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平方差公式
(1)语言叙述:两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的;
(2)公式:$(a+b)(a-b)=$.
(1)语言叙述:两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的;
(2)公式:$(a+b)(a-b)=$.
答案
解：
(1) 和；差；平方差
(2) $a^2 - b^2$
(1) 和；差；平方差
(2) $a^2 - b^2$
解析
【分析】
本题考查平方差公式的基础识记内容，解题时只需回忆课本中关于平方差公式的标准表述即可作答。首先回忆平方差公式的文字叙述逻辑，再对应匹配代数形式的公式内容，属于直接考查概念记忆的题型，无需复杂推导。
【解析】
(1) 根据平方差公式的官方语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，因此三个空依次填写和、差、平方差。
(2) 平方差公式的代数表达式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，因此本空填写$a^2 - b^2$。
【答案】
(1) 和；差；平方差
(2) $a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是基础概念类题型，侧重考查对平方差公式核心内容的记忆，是后续运用平方差公式进行简便计算、因式分解等内容的基础，熟练识记课本概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查平方差公式的基础识记内容，解题时只需回忆课本中关于平方差公式的标准表述即可作答。首先回忆平方差公式的文字叙述逻辑，再对应匹配代数形式的公式内容，属于直接考查概念记忆的题型，无需复杂推导。
【解析】
(1) 根据平方差公式的官方语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，因此三个空依次填写和、差、平方差。
(2) 平方差公式的代数表达式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，因此本空填写$a^2 - b^2$。
【答案】
(1) 和；差；平方差
(2) $a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是基础概念类题型，侧重考查对平方差公式核心内容的记忆，是后续运用平方差公式进行简便计算、因式分解等内容的基础，熟练识记课本概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
【例1】如图,图(1)中阴影部分的面积是,图(2)中阴影部分的面积是,由此你得到的等式是$(a+b)(a-b)=$。
答案
解：
图(1)中阴影部分的面积是边长为$a$的正方形面积减去边长为$b$的正方形面积，即$a^2 - b^2$；
图(2)中阴影部分拼接后为长是$a+b$、宽是$a-b$的长方形，其面积是$(a+b)(a-b)$；
由此得到的等式是$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
图(1)中阴影部分的面积是边长为$a$的正方形面积减去边长为$b$的正方形面积，即$a^2 - b^2$；
图(2)中阴影部分拼接后为长是$a+b$、宽是$a-b$的长方形，其面积是$(a+b)(a-b)$；
由此得到的等式是$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
解析
【分析】
求解本题首先要明确阴影部分面积的计算方法：对于图(1)，可采用“总面积减空白面积”的思路，先算出边长为a的大正方形面积，再减去空白处边长为b的小正方形面积，即可得到阴影面积；对于图(2)，可直接把阴影部分看作规则的长方形，先确定它的长和宽，再用长方形面积公式计算；由于两个图的阴影是同一部分图形剪拼得到的，面积相等，因此可推出对应的代数等式。
【解析】
1. 计算图(1)阴影面积：
图(1)中阴影部分是边长为a的正方形挖去边长为b的小正方形后剩余的部分，
根据正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，因此阴影面积 = $a× a - b× b = a^2 - b^2$。
2. 计算图(2)阴影面积：
图(2)中阴影部分拼接后为长方形，可知长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，
根据长方形面积公式：长方形面积=长×宽，因此阴影面积 = $(a+b)(a-b)$。
3. 推导等式：
两个图的阴影部分是同一块图形剪拼得到的，面积相等，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
【答案】
$a^2 - b^2$；$(a+b)(a-b)$；$a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，割补法求面积，图形面积计算
【点评】
本题借助几何图形的剪拼运算验证平方差公式，将代数运算与几何图形直观结合，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们更深刻地理解平方差公式的来源和含义。
【难度系数】
0.8
求解本题首先要明确阴影部分面积的计算方法：对于图(1)，可采用“总面积减空白面积”的思路，先算出边长为a的大正方形面积，再减去空白处边长为b的小正方形面积，即可得到阴影面积；对于图(2)，可直接把阴影部分看作规则的长方形，先确定它的长和宽，再用长方形面积公式计算；由于两个图的阴影是同一部分图形剪拼得到的，面积相等，因此可推出对应的代数等式。
【解析】
1. 计算图(1)阴影面积：
图(1)中阴影部分是边长为a的正方形挖去边长为b的小正方形后剩余的部分，
根据正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，因此阴影面积 = $a× a - b× b = a^2 - b^2$。
2. 计算图(2)阴影面积：
图(2)中阴影部分拼接后为长方形，可知长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，
根据长方形面积公式：长方形面积=长×宽，因此阴影面积 = $(a+b)(a-b)$。
3. 推导等式：
两个图的阴影部分是同一块图形剪拼得到的，面积相等，因此可得$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
【答案】
$a^2 - b^2$；$(a+b)(a-b)$；$a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式，割补法求面积，图形面积计算
【点评】
本题借助几何图形的剪拼运算验证平方差公式，将代数运算与几何图形直观结合，体现了数形结合的数学思想，能帮助我们更深刻地理解平方差公式的来源和含义。
【难度系数】
0.8
【例2】用平方差公式计算：
(1)$(x+3)(x-3)=$；
(2)$69×71=$；
(3)$(-2x-3)(-2x+3)=$.
