登录
用简便方法计算：
(1)$(-8)×12×(-0.125)×(-\dfrac{5}{6});$
(2)$(-1.25)×\dfrac{5}{7}×(-4)×(-\dfrac{7}{5}).$
(1)$(-8)×12×(-0.125)×(-\dfrac{5}{6});$
(2)$(-1.25)×\dfrac{5}{7}×(-4)×(-\dfrac{7}{5}).$
答案
(1) -10
(2) -5
(2) -5
解析
【分析】
这两道题都是有理数的乘法计算，可利用乘法交换律和结合律简化计算：首先观察算式中的因数，把能凑整、可约分的因数配对结合，计算前先根据负因数的个数判断积的符号（负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正），再计算绝对值的乘积，避免多次变号出错。
第(1)题中，-8和-0.125相乘可以凑整得1，12和$-\frac{5}{6}$相乘可以直接约分，因此把这两组分别结合计算；
第(2)题中，-1.25和-4相乘凑整得5，$\frac{5}{7}$和$-\frac{7}{5}$相乘约分后得-1，因此把这两组分别结合计算。
【解析】
(1) 利用乘法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=[(-8)×(-0.125)]×[12×(-\frac{5}{6})]\\&=1×(-10)\\&=-10\end{aligned}$
(2) 利用乘法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=[(-1.25)×(-4)]×[\frac{5}{7}×(-\frac{7}{5})]\\&=5×(-1)\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
有理数乘法运算律；有理数乘法法则；分数约分
【点评】
此类简便计算的核心是灵活运用乘法运算律，将能凑整、可约分的项优先结合运算，计算前先确定积的符号，能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
这两道题都是有理数的乘法计算，可利用乘法交换律和结合律简化计算：首先观察算式中的因数，把能凑整、可约分的因数配对结合，计算前先根据负因数的个数判断积的符号（负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正），再计算绝对值的乘积，避免多次变号出错。
第(1)题中，-8和-0.125相乘可以凑整得1，12和$-\frac{5}{6}$相乘可以直接约分，因此把这两组分别结合计算；
第(2)题中，-1.25和-4相乘凑整得5，$\frac{5}{7}$和$-\frac{7}{5}$相乘约分后得-1，因此把这两组分别结合计算。
【解析】
(1) 利用乘法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=[(-8)×(-0.125)]×[12×(-\frac{5}{6})]\\&=1×(-10)\\&=-10\end{aligned}$
(2) 利用乘法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=[(-1.25)×(-4)]×[\frac{5}{7}×(-\frac{7}{5})]\\&=5×(-1)\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-5}$
【知识点】
有理数乘法运算律；有理数乘法法则；分数约分
【点评】
此类简便计算的核心是灵活运用乘法运算律，将能凑整、可约分的项优先结合运算，计算前先确定积的符号，能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
探究1：完成下列推导过程.
因为$(+2)×(+3)=$，
所以$6÷(+2)=$.
又因为$6×\frac{1}{2}=$，
所以$6÷(+2)\_\_\_\_\_\_6×\frac{1}{2}$.
因为$(+2)×(+3)=$，
所以$6÷(+2)=$.
又因为$6×\frac{1}{2}=$，
所以$6÷(+2)\_\_\_\_\_\_6×\frac{1}{2}$.
