1. 在直线$ l $上取A，B，C三点，使线段AB=8 cm，AC=3 cm，则线段BC的长为（）

A.5 cm
B.8 cm
C.5 cm或8 cm
D.5 cm或11 cm

1. D

【分析】
本题考查直线上线段长度的计算，解题关键是明确直线上点的位置具有不确定性，需要分类讨论点C的位置，避免漏解。首先分析点C与线段AB的位置关系，分两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段BA的延长线上，再分别根据线段的和差关系计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时：
此时线段BC的长度为AB与AC的差，即
$BC = AB - AC = 8\mathrm{cm} - 3\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm}$
2. 当点C在线段BA的延长线上（即点C在点A远离点B的一侧）时：
此时线段BC的长度为AB与AC的和，即
$BC = AB + AC = 8\mathrm{cm} + 3\mathrm{cm} = 11\mathrm{cm}$
综上，线段BC的长为5cm或11cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见易错题，易错点是忽略点C的位置有两种可能性，只计算其中一种情况导致错选。解题时要注意结合直线的性质，全面分析点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7

2. 如图，点A，O，B在同一条直线上，$∠ BOC=50°$，OD平分$∠ AOC$，现将OC以每秒$5°$的速度绕点O顺时针旋转一周，OD保持不动. 当$OC ⊥ OD$时，OC的运动时间为（）


A.5 s
B.31 s
C.5 s或41 s
D.5 s或67 s

2. C

【分析】
首先根据平角的定义求出∠AOC的度数，再利用角平分线的性质得到初始状态下∠COD的度数；接下来结合OC的旋转方向和垂直的定义，分两种情况讨论OC与OD垂直的情形，分别计算对应旋转角度，再根据旋转速度求出运动时间，最后结合旋转一周的范围筛选符合要求的解即可。
【解析】
解：
∵点A、O、B在同一条直线上，
∴∠AOB=180°，
∵∠BOC=50°，
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180°-50°=130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
设OC的运动时间为t秒，则OC顺时针旋转的角度为5t度，OC⊥OD时分两种情况：
① 当OC与OD的顺时针夹角为90°时：
$65 + 5t = 90$
解得$t=5$；
② 当OC与OD的顺时针夹角为270°时（此时两射线的较小夹角为90°，满足垂直要求）：
$65 + 5t = 270$
解得$t=41$。
OC旋转一周的总时间为$360°÷5°/s=72s$，5s和41s均小于72s，符合旋转要求。
综上，OC的运动时间为5s或41s。
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的定义
2.平角的性质
3.垂直的定义
【点评】
本题是角度动态计算的典型题型，解题核心是先确定固定角的度数，再根据位置关系分类讨论，注意不要漏解，同时要关注旋转的范围限制，排除超出范围的解。
【难度系数】
0.6

3. 已知$∠ AOB=40°$，其平分线是射线$OD$，自点$O$引射线$OC$，形成2个小于平角的角$∠ AOC$，$∠ COB$。若$∠ AOC:∠ COB=2:3$，则$∠ COD$的度数为________。

4°或100°

【分析】
本题未明确射线OC的位置，需分OC在∠AOB内部、OC在∠AOB外部两种情况讨论：第一步先根据角平分线的定义求出∠AOD的度数；第二步设∠AOC=2x、∠COB=3x，结合两种位置下的角度和差关系列方程求解x；最后根据角度和差计算∠COD的度数即可。
【解析】
解：
∵OD是∠AOB的平分线，∠AOB=40°
∴$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=20°$
设$∠ AOC=2x$，$∠ COB=3x$，分两种情况讨论：
① 当射线OC在$∠ AOB$内部时：
$∠ AOC+∠ COB=∠ AOB$
代入得$2x+3x=40°$
解得$x=8°$
∴$∠ AOC=2×8°=16°$
∴$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=20°-16°=4°$
② 当射线OC在$∠ AOB$外部时：
$∠ COB-∠ AOC=∠ AOB$
代入得$3x-2x=40°$
解得$x=40°$
∴$∠ AOC=2×40°=80°$
∴$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=80°+20°=100°$
综上，$∠ COD$的度数为$4°$或$100°$。
【答案】
$4°$或$100°$
【知识点】
角平分线的定义，角度的和差计算，分类讨论思想
【点评】
解题时容易遗漏射线OC在角外部的情况导致漏解，需注意结合题意分析射线所有可能的位置，分情况计算。
【难度系数】
0.6