(1)$(x+3)(x-3)=$；
(2)$69×71=$；
(3)$(-2x-3)(-2x+3)=$.
答案
(1) $\boldsymbol{x^2-9}$；
(2) $\boldsymbol{4899}$；
(3) $\boldsymbol{4x^2-9}$。
(2) $\boldsymbol{4899}$；
(3) $\boldsymbol{4x^2-9}$。
解析
【分析】
解题核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，即可套用公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，解题步骤如下：①先识别每个式子中的相同项（对应公式里的a）和相反项（对应公式里的b）；②将a、b代入平方差公式；③化简计算得到结果。第(2)问是有理数简便运算，观察到69和71都接近70，可转化为(70-1)和(70+1)构造平方差形式简化计算；第(3)问注意相同项为-2x，计算平方时要整体平方，不要遗漏符号。
【解析】
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
(1) 式子中相同项为$x$，相反项为$3$和$-3$，即$a=x$，$b=3$，代入公式得：
$(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$
(2) 将$69$改写为$70-1$，$71$改写为$70+1$，即$a=70$，$b=1$，代入公式得：
$69×71=(70-1)(70+1)=70^2-1^2=4900-1=4899$
(3) 式子中相同项为$-2x$，相反项为$3$和$-3$，即$a=-2x$，$b=3$，代入公式得：
$(-2x-3)(-2x+3)=(-2x)^2-3^2=4x^2-9$
【答案】
(1) $x^2-9$；(2) $4899$；(3) $4x^2-9$
【知识点】
平方差公式；简便计算；整式乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题的关键是准确识别公式中的相同项和相反项，对于特殊的有理数乘法，构造平方差公式的形式可以有效简化计算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.85
解题核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，即可套用公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算，解题步骤如下：①先识别每个式子中的相同项（对应公式里的a）和相反项（对应公式里的b）；②将a、b代入平方差公式；③化简计算得到结果。第(2)问是有理数简便运算，观察到69和71都接近70，可转化为(70-1)和(70+1)构造平方差形式简化计算；第(3)问注意相同项为-2x，计算平方时要整体平方，不要遗漏符号。
【解析】
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。
(1) 式子中相同项为$x$，相反项为$3$和$-3$，即$a=x$，$b=3$，代入公式得：
$(x+3)(x-3)=x^2-3^2=x^2-9$
(2) 将$69$改写为$70-1$，$71$改写为$70+1$，即$a=70$，$b=1$，代入公式得：
$69×71=(70-1)(70+1)=70^2-1^2=4900-1=4899$
(3) 式子中相同项为$-2x$，相反项为$3$和$-3$，即$a=-2x$，$b=3$，代入公式得：
$(-2x-3)(-2x+3)=(-2x)^2-3^2=4x^2-9$
【答案】
(1) $x^2-9$；(2) $4899$；(3) $4x^2-9$
【知识点】
平方差公式；简便计算；整式乘法
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题的关键是准确识别公式中的相同项和相反项，对于特殊的有理数乘法，构造平方差公式的形式可以有效简化计算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.85
【变式】用乘法公式计算：
(1)$124×122 - 123^2$；
(2)$(x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2)$。
(1)$124×122 - 123^2$；
(2)$(x - 2y)(x + 2y)(x^2 + 4y^2)$。
答案
解：
(1) 原式$=(123+1)×(123-1)-123^2$
$=123^2 - 1^2 - 123^2$
$=-1$
(2) 原式$=[x^2-(2y)^2](x^2+4y^2)$
$=(x^2-4y^2)(x^2+4y^2)$
$=(x^2)^2-(4y^2)^2$
$=x^4-16y^4$
(1) 原式$=(123+1)×(123-1)-123^2$
$=123^2 - 1^2 - 123^2$
$=-1$
(2) 原式$=[x^2-(2y)^2](x^2+4y^2)$
$=(x^2-4y^2)(x^2+4y^2)$
$=(x^2)^2-(4y^2)^2$
$=x^4-16y^4$
解析
【分析】
(1) 观察式子中的三个数124、122、123，可发现124=123+1，122=123-1，将前两个数的乘积转化为平方差公式的形式，展开后123²可直接抵消，能避免复杂的大数乘法运算，简化计算流程。