答案
1. 6 2. 3 3. 3 4. =
解析
【分析】
这道题是推导有理数除法和乘法的转化关系，解题时可按顺序逐步计算：第一步先根据有理数乘法法则计算正数乘正数的结果；第二步利用除法是乘法的逆运算，求出除法算式的结果；第三步计算正数乘分数的结果；最后对比两个算式的结果即可得到二者的关系。
【解析】
1. 根据有理数乘法法则：同号两数相乘，取正号，并把绝对值相乘，可得$(+2)×(+3)=+(2×3)=6$；
2. 除法是乘法的逆运算，已知两个因数的积是6，其中一个因数是+2，求另一个因数，因此$6÷(+2)=3$；
3. 根据整数乘分数的计算方法，$6×\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$；
4. 因为$6÷(+2)$和$6×\frac{1}{2}$的结果都是3，所以$6÷(+2)=6×\frac{1}{2}$。
【答案】
6；3；3；=
【知识点】
有理数乘法运算；有理数除法运算；乘除转化规律
【点评】
本题是有理数除法法则的推导类基础题，通过对比正有理数的除法和对应的乘法运算结果，直观展现了除法和乘法的转化关系，有助于理解有理数除法的算理，重点考察基础乘除运算能力和对逆运算的认知。
【难度系数】
0.9
这道题是推导有理数除法和乘法的转化关系，解题时可按顺序逐步计算：第一步先根据有理数乘法法则计算正数乘正数的结果；第二步利用除法是乘法的逆运算，求出除法算式的结果；第三步计算正数乘分数的结果；最后对比两个算式的结果即可得到二者的关系。
【解析】
1. 根据有理数乘法法则：同号两数相乘，取正号，并把绝对值相乘，可得$(+2)×(+3)=+(2×3)=6$；
2. 除法是乘法的逆运算，已知两个因数的积是6，其中一个因数是+2，求另一个因数，因此$6÷(+2)=3$；
3. 根据整数乘分数的计算方法，$6×\frac{1}{2}=\frac{6}{2}=3$；
4. 因为$6÷(+2)$和$6×\frac{1}{2}$的结果都是3，所以$6÷(+2)=6×\frac{1}{2}$。
【答案】
6；3；3；=
【知识点】
有理数乘法运算；有理数除法运算；乘除转化规律
【点评】
本题是有理数除法法则的推导类基础题，通过对比正有理数的除法和对应的乘法运算结果，直观展现了除法和乘法的转化关系，有助于理解有理数除法的算理，重点考察基础乘除运算能力和对逆运算的认知。
【难度系数】
0.9
探究2：类比探究1，完成填空.
因为$(-2)×4=$
所以$(-8)÷(-2)=$
又因为$(-8)×(-\dfrac{1}{2})=$
所以
探究3：请类比以上两题，计算$12÷(-6)$.
因为$(-2)×4=$
-8
，所以$(-8)÷(-2)=$
4
.又因为$(-8)×(-\dfrac{1}{2})=$
4
，所以
$(-8)÷(-2)=(-8)×(-\dfrac{1}{2})$
.探究3：请类比以上两题，计算$12÷(-6)$.
答案
1. -8 2. 4 3. 4 4. $(-8)÷(-2)=(-8)×(-\dfrac{1}{2})$ 5. 因为$(-2)×(-6)=12$，所以$12÷(-6)=-2$
解析
【分析】
解题时首先利用有理数乘法的计算法则算出乘法算式的结果，再根据除法是乘法的逆运算，已知两个数的乘积和其中一个因数，求出另一个因数即可得到除法算式的结果；接下来对比除法算式的结果和“除以一个数转化为乘这个数的倒数”的乘法算式结果，就能总结出有理数除法的转化规律，最后用同样的逆运算思路计算探究3的算式即可。
【解析】
探究2：
1. 计算$(-2)×4$：根据异号两数相乘积为负，再把绝对值相乘，可得$(-2)×4=-(2×4)=-8$；
2. 计算$(-8)÷(-2)$：根据除法是乘法的逆运算，已知积为$-8$、其中一个因数为$-2$，因为$(-2)×4=-8$，所以$(-8)÷(-2)=4$；
3. 计算$(-8)×(-\dfrac{1}{2})$：根据同号两数相乘积为正，再把绝对值相乘，可得$(-8)×(-\dfrac{1}{2})=8×\dfrac{1}{2}=4$；
4. 对比两个算式的结果，可得$(-8)÷(-2)=(-8)×(-\dfrac{1}{2})$。
探究3：
计算$12÷(-6)$，根据除法是乘法的逆运算，思考哪个数乘$(-6)$等于12，因为$(-2)×(-6)=12$，所以$12÷(-6)=-2$。
【答案】
探究2依次填：$\boldsymbol{-8}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{(-8)÷(-2)=(-8)×(-\dfrac{1}{2})}$
探究3：$\boldsymbol{12÷(-6)=-2}$（推导过程：因为$(-2)×(-6)=12$，所以$12÷(-6)=-2$）
【知识点】
有理数乘法运算；除法是乘法的逆运算；有理数除法运算
【点评】
本题通过类比推导的方式引导学生自主探索有理数除法的运算规律，渗透了转化的数学思想，帮助学生理解有理数除法与乘法的内在联系，夯实基础运算的逻辑，为后续熟练进行有理数混合运算做铺垫。
【难度系数】
0.85
解题时首先利用有理数乘法的计算法则算出乘法算式的结果，再根据除法是乘法的逆运算，已知两个数的乘积和其中一个因数，求出另一个因数即可得到除法算式的结果；接下来对比除法算式的结果和“除以一个数转化为乘这个数的倒数”的乘法算式结果，就能总结出有理数除法的转化规律，最后用同样的逆运算思路计算探究3的算式即可。
