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结构梳理
填空:①;②;③。
填空:①;②;③。
答案
解：① $ba$；② $a(bc)$；③ $ab+ac$。
解析
【分析】
本题考查有理数乘法运算律的基础识记，解题时只需回忆三个运算律的定义内容，对应填写表达式即可：
1. 乘法交换律核心是交换两个因数的位置，积不变，据此推导①的结果；
2. 乘法结合律核心是调整相乘的运算顺序，积不变，据此推导②的结果；
3. 乘法分配律核心是一个数乘和的形式可转化为分别相乘再相加，据此推导③的结果。
【解析】
1. 乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，乘积不变，因此$ab=ba$，①处填$ba$；
2. 乘法结合律：三个有理数相乘，先计算前两个因数的乘积，或先计算后两个因数的乘积，最终的积不变，因此$(ab)c=a(bc)$，②处填$a(bc)$；
3. 乘法对加法的分配律：一个有理数乘两个数的和，等于这个数分别与两个加数相乘，再把得到的两个积相加，因此$a(b+c)=ab+ac$，③处填$ab+ac$。
【答案】
①$ba$；②$a(bc)$；③$ab+ac$
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查有理数乘法运算律的表达式记忆，准确掌握这些运算律是后续进行有理数乘法简便运算的基础，需要熟练牢记。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数乘法运算律的基础识记，解题时只需回忆三个运算律的定义内容，对应填写表达式即可：
1. 乘法交换律核心是交换两个因数的位置，积不变，据此推导①的结果；
2. 乘法结合律核心是调整相乘的运算顺序，积不变，据此推导②的结果；
3. 乘法分配律核心是一个数乘和的形式可转化为分别相乘再相加，据此推导③的结果。
【解析】
1. 乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，乘积不变，因此$ab=ba$，①处填$ba$；
2. 乘法结合律：三个有理数相乘，先计算前两个因数的乘积，或先计算后两个因数的乘积，最终的积不变，因此$(ab)c=a(bc)$，②处填$a(bc)$；
3. 乘法对加法的分配律：一个有理数乘两个数的和，等于这个数分别与两个加数相乘，再把得到的两个积相加，因此$a(b+c)=ab+ac$，③处填$ab+ac$。
【答案】
①$ba$；②$a(bc)$；③$ab+ac$
【知识点】
乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查有理数乘法运算律的表达式记忆，准确掌握这些运算律是后续进行有理数乘法简便运算的基础，需要熟练牢记。
【难度系数】
0.9
1. 下列式子中,积的符号为负的是 $(\quad)$
A.$(-\dfrac{1}{3})×(+\dfrac{1}{4})×(-6)$
B.$(-9)×(+\dfrac{1}{8})×(-\dfrac{4}{7})×(+7)×(-\dfrac{1}{3})$
C.$(-3)×(-\dfrac{1}{2})×(+7)×0$
D.$(-\dfrac{1}{5})×(+6)×(-\dfrac{2}{3})×(-5)×(-\dfrac{1}{2})$
A.$(-\dfrac{1}{3})×(+\dfrac{1}{4})×(-6)$
B.$(-9)×(+\dfrac{1}{8})×(-\dfrac{4}{7})×(+7)×(-\dfrac{1}{3})$
C.$(-3)×(-\dfrac{1}{2})×(+7)×0$
D.$(-\dfrac{1}{5})×(+6)×(-\dfrac{2}{3})×(-5)×(-\dfrac{1}{2})$
答案
B
解析
【分析】
要判断多个有理数相乘的积的符号，首先回忆相关判定规则：首先看算式中是否有因数0，若有0则乘积为0，不可能为负数；若没有0，则统计负因数的个数，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正。接下来我们按照这个思路逐个分析选项即可。
【解析】
多个有理数相乘的符号判定规则：
1. 若算式含因数0，乘积为0；
2. 若算式不含因数0，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正。
逐个分析选项：
A. 无因数0，负因数共2个（偶数），积为正，不符合要求；
B. 无因数0，负因数共3个（奇数），积为负，符合要求；
C. 含因数0，乘积为0，不符合要求；
D. 无因数0，负因数共4个（偶数），积为正，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 多个有理数乘法符号法则
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题主要考查多个有理数相乘时积的符号判定，解题关键是准确统计负因数个数，同时注意因数为0的特殊情况，属于基础类考题，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断多个有理数相乘的积的符号，首先回忆相关判定规则：首先看算式中是否有因数0，若有0则乘积为0，不可能为负数；若没有0，则统计负因数的个数，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正。接下来我们按照这个思路逐个分析选项即可。
【解析】
多个有理数相乘的符号判定规则：
1. 若算式含因数0，乘积为0；
2. 若算式不含因数0，负因数个数为奇数时积为负，负因数个数为偶数时积为正。
逐个分析选项：
A. 无因数0，负因数共2个（偶数），积为正，不符合要求；
B. 无因数0，负因数共3个（奇数），积为负，符合要求；
C. 含因数0，乘积为0，不符合要求；