4. 如图，$∠ ABC = ∠ DBE = 90°$，BC平分$∠ DBE$，则下列结论不正确的是 （）


A.$∠ ABE$与$∠ EBC$互余
B.$∠ ABE$与$∠ DBC$互余
C.$∠ ABD$与$∠ DBC$互补
D.图中没有互补的两个角

4. D

【分析】
解题时先明确互余、互补的定义：两个角的和为90°则两角互余，两个角的和为180°则两角互补。首先结合已知∠DBE=90°、BC平分∠DBE，先求出∠DBC、∠CBE的度数；再结合∠ABC=90°求出∠ABE、∠ABD的度数；最后逐一验证每个选项的结论是否正确，选出不正确的选项即可。
【解析】
已知∠DBE=90°，BC平分∠DBE，根据角平分线的定义可得：
$∠ DBC = ∠ CBE = \frac{1}{2}∠ DBE = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
又因为$∠ ABC = 90°$，即$∠ ABE + ∠ CBE = 90°$，代入$∠ CBE=45°$得：
$∠ ABE = 90° - 45° = 45°$
$∠ ABD = ∠ ABC + ∠ DBC = 90° + 45° = 135°$
逐一分析选项：
A. $∠ ABE + ∠ EBC = 45° + 45° = 90°$，两角互余，结论正确，不符合题意；
B. $∠ ABE + ∠ DBC = 45° + 45° = 90°$，两角互余，结论正确，不符合题意；
C. $∠ ABD + ∠ DBC = 135° + 45° = 180°$，两角互补，结论正确，不符合题意；
D. 由C选项可知存在互补的两个角，该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是结合角平分线的性质计算出各个小角的度数，再根据互余、互补的定义逐一判断选项即可，注意审题要明确是选不正确的结论。
【难度系数】
0.7

5. 如图，将一副三角尺的直角顶点O叠放在一起，若∠BOC = $\frac{1}{8}$∠AOD，则∠BOD的度数为.

5. 70°

【分析】
首先观察图形可知，两个直角三角尺的直角顶点重合，因此∠AOB和∠COD均为90°。我们可以先推导∠AOD与∠BOC的数量关系：两个直角的和为180°，而∠AOD恰好等于两个直角的和减去重叠的∠BOC，因此可得∠AOD + ∠BOC = 180°。结合题目给出的∠BOC = $\frac{1}{8}$∠AOD的关系，我们可以设未知数列方程求出∠BOC的度数，最后用∠COD的度数减去∠BOC的度数即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ 两个三角尺均为直角三角尺，直角顶点重合于O
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°
∴ ∠AOB + ∠COD = 180°
又
∵ ∠AOD = ∠AOB + ∠COD - ∠BOC
∴ ∠AOD + ∠BOC = 180°
设∠BOC = x，则∠AOD = 8x，代入得：
$x + 8x = 180°$
$9x = 180°$
$x = 20°$，即∠BOC = 20°
∴ ∠BOD = ∠COD - ∠BOC = $90° - 20° = 70°$
【答案】
70°
【知识点】
角的和差计算，直角的性质，方程求角度
【点评】
本题属于三角板叠放的角度计算基础题，解题的关键是找到两个直角叠放后，∠AOD与重叠角∠BOC的和为180°的隐含关系，结合已知条件列方程求解即可，解题时注意结合图形分析角度之间的和差关系。
【难度系数】
0.7

