1. (2024·长春中考)如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点$A(4,2)$在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上.将直线OA沿y轴向上平移,平移后的直线与y轴交于点B,与函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象交于点C.若$BC=\sqrt{5}$,则点B的坐标是 ()


A.$(0,\sqrt{5})$
B.$(0,3)$
C.$(0,4)$
D.$(0,2\sqrt{5})$

1. B 解析:
∵ 点A(4,2)在函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,
∴ k=4×2=8.
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$.设直线OA的解析式为$y=k_1x$,
∴$4k_1=2$,
∴$k_1=\frac{1}{2}$,
∴ 直线OA的解析式为$y=\frac{1}{2}x$.
设向上平移m个单位长度到直线BC,
∴ B(0,m),直线BC的解析式为$y=\frac{1}{2}x+m$.再设$C(a,\frac{8}{a})(a＞0)$,
∴$\frac{8}{a}=\frac{1}{2}a+m$,
∴$\frac{8}{a}-m=\frac{1}{2}a$.如图,作$CH⊥ y$轴于H,
∴ CH=a,
$BH=\frac{8}{a}-m=\frac{1}{2}a$,$BH^2+CH^2=BC^2$,
∴$\frac{1}{4}a^2+a^2=5$.
∴ a=2,
∴ 4-m=1,
∴ m=3,
∴ B(0,3).故选 B.

2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = -4x+4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点.正方形$ABCD$的顶点$C,D$在第一象限,顶点$D$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象上.若正方形$ABCD$向左平移$n$个单位长度后,顶点$C$恰好落在反比例函数的图象上,则$n$的值是.

2. 3 解析:如图,过点D作$DE⊥ x$轴于点E,过点C作$CF⊥ y$轴于点F,可证$△ ABO≌△ DAE$,$△ CBF≌△ BAO$,则易求得A(1,0),B(0,4),D(5,1),C(4,5),可求得反比例函数的解析式为$y=\frac{5}{x}$,顶点C向左平移n个单位长度后的坐标为(4-n,5),所以5(4-n)=5,解得n=3.

3.（2024·绵阳中考）如图，在边长为4的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，边AB在x轴上，∠BAD=60°，B(-1,0)，点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上。
(1)求点C，D，E的坐标及反比例函数的解析式；
(2)将菱形ABCD向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边BC与函数图象交于点F，求点F到x轴的距离。

3. (1)如图,过点D作$DH⊥ AB$于点H.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD = 4, DE = EB.
∵ ∠BAD = 60°,
∴ $△ ABD$是等边三角形.
∵ $DH⊥ AB$,
∴ AH = BH = 2, DH = $2\sqrt{3}$.
∵ B(-1,0),
∴ OB = 1,
∴ OH = OB+BH = 3,
∴ D(-3,$2\sqrt{3}$),C(1,$2\sqrt{3}$).
∵ DE=EB,
∴ E(-2,$\sqrt{3}$).
∵ 点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上,
∴ $k=1×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$,
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$.
(2)对于反比例函数$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$,当$y=\sqrt{3}$时,x=2,
∴ 平移后点E恰好在反比例函数的图象上时,点E的对应点E'(2,$\sqrt{3}$),
∴ 菱形向右平移了4个单位长度,
∴ B,C的对应点B'(3,0),C'(5,$2\sqrt{3}$).设直线B'C'的解析式为y=mx+n,则$\begin{cases}0=3m+n,\\2\sqrt{3}=5m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\sqrt{3},\\n=-3\sqrt{3},\end{cases}$
∴ 直线B'C'的解析式为$y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3}$.由$\begin{cases}y=\frac{2\sqrt{3}}{x},\\y=\sqrt{3}x-3\sqrt{3},\end{cases}$ 解得$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或$x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.
∵ x＞0,
∴ $x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$,
∴ $y=\frac{2\sqrt{3}}{x}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{3+\sqrt{17}}{2}}=\frac{\sqrt{51}-3\sqrt{3}}{2}$,
∴ 点F的坐标为$(\frac{3+\sqrt{17}}{2},\frac{\sqrt{51}-3\sqrt{3}}{2})$,
∴ 点F到x轴的距离为$\frac{\sqrt{51}-3\sqrt{3}}{2}$.

4. (2024·广元中考)已知$y=\sqrt{3}x$与$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(2,m)$，点$B$为$y$轴上一点，将$△ OAB$沿$OA$翻折，使点$B$恰好落在$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上点$C$处，则$B$点坐标为。

4. (0,4) 解析:由题意,
∵ 点A(2,m)在$y=\sqrt{3}x$的图象上,
∴ m=$2\sqrt{3}$,
∴ A(2,$2\sqrt{3}$).又A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,
∴ k=2×$2\sqrt{3}$=$4\sqrt{3}$,
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$.连接BC,由翻折的性质,得OA是BC的垂直平分线,设OA与BC交于点M,
∵ 点B在y轴上,点C在$y=\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上,
∴ 设点B(0,b),设点$C(x_C,\frac{4\sqrt{3}}{x_C})$,则中点$M(\frac{x_C}{2},\frac{b+\frac{4\sqrt{3}}{x_C}}{2})$.
∵ 点M在直线$y=\sqrt{3}x$上,代入得$\frac{b+\frac{4\sqrt{3}}{x_C}}{2}=\sqrt{3}·\frac{x_C}{2}$,整理得$b+\frac{4\sqrt{3}}{x_C}=\sqrt{3}x_C$ ①.在Rt△OMB中,$OM^2+BM^2=OB^2$,
∴ $OM=\sqrt{(\frac{x_C}{2})^2+(\frac{b+\frac{4\sqrt{3}}{x_C}}{2})^2}$,
$BM=\sqrt{(0-\frac{x_C}{2})^2+(b-\frac{b+\frac{4\sqrt{3}}{x_C}}{2})^2}$,代入化简得$\frac{x_C^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{24}{x_C^2}=b^2$ ②,联立①②,解得$x_C=2\sqrt{3}$(负值舍去),代入方程①得b=4,
∴ B(0,4).(本题如果用后面的三角函数计算,或者用高中的垂直直线的斜率之积为-1计算,更为简便)

5. (辽宁中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),将线段AO绕点A逆时针旋转$120°$,得到线段AB,连接OB,点B恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,则k的值是.

5. $3\sqrt{3}$ 解析:如图,过点B作$BC⊥ y$轴于点C,由旋转的性质得AO=AB,∠OAB=120°,
∵ 点A的坐标为(0,2),
∴ AO=2,
∴ AB=2.
∵ ∠OAB=120°,
∴ ∠BAC=180°-∠OAB=180°-120°=60°,
∴ ∠ABC=90°-∠BAC=30°,
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$,由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,
∴ OC=AO+AC=2+1=3,
∴ 点B的坐标为$(\sqrt{3},3)$.
∵ 点B恰好落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
∴ $k=3\sqrt{3}$.