【解析】
探究2：
1. 计算$(-2)×4$：根据异号两数相乘积为负，再把绝对值相乘，可得$(-2)×4=-(2×4)=-8$；
2. 计算$(-8)÷(-2)$：根据除法是乘法的逆运算，已知积为$-8$、其中一个因数为$-2$，因为$(-2)×4=-8$，所以$(-8)÷(-2)=4$；
3. 计算$(-8)×(-\dfrac{1}{2})$：根据同号两数相乘积为正，再把绝对值相乘，可得$(-8)×(-\dfrac{1}{2})=8×\dfrac{1}{2}=4$；
4. 对比两个算式的结果，可得$(-8)÷(-2)=(-8)×(-\dfrac{1}{2})$。
探究3：
计算$12÷(-6)$，根据除法是乘法的逆运算，思考哪个数乘$(-6)$等于12，因为$(-2)×(-6)=12$，所以$12÷(-6)=-2$。
【答案】
探究2依次填：$\boldsymbol{-8}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{4}$；$\boldsymbol{(-8)÷(-2)=(-8)×(-\dfrac{1}{2})}$
探究3：$\boldsymbol{12÷(-6)=-2}$（推导过程：因为$(-2)×(-6)=12$，所以$12÷(-6)=-2$）
【知识点】
有理数乘法运算；除法是乘法的逆运算；有理数除法运算
【点评】
本题通过类比推导的方式引导学生自主探索有理数除法的运算规律，渗透了转化的数学思想，帮助学生理解有理数除法与乘法的内在联系，夯实基础运算的逻辑，为后续熟练进行有理数混合运算做铺垫。
【难度系数】
0.85
新知生成：（1）一般地，对于有理数的除法，有如下法则：除以一个的数，等于乘这个数的。
符号表示：$a÷b=$$(b≠0)$。
（2）从有理数除法法则，容易得出：
两数相除，同号得，异号得，
且商的绝对值等于。
0除以任何一个不等于0的数，都得。
符号表示：$a÷b=$$(b≠0)$。
（2）从有理数除法法则，容易得出：
两数相除，同号得，异号得，
且商的绝对值等于。
0除以任何一个不等于0的数，都得。
答案
1. 不等于0 2. 倒数 3. $a · \dfrac{1}{b}$ 4. 正 5. 负 6. 被除数的绝对值除以除数的绝对值的商 7. 0
解析
【分析】
本题考查有理数除法法则的基础识记，解题时只需回忆课本中有理数除法的相关概念逐一对应填空即可。首先思考除法转化为乘法的前提：除数不能为0，转化规则是除以一个数等于乘它的倒数，由此可完成第一部分的填空；再回忆两数相除的符号规律、绝对值计算规则，以及0作为被除数的运算结论，即可完成第二部分的填空。
【解析】
（1）根据有理数除法的转化规则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；用符号表示为$a÷b=a·\dfrac{1}{b}$，其中需满足除数$b≠0$。
（2）根据有理数除法的符号与运算规则：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；0除以任何一个不等于0的数，都得0。
【答案】
1. 不等于0 2. 倒数 3. $a · \dfrac{1}{b}$ 4. 正 5. 负 6. 被除数的绝对值除以除数的绝对值的商 7. 0
【知识点】
有理数除法法则、倒数的概念、有理数符号运算规律
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查有理数除法的核心规则，是后续进行有理数混合运算的重要基础，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数除法法则的基础识记，解题时只需回忆课本中有理数除法的相关概念逐一对应填空即可。首先思考除法转化为乘法的前提：除数不能为0，转化规则是除以一个数等于乘它的倒数，由此可完成第一部分的填空；再回忆两数相除的符号规律、绝对值计算规则，以及0作为被除数的运算结论，即可完成第二部分的填空。
【解析】
（1）根据有理数除法的转化规则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；用符号表示为$a÷b=a·\dfrac{1}{b}$，其中需满足除数$b≠0$。
（2）根据有理数除法的符号与运算规则：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商；0除以任何一个不等于0的数，都得0。
【答案】
1. 不等于0 2. 倒数 3. $a · \dfrac{1}{b}$ 4. 正 5. 负 6. 被除数的绝对值除以除数的绝对值的商 7. 0
【知识点】
有理数除法法则、倒数的概念、有理数符号运算规律
【点评】
本题属于基础概念识记题，直接考查有理数除法的核心规则，是后续进行有理数混合运算的重要基础，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
1. 若两个数的商为正数，则这两个数（）
A.都为正数
B.都为负数
C.同号
D.异号
A.都为正数
B.都为负数
C.同号
D.异号
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆有理数除法的符号判定法则：两数相除，同号得正，异号得负。题目已知两个数的商为正数，首先可以排除异号的情况；再看选项A、B都只描述了同号的其中一种情况，不够全面，只有C选项涵盖了所有符合商为正数的情况，由此可确定正确答案。