6. 如图，$∠ AOB$ 和 $∠ COD$ 都是直角，且 $∠ AOC$ 与 $∠ BOD$ 的度数之比为 $3:5$，则 $∠ AOD$ 的度数为 。

6. 157.5°

【分析】
首先观察图形，四个以O为顶点的角之和为周角360°，已知∠AOB和∠COD都是90°，可以先算出∠AOC与∠BOD的度数和；再结合二者的度数比3:5，求出∠AOC的度数；最后∠AOD由∠AOC和直角∠COD组成，相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵ ∠AOB和∠COD都是直角
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°
∵ 以O为顶点的四个角之和为周角，即360°
∴ ∠AOC + ∠BOD = 360° - ∠AOB - ∠COD = 360° - 90° - 90° = 180°
∵ ∠AOC:∠BOD = 3:5，设∠AOC = 3x，∠BOD = 5x
∴ 3x + 5x = 180°
解得 x = 22.5°
∴ ∠AOC = 3×22.5° = 67.5°
∴ ∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 67.5° + 90° = 157.5°
【答案】
157.5°
【知识点】
周角的性质，直角的特征，按比分配计算
【点评】
本题是基础角度计算类题目，解题的关键是利用周角的性质求出两个未知角的度数和，再结合比例关系求出对应角的度数，需要熟练掌握特殊角的度数特征。
【难度系数】
0.7

7. 小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题.
【规律探索】
(1) 锐角∠α 的补角与∠α 的余角之差为；(填度数)
(2) 如果锐角∠α 的补角为∠β，那么$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$是∠α 的余角. 请说明理由.
【问题思考】
(3)一个锐角的补角是它的余角的4倍，求这个锐角的度数.

7. 解：(1)90°
(2)因为锐角∠α 的补角为∠β，
所以∠α + ∠β = 180°.
所以$\frac{1}{2}(∠β - ∠α) + ∠α = \frac{1}{2}∠β - \frac{1}{2}∠α + ∠α$
$= \frac{1}{2}∠β + \frac{1}{2}∠α = \frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2}×180°$
$=90°.$
所以$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$是∠α 的余角.
(3)这个锐角的度数为 60°.

【分析】
解题时首先明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则两角互余，两个角的和为180°则两角互补。
(1) 先分别写出∠α的补角、余角的表达式，再作差计算即可得到结果；
(2) 要证明$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$是∠α的余角，只需证明二者相加等于90°，结合∠β是∠α的补角可得$∠α+∠β=180°$，代入式子化简验证即可；
(3) 设这个锐角的度数为未知数，分别用含未知数的式子表示出它的补角和余角，根据“补角是余角的4倍”列方程求解即可。
【解析】
(1) 锐角∠α的补角为$180°-∠α$，余角为$90°-∠α$，
二者之差为：$(180°-∠α)-(90°-∠α)=180°-∠α-90°+∠α=90°$。
(2) 因为锐角∠α的补角为∠β，所以$∠α + ∠β = 180°$，
则$\frac{1}{2}(∠β - ∠α) + ∠α = \frac{1}{2}∠β - \frac{1}{2}∠α + ∠α$
$= \frac{1}{2}∠β + \frac{1}{2}∠α = \frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
所以$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$是∠α的余角。
(3) 设这个锐角的度数为$x$，则它的补角为$180°-x$，余角为$90°-x$，
根据题意列方程：$180°-x=4(90°-x)$，
去括号得：$180°-x=360°-4x$，
移项合并同类项得：$3x=180°$，
解得$x=60°$。
【答案】
(1)$90°$；(2)理由见上述解析；(3)$60°$
【知识点】
1. 余角和补角的定义
2. 角度的运算
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题围绕余角、补角的核心概念设计，既考察基础的角度运算，也结合方程思想解决角度的倍数关系问题，是几何入门阶段的典型基础题，解题的关键是熟练掌握余角、补角的数量关系，准确建立等量关系。
【难度系数】
0.8