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1.如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AD = DE = EB$，$BD = BC$，求$∠ A$的度数.
答案
设∠EBD=α,
∵AD=DE=EB,
∴∠EBD=∠EDB=α,
∴∠A=∠AED=2∠EBD=2α,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠C=3α,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3α,
∴2α+3α+3α=180°,
∴α=22.5°.
∴∠A=2α=45°
∵AD=DE=EB,
∴∠EBD=∠EDB=α,
∴∠A=∠AED=2∠EBD=2α,
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠C=3α,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=3α,
∴2α+3α+3α=180°,
∴α=22.5°.
∴∠A=2α=45°
解析
【分析】
本题是多个等腰三角形结合的角度求解问题，解题核心是利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角和内角和定理求解。思考时先找到度数最小的∠EBD设为参数，再通过外角性质、等边对等角，将△ABC的三个内角都用参数表示，最后根据三角形内角和为180°列方程计算即可。
【解析】
设$∠ EBD=α$，
$\because AD=DE=EB$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EDB=α$（等边对等角），
$\because ∠ AED$是$△ EBD$的外角，
$\therefore ∠ AED=∠ EBD+∠ EDB=2α$，
又$\because AD=DE$，
$\therefore ∠ A=∠ AED=2α$（等边对等角），
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ EBD=2α+α=3α$，
$\because BD=BC$，
$\therefore ∠ BDC=∠ C=3α$（等边对等角），
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=3α$（等边对等角），
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$（三角形内角和定理），
代入得：$2α+3α+3α=180°$，
解得$α=22.5°$，
$\therefore ∠ A=2α=2×22.5°=45°$。
【答案】
$∠ A=45°$
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常规题型，解题关键是合理设未知角为参数，利用等腰三角形性质和三角形内外角关系将所有相关角用参数表示，结合内角和定理建立方程求解，渗透了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
本题是多个等腰三角形结合的角度求解问题，解题核心是利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角和内角和定理求解。思考时先找到度数最小的∠EBD设为参数，再通过外角性质、等边对等角，将△ABC的三个内角都用参数表示，最后根据三角形内角和为180°列方程计算即可。
【解析】
设$∠ EBD=α$，
$\because AD=DE=EB$，
$\therefore ∠ EBD=∠ EDB=α$（等边对等角），
$\because ∠ AED$是$△ EBD$的外角，
$\therefore ∠ AED=∠ EBD+∠ EDB=2α$，
又$\because AD=DE$，
$\therefore ∠ A=∠ AED=2α$（等边对等角），
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ EBD=2α+α=3α$，
$\because BD=BC$，
$\therefore ∠ BDC=∠ C=3α$（等边对等角），
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=3α$（等边对等角），
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$（三角形内角和定理），
代入得：$2α+3α+3α=180°$，
解得$α=22.5°$，
$\therefore ∠ A=2α=2×22.5°=45°$。
【答案】
$∠ A=45°$
【知识点】
等边对等角；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常规题型，解题关键是合理设未知角为参数，利用等腰三角形性质和三角形内外角关系将所有相关角用参数表示，结合内角和定理建立方程求解，渗透了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
2.如图，$CA=CB$，$DF=DB$，$AE=AD$，求$∠ A$的度数.
答案
设∠B=x,
∵CA=CB,
∴∠A=∠B,
∵DF=DB,
∴∠B=∠F,
∴∠A=∠F=x,∠ADF=2x.
∵AE=AD,
∴∠ADE=1/2(180°−x),
∴1/2(180°−x)=2x,解得x=36°,即∠A的度数为36°
∵CA=CB,
∴∠A=∠B,
∵DF=DB,
∴∠B=∠F,
∴∠A=∠F=x,∠ADF=2x.