【解析】
根据有理数除法的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负。
已知两个数的商为正数，说明这两个数符号相同，即同号：
选项A：都为正数只是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
选项B：都为负数也是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
选项C：同号符合“同号得正”的法则，表述全面，正确；
选项D：异号两数相除商为负数，不符合题意，错误。
【答案】
C
【知识点】
有理数除法法则；有理数符号判断
【点评】
本题考查有理数除法符号法则的基础应用，做题时要注意考虑全面，不要只局限于同号的某一种情况而漏选正确选项。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆有理数除法的符号判定法则：两数相除，同号得正，异号得负。题目已知两个数的商为正数，首先可以排除异号的情况；再看选项A、B都只描述了同号的其中一种情况，不够全面，只有C选项涵盖了所有符合商为正数的情况，由此可确定正确答案。
【解析】
根据有理数除法的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负。
已知两个数的商为正数，说明这两个数符号相同，即同号：
选项A：都为正数只是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
选项B：都为负数也是同号的其中一种情况，表述不全面，错误；
选项C：同号符合“同号得正”的法则，表述全面，正确；
选项D：异号两数相除商为负数，不符合题意，错误。
【答案】
C
【知识点】
有理数除法法则；有理数符号判断
【点评】
本题考查有理数除法符号法则的基础应用，做题时要注意考虑全面，不要只局限于同号的某一种情况而漏选正确选项。
【难度系数】
0.9
2.若$x$，$y$互为相反数，且$xy≠0$，则$\frac{x}{y}=$，$2y+2x=$。
答案
解：
∵x，y互为相反数，
∴x + y = 0，即x = -y。
又∵xy ≠ 0，
∴x≠0，y≠0。
∴$\frac{x}{y}=\frac{-y}{y}=-1$，
$2y+2x=2(x+y)=2×0=0$。
答案依次为：$\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{0}$
∵x，y互为相反数，
∴x + y = 0，即x = -y。
又∵xy ≠ 0，
∴x≠0，y≠0。
∴$\frac{x}{y}=\frac{-y}{y}=-1$，
$2y+2x=2(x+y)=2×0=0$。
答案依次为：$\boldsymbol{-1}$；$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数和为0，可得x=-y的等量关系；再结合题目给出的xy≠0的条件，可判断x、y均不为0，保证分式$\frac{x}{y}$的分母有意义。最后将x=-y分别代入两个待求式子化简计算，即可得到结果。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数，
∴x + y = 0，即x = -y，
又
∵xy ≠ 0，
∴x≠0，y≠0，$\frac{x}{y}$的分母不为0，分式有意义，
∴$\frac{x}{y}=\frac{-y}{y}=-1$，
$2y+2x=2(x+y)=2×0=0$。
【答案】
-1；0
【知识点】
相反数的性质、有理数的除法、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查相反数性质的灵活应用，解题时需注意分母不为0的隐含条件，熟练掌握“互为相反数的两个非零数的商为-1、和为0”的结论可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数和为0，可得x=-y的等量关系；再结合题目给出的xy≠0的条件，可判断x、y均不为0，保证分式$\frac{x}{y}$的分母有意义。最后将x=-y分别代入两个待求式子化简计算，即可得到结果。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数，
∴x + y = 0，即x = -y，
又
∵xy ≠ 0，
∴x≠0，y≠0，$\frac{x}{y}$的分母不为0，分式有意义，
∴$\frac{x}{y}=\frac{-y}{y}=-1$，
$2y+2x=2(x+y)=2×0=0$。
【答案】
-1；0
【知识点】
相反数的性质、有理数的除法、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查相反数性质的灵活应用，解题时需注意分母不为0的隐含条件，熟练掌握“互为相反数的两个非零数的商为-1、和为0”的结论可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 当 $ m ＜ 0 $ 时，$\frac{|m|}{m} = $ 。