D. 无因数0，负因数共4个（偶数），积为正，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 多个有理数乘法符号法则
2. 有理数乘法运算
【点评】
本题主要考查多个有理数相乘时积的符号判定，解题关键是准确统计负因数个数，同时注意因数为0的特殊情况，属于基础类考题，熟练掌握相关法则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 下列式子中,与$\frac{1}{4} × (-2 + \frac{1}{12})$计算结果相同的是（）
A.$\frac{1}{4} × (-2) + \frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{4} × (-2) + \frac{1}{4} × \frac{1}{12}$
C.$-2 + \frac{1}{4} × \frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{4} + (-2) + \frac{1}{12}$
A.$\frac{1}{4} × (-2) + \frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{4} × (-2) + \frac{1}{4} × \frac{1}{12}$
C.$-2 + \frac{1}{4} × \frac{1}{12}$
D.$\frac{1}{4} + (-2) + \frac{1}{12}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查有理数乘法分配律的应用，解题思路如下：首先回忆乘法分配律的内容：一个数乘两个数的和，等于把这个数分别与两个加数相乘，再把所得的积相加，公式为$a×(b+c)=a× b+a× c$。观察题干中的式子，是$\frac{1}{4}$乘$-2$与$\frac{1}{12}$的和，符合乘法分配律的应用形式，我们只需要按照分配律展开式子，再和选项对比即可找到正确答案。
【解析】
根据乘法分配律$a×(b+c)=a× b+a× c$，将原式$\frac{1}{4} × (-2 + \frac{1}{12})$展开：
把$a=\frac{1}{4}$，$b=-2$，$c=\frac{1}{12}$代入公式，可得：
$\frac{1}{4} × (-2 + \frac{1}{12})=\frac{1}{4} × (-2) + \frac{1}{4} × \frac{1}{12}$
对比选项，只有B选项和展开后的式子一致，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的关键是牢记乘法分配律的运算规则，注意用括号外的因数乘括号内的每一项，避免出现漏乘其中一项的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数乘法分配律的应用，解题思路如下：首先回忆乘法分配律的内容：一个数乘两个数的和，等于把这个数分别与两个加数相乘，再把所得的积相加，公式为$a×(b+c)=a× b+a× c$。观察题干中的式子，是$\frac{1}{4}$乘$-2$与$\frac{1}{12}$的和，符合乘法分配律的应用形式，我们只需要按照分配律展开式子，再和选项对比即可找到正确答案。
【解析】
根据乘法分配律$a×(b+c)=a× b+a× c$，将原式$\frac{1}{4} × (-2 + \frac{1}{12})$展开：
把$a=\frac{1}{4}$，$b=-2$，$c=\frac{1}{12}$代入公式，可得：
$\frac{1}{4} × (-2 + \frac{1}{12})=\frac{1}{4} × (-2) + \frac{1}{4} × \frac{1}{12}$
对比选项，只有B选项和展开后的式子一致，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
乘法分配律；有理数乘法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的关键是牢记乘法分配律的运算规则，注意用括号外的因数乘括号内的每一项，避免出现漏乘其中一项的错误。
【难度系数】
0.9
3. 在简便运算时,把$24×(-99\dfrac{47}{48})$变形成最合适的形式是（）
A.$24×(-100+\dfrac{1}{48})$
B.$24×(-100-\dfrac{1}{48})$
C.$24×(-99-\dfrac{47}{48})$
D.$24×(-99+\dfrac{47}{48})$
A.$24×(-100+\dfrac{1}{48})$
B.$24×(-100-\dfrac{1}{48})$
C.$24×(-99-\dfrac{47}{48})$
D.$24×(-99+\dfrac{47}{48})$
答案
A
解析
【分析】
本题考查有理数乘法的简便变形思路，解题核心是利用乘法分配律简化计算，需将带分数拆分成两个数的和/差，确保拆分后的两个数分别和24相乘时能得到易算的整数。首先观察$-99\dfrac{47}{48}$，它最接近整数$-100$，我们可以对比原数和$-100$的差值：$-99\dfrac{47}{48} - (-100) = \dfrac{1}{48}$，因此原数可改写为$-100+\dfrac{1}{48}$，该形式下两项乘24都能快速算出结果，是最合适的变形。
【解析】
要做简便运算，需将带分数拆分为便于和24相乘的形式：
1. 先改写带分数：$99\dfrac{47}{48} = 100 - \dfrac{1}{48}$
2. 添上负号并去括号：$-99\dfrac{47}{48} = -(100 - \dfrac{1}{48}) = -100 + \dfrac{1}{48}$