∵AE=AD,
∴∠ADE=1/2(180°−x),
∴1/2(180°−x)=2x,解得x=36°,即∠A的度数为36°
解析
【分析】
本题是等腰三角形角度计算类问题，可通过方程思想结合等腰三角形、三角形角的相关性质求解。首先观察到图中有3个等腰三角形，我们可以先设其中一个角为未知数，再利用“等边对等角”的性质、三角形外角性质、内角和定理，将相关角都用含未知数的式子表示，最后找到等量关系列方程，解出未知数即可得到∠A的度数。
【解析】
解：设$∠ B=x$，
$\because CA=CB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=x$，
$\because DF=DB$，
$\therefore ∠ F=∠ B=x$，
根据三角形外角的性质，可得$∠ ADF=∠ B+∠ F=2x$，
$\because AE=AD$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形，$∠ AED=∠ ADE$，
由三角形内角和为$180°$可得：$∠ ADE=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}(180°-x)$，
$\because ∠ ADE$与$∠ ADF$为同一个角，
$\therefore \frac{1}{2}(180°-x)=2x$，
解得：$x=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心解题思路是利用等腰三角形的性质转化角的相等关系，结合方程思想求解，熟练掌握三角形角的相关性质能快速梳理角的等量关系，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是等腰三角形角度计算类问题，可通过方程思想结合等腰三角形、三角形角的相关性质求解。首先观察到图中有3个等腰三角形，我们可以先设其中一个角为未知数，再利用“等边对等角”的性质、三角形外角性质、内角和定理，将相关角都用含未知数的式子表示，最后找到等量关系列方程，解出未知数即可得到∠A的度数。
【解析】
解：设$∠ B=x$，
$\because CA=CB$，
$\therefore ∠ A=∠ B=x$，
$\because DF=DB$，
$\therefore ∠ F=∠ B=x$，
根据三角形外角的性质，可得$∠ ADF=∠ B+∠ F=2x$，
$\because AE=AD$，
$\therefore △ ADE$是等腰三角形，$∠ AED=∠ ADE$，
由三角形内角和为$180°$可得：$∠ ADE=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}(180°-x)$，
$\because ∠ ADE$与$∠ ADF$为同一个角，
$\therefore \frac{1}{2}(180°-x)=2x$，
解得：$x=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，核心解题思路是利用等腰三角形的性质转化角的相等关系，结合方程思想求解，熟练掌握三角形角的相关性质能快速梳理角的等量关系，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
3.如图,在△ABC中,CA=CB,D为△ABC内一点,∠1=∠2,若∠C=40°,求∠ADB的度数.
答案
∵CA=CB,∠C=40°,
∴∠CBA=(180°−40°)/2=70°,
∵∠ADB=180°−(∠1+∠ABD),∠1=∠2,
∴∠ADB=180°−(∠2+∠ABD)=180°−∠CBA=180°−70°=110°
解析
【分析】
首先由已知CA=CB可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可先求出底角∠CBA的度数；再结合三角形内角和为180°，可得∠ADB=180°-(∠1+∠ABD)，利用已知∠1=∠2进行等量代换，将∠1替换为∠2，此时∠2+∠ABD正好等于∠CBA，代入数值即可求出∠ADB的度数。
【解析】
∵CA=CB，∠C=40°，
∴∠CBA=(180°−40°)/2=70°，
∵∠ADB=180°−(∠1+∠ABD)，∠1=∠2，
∴∠ADB=180°−(∠2+∠ABD)=180°−∠CBA=180°−70°=110°
【答案】
110°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等量代换
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常规题型，解题关键是利用角的等量关系把待求角相关的未知角和转化为可求的等腰三角形底角，侧重对基础性质的理解和灵活运用，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
首先由已知CA=CB可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质，可先求出底角∠CBA的度数；再结合三角形内角和为180°，可得∠ADB=180°-(∠1+∠ABD)，利用已知∠1=∠2进行等量代换，将∠1替换为∠2，此时∠2+∠ABD正好等于∠CBA，代入数值即可求出∠ADB的度数。
【解析】
∵CA=CB，∠C=40°，
∴∠CBA=(180°−40°)/2=70°，
∵∠ADB=180°−(∠1+∠ABD)，∠1=∠2，
∴∠ADB=180°−(∠2+∠ABD)=180°−∠CBA=180°−70°=110°
【答案】
110°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等量代换
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常规题型，解题关键是利用角的等量关系把待求角相关的未知角和转化为可求的等腰三角形底角，侧重对基础性质的理解和灵活运用，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$在$BC$上，$∠ BAD=50°$，$AE=AD$，求$∠ EDC$的度数。
答案
由三角形的外角性质得∠AED=∠EDC+∠C,∠ADC=∠B+∠BAD,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED,又
∵∠ADE=∠ADC−∠EDC=∠B+∠BAD−∠EDC=∠B+50°−∠EDC,
∴∠EDC+∠C=∠B+50°−∠EDC,
∴∠EDC=25°
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AE=AD,
∴∠ADE=∠AED,又
∵∠ADE=∠ADC−∠EDC=∠B+∠BAD−∠EDC=∠B+50°−∠EDC,
∴∠EDC+∠C=∠B+50°−∠EDC,
∴∠EDC=25°
