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1. (2026·武汉月考)用配方法解一元二次方程$x^2 -8x -2=0$，此方程可化为（
A.$(x-4)^2=18$
B.$(x+4)^2=14$
C.$(x-4)^2=64$
D.$(x+4)^2=1$
A
）A.$(x-4)^2=18$
B.$(x+4)^2=14$
C.$(x-4)^2=64$
D.$(x+4)^2=1$
答案
方程$x^2-8x-2=0$,移项得$x^2-8x=2$,方程两边同时加16得$x^2-8x+16=2+16$,即$(x-4)^2=18$,$\therefore$ 此方程可化为$(x-4)^2=18$.故选A.
2. (2026·运城期中)一元二次方程$x^2+2x-3=0$可配方成$(x+m)^2=n$的形式.则$m+n$的值为 (
A.-5
B.-4
C.5
D.-2
C
)A.-5
B.-4
C.5
D.-2
答案
$\because x^2+2x-3=0$,$\therefore x^2+2x=3$,$\therefore x^2+2x+1=3+1$,$\therefore (x+1)^2=4$.$\because$ 一元二次方程$x^2+2x-3=0$可配方成$(x+m)^2=n$的形式,$\therefore m=1$,$n=4$,$\therefore m+n=5$,故选C.
3. (2026·六盘水期中)老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则:每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示.接力中，自己负责的计算出现错误的是 (
老师 甲 乙 丙 丁
$x^2 - 2x = 3$ $x^2 - 2x + 1 = 3 - 1$ $(x-$
$)=2$ $x - 1 = \sqrt{2}$ $x = \sqrt{2} + 1$
A.只有甲
B.甲和乙
C.甲和丙
D.丙和丁
C
)老师 甲 乙 丙 丁
$x^2 - 2x = 3$ $x^2 - 2x + 1 = 3 - 1$ $(x-$
$)=2$ $x - 1 = \sqrt{2}$ $x = \sqrt{2} + 1$A.只有甲
B.甲和乙
C.甲和丙
D.丙和丁
答案
甲:$x^2-2x=3$应化为$x^2-2x+1=3+1$,甲错误;乙:$x^2-2x+1=3-1$应化为$(x-1)^2=2$,乙正确;丙:$(x-1)^2=2$应化为$x-1=\pm\sqrt{2}$,丙错误;丁:$x-1=\sqrt{2}$应化为$x=\sqrt{2}+1$,丁正确;可知,接力中,自己负责的计算出现错误的是甲和丙.故选C.
4. 教材变式 填空(所填数为正数):
(1)$x^2+12x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$x^2-3x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$x^2+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{9}{16}=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(4)$x^2-\_\_\_\_\_\_+3=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
(1)$x^2+12x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$x^2-3x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$;
(3)$x^2+\_\_\_\_\_\_+\dfrac{9}{16}=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$;
(4)$x^2-\_\_\_\_\_\_+3=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$.
答案
(1)36 6 (2)$\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$ (3)$\frac{3}{2}x$ $\frac{3}{4}$ (4)$2\sqrt{3}x$ $\sqrt{3}$
5. 原创题 将一元二次方程$-x^2 +6x +m=0$化成$(x-n)^2=4$的形式，则$(m+n)^3=$
-8
.答案
$-x^2+6x+m=0$通过配方法可化为$(x-3)^2=9+m$,$\because -x^2+6x+m=0$可化成$(x-n)^2=4$,$\therefore n=3$,$9+m=4$,$\therefore m=-5$,$\therefore (m+n)^3=(-2)^3=-8$.
6. (1)当$x=$
(2)当$y=$
3
时,代数式$2-(x-3)^2$有最大值,最大值为2
;(2)当$y=$
$\frac{3}{2}$
时,代数式$2y^2-6y+1$有最小值,最小值为$-\frac{7}{2}$
.答案
(1)$\because (x-3)^2≥0$,$\therefore -(x-3)^2≤0$,$\therefore 2-(x-3)^2≤2$,当$x=3$时,等号成立,最大值为2.
(2)$2y^2-6y+1=2(y-\frac{3}{2})^2-\frac{7}{2}$,$\therefore$ 当$y=\frac{3}{2}$时,代数式有最小值$-\frac{7}{2}$.
(2)$2y^2-6y+1=2(y-\frac{3}{2})^2-\frac{7}{2}$,$\therefore$ 当$y=\frac{3}{2}$时,代数式有最小值$-\frac{7}{2}$.
7. 教材变式 用配方法解方程：
(1) $3x^2 -6x +1=0$；
(2) $\frac{1}{2}x(3x -8)=\frac{3}{2}$；
(3) $3(x-1)(x+2)=x-7$；
(4) $(1+2y)(1-2y)+4\sqrt{2}y=0$；
(5) $x^2 +px +q=0\ (p^2 -4q≥0)$；
(6) $(x-\frac{1}{3})^2 -2(x-\frac{1}{3})+1=0$。
(1) $3x^2 -6x +1=0$；
(2) $\frac{1}{2}x(3x -8)=\frac{3}{2}$；
(3) $3(x-1)(x+2)=x-7$；
(4) $(1+2y)(1-2y)+4\sqrt{2}y=0$；
(5) $x^2 +px +q=0\ (p^2 -4q≥0)$；
(6) $(x-\frac{1}{3})^2 -2(x-\frac{1}{3})+1=0$。
答案
(1)配方得$3(x-1)^2=2$,解得$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{3}$,$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
(2)整理得$3x^2 -8x = 3$,配方得$3(x-\frac{4}{3})^2=\frac{25}{3}$,解得$x_1=3$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
(3)整理得$3(x^2+x-2)=x-7$,$3x^2+2x+1=0$,配方得$3(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{3}$,故无实数根.
(4)整理得$1-4y^2+4\sqrt{2}y=0$,配方得$4(y-\frac{\sqrt{2}}{2})^2=3$,解得$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$,$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.
(5)配方得$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2-4q}{4}$,$\because p^2 -4q≥0$,$\therefore$ 解得$x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}$,$x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$.
(6)将$x-\frac{1}{3}$整体配方得$(x-\frac{1}{3}-1)^2=0$,解得$x_1=x_2=\frac{4}{3}$.
(2)整理得$3x^2 -8x = 3$,配方得$3(x-\frac{4}{3})^2=\frac{25}{3}$,解得$x_1=3$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
(3)整理得$3(x^2+x-2)=x-7$,$3x^2+2x+1=0$,配方得$3(x+\frac{1}{3})^2=-\frac{2}{3}$,故无实数根.
(4)整理得$1-4y^2+4\sqrt{2}y=0$,配方得$4(y-\frac{\sqrt{2}}{2})^2=3$,解得$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$,$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.
(5)配方得$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2-4q}{4}$,$\because p^2 -4q≥0$,$\therefore$ 解得$x_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}$,$x_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$.
(6)将$x-\frac{1}{3}$整体配方得$(x-\frac{1}{3}-1)^2=0$,解得$x_1=x_2=\frac{4}{3}$.
