5. 如图，已知 D，E，F 分别是$△ ABC$的三边上的点，$CE=BF$，且$△ DCE$的面积与$△ DBF$的面积相等. 求证：$AD$平分$∠ BAC$.

5. 如图,过点D作$DM⊥ AB$于点M,$DN⊥ AC$于点N,
$\because △ DCE$的面积与$△ DBF$的面积相等,$\therefore \frac{BF· DM}{2}=\frac{CE· DN}{2}. \because CE=BF, \therefore DM=DN. \therefore AD$平分$∠ BAC$.

6. 如图,在∠AOB 的两边OA,OB 上分别取点M,N,连接 MN.若 MP 平分∠AMN,NP 平分∠MNB.
(1) 求证:OP 平分∠AOB;
(2) 若 MN=8,且△PMN 与△OMN 的面积分别是 16 和 24,求线段 OM 与 ON 的长度之和.

6. (1) 如图,过点P作$PC⊥ OA$,垂足为C,过点P作$PD⊥ MN$,垂足为D,过点P作$PE⊥ OB$,垂足为E,$\because MP$平分$∠ AMN$,$PC⊥ OA$,$PD⊥ MN$,$\therefore PC=PD. \because NP$平分$∠ MNB$,$PD⊥ MN$,$PE⊥ OB$,$\therefore PD=PE. \therefore PC=PE. \therefore OP$平分$∠ AOB$.
(2) $\because △ PMN$的面积是16,$MN=8$,$\therefore \frac{1}{2}MN· PD=16. \therefore \frac{1}{2}×8· PD=16. \therefore PD=4. \therefore PD=PC=PE=4. \because △ OMN$的面积是24,$\therefore$四边形$MONP$的面积$=△ PMN$的面积$+△ OMN$的面积$=16+24=40. \therefore △ POM$的面积$+△ PON$的面积$=40. \therefore \frac{1}{2}OM· PC+\frac{1}{2}ON· PE=40. \therefore \frac{1}{2}OM· 4+\frac{1}{2}ON· 4=40$.
$\therefore OM+ON=20. \therefore$线段$OM$与$ON$的长度之和为20.