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理角的关系：首先题目给出两个等腰三角形，可联想到等腰三角形等边对等角的性质；所求∠EDC是△EDC的内角，可借助三角形外角的性质，建立∠EDC与其他角的等量关系：一是∠AED作为△EDC的外角，等于∠EDC与∠C的和；二是∠ADC作为△ABD的外角，等于∠B与∠BAD的和。再通过角度和差关系表示∠ADE，结合等腰三角形的等角关系代换，消去相等的未知角（∠B、∠C），即可求出∠EDC的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质可得：
∠AED = ∠EDC + ∠C （∠AED是△EDC的外角，等于与它不相邻的两个内角的和）
∠ADC = ∠B + ∠BAD （∠ADC是△ABD的外角，等于与它不相邻的两个内角的和）
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠C
∵ AE=AD，
∴ △ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED
又
∵ ∠ADE = ∠ADC - ∠EDC，将∠ADC=∠B+∠BAD代入得：
∠ADE = ∠B + 50° - ∠EDC
结合∠ADE=∠AED=∠EDC+∠C，且∠B=∠C，代入得：
∠EDC + ∠C = ∠C + 50° - ∠EDC
两边消去∠C，移项整理得：2∠EDC=50°，解得∠EDC=25°
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是利用三角形外角性质搭建角度间的等量关系，再结合等腰三角形等边对等角的性质做等量代换，消去未知的等角即可求解，注意推导过程中不要漏看角度的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理角的关系：首先题目给出两个等腰三角形，可联想到等腰三角形等边对等角的性质；所求∠EDC是△EDC的内角，可借助三角形外角的性质，建立∠EDC与其他角的等量关系：一是∠AED作为△EDC的外角，等于∠EDC与∠C的和；二是∠ADC作为△ABD的外角，等于∠B与∠BAD的和。再通过角度和差关系表示∠ADE，结合等腰三角形的等角关系代换，消去相等的未知角（∠B、∠C），即可求出∠EDC的度数。
【解析】
根据三角形外角的性质可得：
∠AED = ∠EDC + ∠C （∠AED是△EDC的外角，等于与它不相邻的两个内角的和）
∠ADC = ∠B + ∠BAD （∠ADC是△ABD的外角，等于与它不相邻的两个内角的和）
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠B=∠C
∵ AE=AD，
∴ △ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED
又
∵ ∠ADE = ∠ADC - ∠EDC，将∠ADC=∠B+∠BAD代入得：
∠ADE = ∠B + 50° - ∠EDC
结合∠ADE=∠AED=∠EDC+∠C，且∠B=∠C，代入得：
∠EDC + ∠C = ∠C + 50° - ∠EDC
两边消去∠C，移项整理得：2∠EDC=50°，解得∠EDC=25°
【答案】
25°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是利用三角形外角性质搭建角度间的等量关系，再结合等腰三角形等边对等角的性质做等量代换，消去未知的等角即可求解，注意推导过程中不要漏看角度的和差关系。
【难度系数】
0.7
5.等腰三角形的一个角比另一个角大$30°$，则等腰三角形的顶角的度数为
80°或40°
。答案
80°或40°
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的核心性质：两个底角相等，同时结合三角形内角和为180°的定理解题。由于题目未说明“更大的角”是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论：①顶角比底角大30°；②底角比顶角大30°。分别设未知数列方程求解后，验证结果是否符合三角形内角要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当顶角比底角大30°时：
设底角度数为$x$，则顶角度数为$x+30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x + x + (x+30°) = 180°$
解得：$3x=150°$，$x=50°$
此时顶角度数为$50°+30°=80°$。
2. 当底角比顶角大30°时：
设顶角度数为$y$，则底角度数为$y+30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$y + 2×(y+30°) = 180°$
解得：$3y=120°$，$y=40°$
此时顶角度数为$40°$。
两种情况均符合三角形内角和要求，因此顶角的度数为$80°$或$40°$。
【答案】
$\boxed{80°}$或$\boxed{40°}$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是注意分情况讨论，避免因默认某类角更大而漏解，计算完成后可通过内角和定理验证结果是否正确。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形的核心性质：两个底角相等，同时结合三角形内角和为180°的定理解题。由于题目未说明“更大的角”是顶角还是底角，因此需要分两种情况分类讨论：①顶角比底角大30°；②底角比顶角大30°。分别设未知数列方程求解后，验证结果是否符合三角形内角要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当顶角比底角大30°时：
设底角度数为$x$，则顶角度数为$x+30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x + x + (x+30°) = 180°$
解得：$3x=150°$，$x=50°$
此时顶角度数为$50°+30°=80°$。
2. 当底角比顶角大30°时：
设顶角度数为$y$，则底角度数为$y+30°$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$y + 2×(y+30°) = 180°$
解得：$3y=120°$，$y=40°$
此时顶角度数为$40°$。
两种情况均符合三角形内角和要求，因此顶角的度数为$80°$或$40°$。
【答案】
$\boxed{80°}$或$\boxed{40°}$
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是注意分情况讨论，避免因默认某类角更大而漏解，计算完成后可通过内角和定理验证结果是否正确。
【难度系数】
0.7
6.过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，求原等腰三角形的底角度数.
