运算法则计算即可，遇到带分数先化成假分数，遇到除法转化为乘倒数，计算过程中可通过约分简化运算。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$|-22|=22$，$|-9|=9$，再计算加法：$22+9=31$；
(2) 先化简绝对值：$|-56|=56$，$|-18|=18$，再计算减法：$56-18=38$；
(3) 先化简绝对值：$\left|+3\dfrac{2}{3}\right|=3\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}$，$|-12|=12$，再计算乘法：$\dfrac{11}{3} × 12 = 11 × 4 = 44$；
(4) 先化简绝对值：$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$，$\left|-1\dfrac{7}{8}\right|=1\dfrac{7}{8}=\dfrac{15}{8}$，再将除法转化为乘法计算：$\dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4} × \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{5}$；
(5) 先化简绝对值：$\left|-3\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$\left|-1\dfrac{1}{8}\right|=1\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}$，$|-1.25|=1.25=\dfrac{5}{4}$，再从左到右计算：$\dfrac{10}{3} × \dfrac{9}{8} ÷ \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{4} × \dfrac{4}{5} = 3$。
【答案】
(1) 31；(2) 38；(3) 44；(4) $\dfrac{2}{5}$；(5) 3
【知识点】
1. 绝对值的化简；2. 有理数四则运算；3. 分数乘除运算
【点评】
本题是绝对值与有理数运算的基础综合题，解题关键是先正确化简绝对值，再按照四则运算规则计算，计算分数类运算时注意先将带分数、小数转化为假分数，除法转化为乘法后约分计算，能有效提高正确率和运算速度。
【难度系数】
0.85
解题核心思路是先利用绝对值的性质去掉绝对值符号：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所有绝对值化简后均为非负数；再根据有理数加减乘除运算法则计算即可，遇到带分数先化成假分数，遇到除法转化为乘倒数，计算过程中可通过约分简化运算。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$|-22|=22$，$|-9|=9$，再计算加法：$22+9=31$；
(2) 先化简绝对值：$|-56|=56$，$|-18|=18$，再计算减法：$56-18=38$；
(3) 先化简绝对值：$\left|+3\dfrac{2}{3}\right|=3\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}$，$|-12|=12$，再计算乘法：$\dfrac{11}{3} × 12 = 11 × 4 = 44$；
(4) 先化简绝对值：$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$，$\left|-1\dfrac{7}{8}\right|=1\dfrac{7}{8}=\dfrac{15}{8}$，再将除法转化为乘法计算：$\dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4} × \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{5}$；
(5) 先化简绝对值：$\left|-3\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$\left|-1\dfrac{1}{8}\right|=1\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}$，$|-1.25|=1.25=\dfrac{5}{4}$，再从左到右计算：$\dfrac{10}{3} × \dfrac{9}{8} ÷ \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{4} × \dfrac{4}{5} = 3$。
【答案】
(1) 31；(2) 38；(3) 44；(4) $\dfrac{2}{5}$；(5) 3
【知识点】
1. 绝对值的化简；2. 有理数四则运算；3. 分数乘除运算
【点评】
本题是绝对值与有理数运算的基础综合题，解题关键是先正确化简绝对值，再按照四则运算规则计算，计算分数类运算时注意先将带分数、小数转化为假分数，除法转化为乘法后约分计算，能有效提高正确率和运算速度。
【难度系数】
0.85
17 新情境 生活实际 某一天下午，出租车司机小张的营运全是在东西走向的幸福路上进行的.如果规定向东为正、向西为负，那么他这天下午的行程(单位:km)如下:+3,+10,−4,+7,−5,−4,+12,−8,−5,+6,−21,+9.若出租车的耗油量为0.1 L/km，则这天下午小张的出租车共耗油多少升？
答案
$|+3|+|+10|+|-4|+|+7|+|-5|+|-4|+|+12|+|-8|+|-5|+|+6|+|-21|+|+9|=94(\mathrm{km}),94×0.1=9.4(\mathrm{L}),$所以这天下午小张的出租车共耗油9.4 L
解析
【分析】
要计算出租车的总耗油量，首先要明确：耗油量仅和行驶的总路程有关，与行驶方向无关。题目中带正负号的行程是用来表示行驶方向的，因此总路程需要先求出每次行程的绝对值，再将所有绝对值相加得到总行驶里程，最后用总里程乘单位里程的耗油量，即可算出总耗油量。
【解析】
首先计算这天下午出租车行驶的总路程，总路程为所有行程的绝对值之和：
$|+3|+|+10|+|-4|+|+7|+|-5|+|-4|+|+12|+|-8|+|-5|+|+6|+|-21|+|+9|$
$=3+10+4+7+5+4+12+8+5+6+21+9$
$=94(\mathrm{km})$
已知出租车耗油量为$0.1\ \mathrm{L/km}$，因此总耗油量为：
$94×0.1=9.4(\mathrm{L})$
【答案】
这天下午小张的出租车共耗油9.4 L
【知识点】
绝对值的应用，正负数的实际意义，有理数加法运算
【点评】
本题结合生活实际命题，解题的关键是区分带方向的位移和无方向的路程，易错点是直接将带正负号的行程数值相加计算总路程，忽略路程不存在方向的特点。
【难度系数】
0.8
要计算出租车的总耗油量，首先要明确：耗油量仅和行驶的总路程有关，与行驶方向无关。题目中带正负号的行程是用来表示行驶方向的，因此总路程需要先求出每次行程的绝对值，再将所有绝对值相加得到总行驶里程，最后用总里程乘单位里程的耗油量，即可算出总耗油量。
【解析】
首先计算这天下午出租车行驶的总路程，总路程为所有行程的绝对值之和：
$|+3|+|+10|+|-4|+|+7|+|-5|+|-4|+|+12|+|-8|+|-5|+|+6|+|-21|+|+9|$
$=3+10+4+7+5+4+12+8+5+6+21+9$
$=94(\mathrm{km})$
已知出租车耗油量为$0.1\ \mathrm{L/km}$，因此总耗油量为：
$94×0.1=9.4(\mathrm{L})$
【答案】
这天下午小张的出租车共耗油9.4 L
【知识点】
绝对值的应用，正负数的实际意义，有理数加法运算
【点评】
本题结合生活实际命题，解题的关键是区分带方向的位移和无方向的路程，易错点是直接将带正负号的行程数值相加计算总路程，忽略路程不存在方向的特点。
【难度系数】
0.8
18 同学们都知道$|5-(-2)|$表示5与−2的差的绝对值，也可理解为5与−2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.