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件$m＜0$入手，首先回忆绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，先将分子的绝对值符号去掉，再根据有理数的除法法则计算即可。第一步先判断$m$的正负性，第二步化简$|m|$，第三步代入式子计算结果。
【解析】
解：$\because m ＜ 0$，即$m$是负数
$\therefore$根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|m|=-m$
将$|m|=-m$代入原式得：
$\frac{|m|}{m}=\frac{-m}{m}=-1$（$m≠0$，可直接约分）
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数的除法运算
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是根据参数的正负性正确化简绝对值，再结合除法运算规则计算，只要熟练掌握绝对值的相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件$m＜0$入手，首先回忆绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，先将分子的绝对值符号去掉，再根据有理数的除法法则计算即可。第一步先判断$m$的正负性，第二步化简$|m|$，第三步代入式子计算结果。
【解析】
解：$\because m ＜ 0$，即$m$是负数
$\therefore$根据负数的绝对值是它的相反数，可得$|m|=-m$
将$|m|=-m$代入原式得：
$\frac{|m|}{m}=\frac{-m}{m}=-1$（$m≠0$，可直接约分）
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数的除法运算
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是根据参数的正负性正确化简绝对值，再结合除法运算规则计算，只要熟练掌握绝对值的相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
例1 计算：
(1)$(-27)÷9$；
(2)$(-4)÷(-\dfrac{1}{4})$。
(1)$(-27)÷9$；
(2)$(-4)÷(-\dfrac{1}{4})$。
答案
解：
(1) $(-27)÷9$
$=-(27÷9)$
$=-3$
(2) $(-4)÷(-\dfrac{1}{4})$
$=(-4)×(-4)$
$=16$
(1) $(-27)÷9$
$=-(27÷9)$
$=-3$
(2) $(-4)÷(-\dfrac{1}{4})$
$=(-4)×(-4)$
$=16$
解析
【分析】
做有理数除法运算时，遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：首先回忆有理数除法法则，两数相除，同号得正、异号得负，再把绝对值相除；如果除数是分数，可先根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，把除法转化为乘法再计算。
第(1)题是异号两数相除，先确定商的符号为负，再计算27与9的商，加上负号即可；第(2)题是同号两数相除，商的符号为正，先把除法转化为乘除数的倒数，再计算绝对值的乘积即可。
【解析】
(1) $(-27)÷9$
$=-(27÷9)$
$=-3$
(2) $(-4)÷(-\dfrac{1}{4})$
$=(-4)×(-4)$
$=16$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
有理数除法法则，倒数的定义
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，核心考察除法运算的符号判定规则，以及除法转乘法的变换规则，计算时养成先定符号再算数值的习惯，能有效避免符号出错。
【难度系数】
0.9
做有理数除法运算时，遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：首先回忆有理数除法法则，两数相除，同号得正、异号得负，再把绝对值相除；如果除数是分数，可先根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，把除法转化为乘法再计算。
第(1)题是异号两数相除，先确定商的符号为负，再计算27与9的商，加上负号即可；第(2)题是同号两数相除，商的符号为正，先把除法转化为乘除数的倒数，再计算绝对值的乘积即可。
【解析】
(1) $(-27)÷9$
$=-(27÷9)$
$=-3$
(2) $(-4)÷(-\dfrac{1}{4})$
$=(-4)×(-4)$
$=16$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{16}$
【知识点】
有理数除法法则，倒数的定义
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，核心考察除法运算的符号判定规则，以及除法转乘法的变换规则，计算时养成先定符号再算数值的习惯，能有效避免符号出错。
【难度系数】
0.9