答案
分两种情况:①如图①,
∵AB=AC,BD=AD,AC=CD,
∴∠ABC=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,
∵∠CDA=2∠ABC,
∴∠CAB=3∠ABC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴5∠ABC=180°,
∴∠ABC=36°;②如图②,
∵AB=AC,AD=BD=CD,
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,
∴∠BAC=2∠ABC,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴4∠ABC=180°,
∴∠ABC=45°.综上所述,原等腰三角形的底角度数为36°或45°
解析
【分析】
首先设原等腰三角形的底角度数为x，根据等腰三角形等边对等角的性质，可知原三角形两个底角均为x。解题时需分类讨论过顶角顶点的直线分割出的两个等腰三角形的边角关系：第一种是分割出的一个等腰三角形以原三角形的腰为腰，另一个以分割线为腰；第二种是分割出的两个等腰三角形均以分割线为腰。再结合三角形外角性质、三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图①，原等腰三角形中AB=AC，分割后△ABD和△ACD均为等腰三角形，且BD=AD，AC=CD。
由等腰三角形等边对等角的性质可得：∠ABC=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD。
根据三角形外角的性质，∠CDA是△ABD的外角，因此∠CDA=∠B+∠BAD=2∠ABC。
可得∠CAB=∠BAD+∠CAD=∠ABC+2∠ABC=3∠ABC。
结合三角形内角和定理：∠BAC+∠B+∠C=180°，代入得$3∠ ABC+∠ ABC+∠ ABC=5∠ ABC=180°$，解得$∠ ABC=36°$。
② 如图②，原等腰三角形中AB=AC，分割后△ABD和△ACD均为等腰三角形，且AD=BD=CD。
由等腰三角形等边对等角的性质可得：∠B=∠C=∠DAC=∠DAB。
可得∠BAC=∠DAB+∠DAC=2∠ABC。
结合三角形内角和定理：∠BAC+∠B+∠C=180°，代入得$2∠ ABC+∠ ABC+∠ ABC=4∠ ABC=180°$，解得$∠ ABC=45°$。
【答案】
原等腰三角形的底角度数为36°或45°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是结合分割后两个三角形均为等腰三角形的条件，分类讨论不同的边角对应关系，结合三角形内角和、外角性质建立等式求解，需注意避免漏解。
【难度系数】
0.5
首先设原等腰三角形的底角度数为x，根据等腰三角形等边对等角的性质，可知原三角形两个底角均为x。解题时需分类讨论过顶角顶点的直线分割出的两个等腰三角形的边角关系：第一种是分割出的一个等腰三角形以原三角形的腰为腰，另一个以分割线为腰；第二种是分割出的两个等腰三角形均以分割线为腰。再结合三角形外角性质、三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图①，原等腰三角形中AB=AC，分割后△ABD和△ACD均为等腰三角形，且BD=AD，AC=CD。
由等腰三角形等边对等角的性质可得：∠ABC=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD。
根据三角形外角的性质，∠CDA是△ABD的外角，因此∠CDA=∠B+∠BAD=2∠ABC。
可得∠CAB=∠BAD+∠CAD=∠ABC+2∠ABC=3∠ABC。
结合三角形内角和定理：∠BAC+∠B+∠C=180°，代入得$3∠ ABC+∠ ABC+∠ ABC=5∠ ABC=180°$，解得$∠ ABC=36°$。
② 如图②，原等腰三角形中AB=AC，分割后△ABD和△ACD均为等腰三角形，且AD=BD=CD。
由等腰三角形等边对等角的性质可得：∠B=∠C=∠DAC=∠DAB。
可得∠BAC=∠DAB+∠DAC=2∠ABC。
结合三角形内角和定理：∠BAC+∠B+∠C=180°，代入得$2∠ ABC+∠ ABC+∠ ABC=4∠ ABC=180°$，解得$∠ ABC=45°$。
【答案】
原等腰三角形的底角度数为36°或45°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题关键是结合分割后两个三角形均为等腰三角形的条件，分类讨论不同的边角对应关系，结合三角形内角和、外角性质建立等式求解，需注意避免漏解。
【难度系数】
0.5