3. 代入原式得：$24×(-99\dfrac{47}{48}) = 24×(-100 + \dfrac{1}{48})$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法分配律；带分数拆分；有理数简便运算
【点评】
本题重点考查有理数乘法的简便运算技巧，解题的易错点是拆分带分数时符号处理错误，熟练掌握接近整数的带分数拆分方法，能有效提高有理数运算的效率和正确率。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘法的简便变形思路，解题核心是利用乘法分配律简化计算，需将带分数拆分成两个数的和/差，确保拆分后的两个数分别和24相乘时能得到易算的整数。首先观察$-99\dfrac{47}{48}$，它最接近整数$-100$，我们可以对比原数和$-100$的差值：$-99\dfrac{47}{48} - (-100) = \dfrac{1}{48}$，因此原数可改写为$-100+\dfrac{1}{48}$，该形式下两项乘24都能快速算出结果，是最合适的变形。
【解析】
要做简便运算，需将带分数拆分为便于和24相乘的形式：
1. 先改写带分数：$99\dfrac{47}{48} = 100 - \dfrac{1}{48}$
2. 添上负号并去括号：$-99\dfrac{47}{48} = -(100 - \dfrac{1}{48}) = -100 + \dfrac{1}{48}$
3. 代入原式得：$24×(-99\dfrac{47}{48}) = 24×(-100 + \dfrac{1}{48})$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
乘法分配律；带分数拆分；有理数简便运算
【点评】
本题重点考查有理数乘法的简便运算技巧，解题的易错点是拆分带分数时符号处理错误，熟练掌握接近整数的带分数拆分方法，能有效提高有理数运算的效率和正确率。
【难度系数】
0.8
4. 写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
$(-0.4)×(-0.8)×(-1.25)×2.5$
$=-(0.4×0.8×1.25×2.5)$(第一步)
$=-(0.4×2.5×0.8×1.25)$(第二步)
$=-[(0.4×2.5)×(0.8×1.25)]$(第三步)
$=-(1×1)=-1$。
第一步：；
第二步：；
第三步：。
$(-0.4)×(-0.8)×(-1.25)×2.5$
$=-(0.4×0.8×1.25×2.5)$(第一步)
$=-(0.4×2.5×0.8×1.25)$(第二步)
$=-[(0.4×2.5)×(0.8×1.25)]$(第三步)
$=-(1×1)=-1$。
第一步：；
第二步：；
第三步：。
答案
解：
第一步：几个不等于0的有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负，并把各数的绝对值相乘；
第二步：乘法交换律；
第三步：乘法结合律。
第一步：几个不等于0的有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负，并把各数的绝对值相乘；
第二步：乘法交换律；
第三步：乘法结合律。
解析
【分析】
我们需要逐一对比每一步式子的变化特征，结合有理数乘法相关规则、运算律的定义判断依据：首先看第一步，原式先提取负号，括号内变为各因数的绝对值相乘，对应有理数乘法的符号确定法则；第二步括号内因数的位置发生了交换，符合乘法交换律的特征；第三步将两两相乘能凑整的因数用括号组合优先计算，符合乘法结合律的特征。
【解析】
逐步骤分析对应依据：
1. 第一步：式子中共有3个负因数，个数为奇数，根据有理数乘法法则，几个不为0的数相乘，负因数个数为奇数时积为负，再把各因数的绝对值相乘，因此得到$-(0.4×0.8×1.25×2.5)$；
2. 第二步：括号内交换了0.8和2.5两个因数的位置，积不变，符合乘法交换律的定义；
3. 第三步：将$0.4$与$2.5$、$0.8$与$1.25$分别加括号优先计算，积不变，符合乘法结合律的定义。
【答案】
第一步：几个不等于0的有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负，并把各数的绝对值相乘；
第二步：乘法交换律；
第三步：乘法结合律。
【知识点】
有理数乘法法则、乘法交换律、乘法结合律
【点评】
本题重点考查有理数乘法相关的法则和运算律，熟练掌握各规则的特征是解题的关键，合理运用乘法交换律和结合律还能简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
我们需要逐一对比每一步式子的变化特征，结合有理数乘法相关规则、运算律的定义判断依据：首先看第一步，原式先提取负号，括号内变为各因数的绝对值相乘，对应有理数乘法的符号确定法则；第二步括号内因数的位置发生了交换，符合乘法交换律的特征；第三步将两两相乘能凑整的因数用括号组合优先计算，符合乘法结合律的特征。
【解析】
逐步骤分析对应依据：
1. 第一步：式子中共有3个负因数，个数为奇数，根据有理数乘法法则，几个不为0的数相乘，负因数个数为奇数时积为负，再把各因数的绝对值相乘，因此得到$-(0.4×0.8×1.25×2.5)$；
2. 第二步：括号内交换了0.8和2.5两个因数的位置，积不变，符合乘法交换律的定义；
3. 第三步：将$0.4$与$2.5$、$0.8$与$1.25$分别加括号优先计算，积不变，符合乘法结合律的定义。
【答案】
第一步：几个不等于0的有理数相乘，当负因数的个数为奇数时，积为负，并把各数的绝对值相乘；
第二步：乘法交换律；
第三步：乘法结合律。
【知识点】
有理数乘法法则、乘法交换律、乘法结合律
【点评】
本题重点考查有理数乘法相关的法则和运算律，熟练掌握各规则的特征是解题的关键，合理运用乘法交换律和结合律还能简化计算，降低出错率。
【难度系数】
0.8