（1）试探索：$|5-(-2)|=$
（2）试探索：使得$|x+5|+|x-2|=7$成立的整数$x$有
（3）根据以上探索，猜想：对于任何有理数$x$，$|x-3|+|x-6|$是否有最小值？如果有，请写出最小值；如果没有，请说明理由.
（1）试探索：$|5-(-2)|=$
$7$
.（2）试探索：使得$|x+5|+|x-2|=7$成立的整数$x$有
$-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$
.（3）根据以上探索，猜想：对于任何有理数$x$，$|x-3|+|x-6|$是否有最小值？如果有，请写出最小值；如果没有，请说明理由.
答案
(1) 7
(2) $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$
(3) 有最小值，最小值为3
(2) $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$
(3) 有最小值，最小值为3
解析
【分析】
（1）本题可从两个角度思考：从运算规则角度，先计算绝对值内的减法，再求结果的绝对值即可；从几何意义角度，|5-(-2)|表示数轴上5和-2对应点的距离，直接计算两点间距也能得到结果。
（2）先将绝对值转化为数轴距离：|x+5|=|x-(-5)|，表示x对应点到-5对应点的距离，|x-2|表示x对应点到2对应点的距离。先算出-5到2的固定距离为7，因此只要x落在-5和2之间（含两端点），两个距离之和就等于7，再找出该区间内的所有整数即可。
（3）同样转化为距离问题：|x-3|是x到3的距离，|x-6|是x到6的距离，根据两点之间线段最短，当x落在3和6之间的线段上时，两个距离的和最小，最小值就是3和6的两点间距，计算即可得到结果。
【解析】
（1）计算$|5-(-2)|$时，先化简绝对值内的算式：$5-(-2)=5+2=7$，再求7的绝对值得$|7|=7$。
（2）根据绝对值的几何意义，$|x+5|$是x到-5的数轴距离，$|x-2|$是x到2的数轴距离。首先计算-5和2的固定间距：$|2-(-5)|=7$，因此当x在-5和2之间（包含端点）时，两个距离之和恰好等于7，该区间内的整数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2。
（3）有最小值，理由如下：$|x-3|$表示x到3的数轴距离，$|x-6|$表示x到6的数轴距离，根据两点之间线段最短，当x落在3和6之间（包含端点）时，两个距离的和最小，最小值为3和6的间距$|6-3|=3$。
【答案】
(1) 7
(2) $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$
(3) 有最小值，最小值为3
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，绝对值运算
【点评】
本题将绝对值运算和数轴性质结合考查，利用绝对值的几何意义解题比纯代数计算更直观简便，体现了数形结合的数学思想，掌握该转化方法可快速解决同类绝对值求和的最值问题。
【难度系数】
0.65
（1）本题可从两个角度思考：从运算规则角度，先计算绝对值内的减法，再求结果的绝对值即可；从几何意义角度，|5-(-2)|表示数轴上5和-2对应点的距离，直接计算两点间距也能得到结果。
（2）先将绝对值转化为数轴距离：|x+5|=|x-(-5)|，表示x对应点到-5对应点的距离，|x-2|表示x对应点到2对应点的距离。先算出-5到2的固定距离为7，因此只要x落在-5和2之间（含两端点），两个距离之和就等于7，再找出该区间内的所有整数即可。
（3）同样转化为距离问题：|x-3|是x到3的距离，|x-6|是x到6的距离，根据两点之间线段最短，当x落在3和6之间的线段上时，两个距离的和最小，最小值就是3和6的两点间距，计算即可得到结果。
【解析】
（1）计算$|5-(-2)|$时，先化简绝对值内的算式：$5-(-2)=5+2=7$，再求7的绝对值得$|7|=7$。
（2）根据绝对值的几何意义，$|x+5|$是x到-5的数轴距离，$|x-2|$是x到2的数轴距离。首先计算-5和2的固定间距：$|2-(-5)|=7$，因此当x在-5和2之间（包含端点）时，两个距离之和恰好等于7，该区间内的整数为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2。
（3）有最小值，理由如下：$|x-3|$表示x到3的数轴距离，$|x-6|$表示x到6的数轴距离，根据两点之间线段最短，当x落在3和6之间（包含端点）时，两个距离的和最小，最小值为3和6的间距$|6-3|=3$。
【答案】
(1) 7
(2) $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$
(3) 有最小值，最小值为3
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，绝对值运算
【点评】
本题将绝对值运算和数轴性质结合考查，利用绝对值的几何意义解题比纯代数计算更直观简便，体现了数形结合的数学思想，掌握该转化方法可快速解决同类绝对值求和的最值问题。
【难度系数】
0.65
