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三、解答题（共48分）
14.（9分）把下列各式因式分解：
(1)$4a^2b - 4ab^2 + b^3$；
(2)$(a+b)^2 - 4a^2$；
(3)$(a-b)(a+b)-2b(a-b)$。
14.（9分）把下列各式因式分解：
(1)$4a^2b - 4ab^2 + b^3$；
(2)$(a+b)^2 - 4a^2$；
(3)$(a-b)(a+b)-2b(a-b)$。
答案
14.【解】(1)$4a^2b - 4ab^2 + b^3 = b(4a^2 -4ab +b^2)=b(2a-b)^2.$
(2)$(a+b)^2 - 4a^2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).$
(3)$(a-b)(a+b)-2b(a-b)=a^2 -b^2 -2ab +2b^2=a^2 -2ab +b^2=(a-b)^2.$
(2)$(a+b)^2 - 4a^2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).$
(3)$(a-b)(a+b)-2b(a-b)=a^2 -b^2 -2ab +2b^2=a^2 -2ab +b^2=(a-b)^2.$
15.(8分)用简便方法计算：
(1)$-23.7×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×1.3-2.6×\frac{4}{5}$；
(2)$2025+2025^2-2026^2$.
(1)$-23.7×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×1.3-2.6×\frac{4}{5}$；
(2)$2025+2025^2-2026^2$.
答案
15.【解】(1)原式$=\frac{4}{5}×(-23.7+1.3-2.6)=\frac{4}{5}×(-25)=-20.$
(2)原式$=2\ 025-(2\ 026^2 -2\ 025^2)=2\ 025-(2\ 026+2\ 025)(2\ 026-2\ 025)=2\ 025-2\ 026-2\ 025=-2\ 026.$
(2)原式$=2\ 025-(2\ 026^2 -2\ 025^2)=2\ 025-(2\ 026+2\ 025)(2\ 026-2\ 025)=2\ 025-2\ 026-2\ 025=-2\ 026.$
16.(9分)已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足$a^2b - a^2c + b^2c - b^3 = 0$，请判断△ABC的形状。
答案
16.【解】$\because a^2b - a^2c + b^2c - b^3 = a^2(b-c)-b^2(b-c)=(b-c)(a^2 -b^2)=(b-c)(a-b)(a+b)=0,$
$\therefore b-c=0$ 或 $a-b=0$ 或 $a+b=0$(舍去).
$\therefore b=c$ 或 $a=b. \therefore△ ABC$一定是等腰三角形.
$\therefore b-c=0$ 或 $a-b=0$ 或 $a+b=0$(舍去).
$\therefore b=c$ 或 $a=b. \therefore△ ABC$一定是等腰三角形.
17. (10分) 新视角 新定义题 若一个整数能表示成$a^2 + b^2$（$a,b$是正整数）的形式，则称这个整数为“丰利数”.例如，2是“丰利数”，因为$2=1^2 + 1^2$，再如，$M=x^2 + 2xy + 2y^2=(x+y)^2 + y^2$（$x+y,y$是正整数），所以$M$也是“丰利数”.
(1)20
(2)已知$S=x^2 + y^2 + 2x -6y +k$（$x,y$是正整数，$k$是常数），要使$S$为“丰利数”，试求出符合条件的一个$k$值（$10≤ k＜200$）.
(1)20
是
（填“是”或“不是”）“丰利数”；(2)已知$S=x^2 + y^2 + 2x -6y +k$（$x,y$是正整数，$k$是常数），要使$S$为“丰利数”，试求出符合条件的一个$k$值（$10≤ k＜200$）.
答案
17.【解】(1)是
(2)$S=x^2 + y^2 + 2x - 6y + k=(x^2 + 2x + 1)+(y^2 - 6y + 9)+k-10=(x+1)^2 + (y-3)^2 +k-10.$ 当$(x+1)^2$，$(y-3)^2$是正整数的平方，且$k-10$为零时，$S$是“丰利数”，故$k$的值可以是10.(答案不唯一)
(2)$S=x^2 + y^2 + 2x - 6y + k=(x^2 + 2x + 1)+(y^2 - 6y + 9)+k-10=(x+1)^2 + (y-3)^2 +k-10.$ 当$(x+1)^2$，$(y-3)^2$是正整数的平方，且$k-10$为零时，$S$是“丰利数”，故$k$的值可以是10.(答案不唯一)
18.（12分）新考法 阅读类比法 问题：已知多项式$x^4 + mx^3 + nx -16$含有因式$(x-1)$和$(x-2)$，求$m,n$的值.
解:设$x^4 + mx^3 + nx -16 = A(x-1)(x-2)$（其中A为整式），
取$x=1$，得$1+m+n-16=0$，①
取$x=2$，得$16+8m+2n-16=0$，②
由①，②解得$m=-5,n=20$.
根据以上阅读材料解决下列问题:
(1)若多项式$3x^3 + ax^2 -2$含有因式$(x-1)$，求实数$a$的值；
(2)若多项式$2x^2 + mxy + ny^2 -4x +2y$含有因式$(x+y-2)$，求实数$m,n$的值；
(3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数.请求出多项式$x^{2026} + 2x^{1013} +3$除以一次因式$(x+1)$的余数.
解:设$x^4 + mx^3 + nx -16 = A(x-1)(x-2)$（其中A为整式），
取$x=1$，得$1+m+n-16=0$，①
取$x=2$，得$16+8m+2n-16=0$，②
由①，②解得$m=-5,n=20$.
根据以上阅读材料解决下列问题:
(1)若多项式$3x^3 + ax^2 -2$含有因式$(x-1)$，求实数$a$的值；
(2)若多项式$2x^2 + mxy + ny^2 -4x +2y$含有因式$(x+y-2)$，求实数$m,n$的值；
(3)如果一个多项式与某正数的差含有某个一次因式，则称这个正数是这个多项式除以该一次因式的余数.请求出多项式$x^{2026} + 2x^{1013} +3$除以一次因式$(x+1)$的余数.
答案
18.【解】(1)设$3x^3 + ax^2 -2 = M(x-1)$(其中M为整式)，取$x=1$，得$3+a-2=0$，解得$a=-1.$
(2)设$2x^2 + mxy + ny^2 -4x +2y = N(x+y-2)$(其中N为整式)，
取$x=0,y=2$，得$4n+4=0$,①
取$x=1,y=1$，得$2+m+n-4+2=0$,②
由①,②解得$m=1,n=-1.$
(3)设多项式$x^{2\ 026} + 2x^{1\ 013} +3$除以一次因式$(x+1)$的余数为$b(b＞0)$，另一个因式为Q，
则$x^{2\ 026} + 2x^{1\ 013} +3 -b = Q(x+1),$
取$x=-1$，得$1-2+3-b=0$，解得$b=2.$
$\therefore x^{2\ 026} + 2x^{1\ 013} +3$除以一次因式$(x+1)$的余数为2.
(2)设$2x^2 + mxy + ny^2 -4x +2y = N(x+y-2)$(其中N为整式)，
取$x=0,y=2$，得$4n+4=0$,①
取$x=1,y=1$，得$2+m+n-4+2=0$,②
由①,②解得$m=1,n=-1.$
(3)设多项式$x^{2\ 026} + 2x^{1\ 013} +3$除以一次因式$(x+1)$的余数为$b(b＞0)$，另一个因式为Q，
则$x^{2\ 026} + 2x^{1\ 013} +3 -b = Q(x+1),$
取$x=-1$，得$1-2+3-b=0$，解得$b=2.$
$\therefore x^{2\ 026} + 2x^{1\ 013} +3$除以一次因式$(x+1)$的余数为2.