(2) 观察因式的结构，前两个因式$(x-2y)(x+2y)$刚好符合平方差公式的结构特征，先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，得到的结果再与第三个因式$(x^2+4y^2)$组合，可再次凑成平方差公式的形式，逐步化简即可得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=(123+1)×(123-1)-123^2$
$=123^2 - 1^2 - 123^2$
$=-1$
(2) 原式$=[x^2-(2y)^2](x^2+4y^2)$
$=(x^2-4y^2)(x^2+4y^2)$
$=(x^2)^2-(4y^2)^2$
$=x^4-16y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{x^4 - 16y^4}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，通过观察式子结构变形凑出平方差公式的标准形式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可大幅简化计算过程，解题时需注意准确识别公式中对应$a$、$b$的项，避免系数、符号类错误。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子中的三个数124、122、123，可发现124=123+1，122=123-1，将前两个数的乘积转化为平方差公式的形式，展开后123²可直接抵消，能避免复杂的大数乘法运算，简化计算流程。
(2) 观察因式的结构，前两个因式$(x-2y)(x+2y)$刚好符合平方差公式的结构特征，先利用平方差公式计算前两个因式的乘积，得到的结果再与第三个因式$(x^2+4y^2)$组合，可再次凑成平方差公式的形式，逐步化简即可得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=(123+1)×(123-1)-123^2$
$=123^2 - 1^2 - 123^2$
$=-1$
(2) 原式$=[x^2-(2y)^2](x^2+4y^2)$
$=(x^2-4y^2)(x^2+4y^2)$
$=(x^2)^2-(4y^2)^2$
$=x^4-16y^4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{x^4 - 16y^4}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，通过观察式子结构变形凑出平方差公式的标准形式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可大幅简化计算过程，解题时需注意准确识别公式中对应$a$、$b$的项，避免系数、符号类错误。
【难度系数】
0.8
1.若$(x+3)(x-3)=x^2 -k$成立，则k的值为().
A.3
B.6
C.9
D.-9
A.3
B.6
C.9
D.-9
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆平方差公式的结构特征，先将等式左侧的整式乘积利用平方差公式展开，再将展开后的式子和等式右侧的多项式对比，根据等式两边同类项对应相等的原则，即可求出k的值。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，计算等式左侧：
$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 -9$
已知$(x+3)(x-3)=x^2 -k$，因此可得：
$x^2 -9 = x^2 -k$
等式两边同时减去$x^2$，得：$-9 = -k$
解得$k=9$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、代数式恒等变形
【点评】
本题是基础运算题，重点考查对平方差公式的掌握程度，解题时要注意平方差公式中两项的符号特征，避免计算常数项时出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方差公式的结构特征，先将等式左侧的整式乘积利用平方差公式展开，再将展开后的式子和等式右侧的多项式对比，根据等式两边同类项对应相等的原则，即可求出k的值。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，计算等式左侧：
$(x+3)(x-3)=x^2 - 3^2 = x^2 -9$
已知$(x+3)(x-3)=x^2 -k$，因此可得：
$x^2 -9 = x^2 -k$
等式两边同时减去$x^2$，得：$-9 = -k$
解得$k=9$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、代数式恒等变形
【点评】
本题是基础运算题，重点考查对平方差公式的掌握程度，解题时要注意平方差公式中两项的符号特征，避免计算常数项时出现符号错误。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式中, 计算结果为 $81 - x^2$ 的是().
A.$(x+9)(x-9)$
B.$(x+9)(-x-9)$
C.$(-x-9)(-x-9)$
D.$(-x-9)(x-9)$
A.$(x+9)(x-9)$
B.$(x+9)(-x-9)$
C.$(-x-9)(-x-9)$
D.$(-x-9)(x-9)$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项的计算结果为$81-x^2$，可从两个方向思考：一是先将目标式$81-x^2$转化为平方差的形式$9^2-x^2$，再匹配符合平方差结构的因式；二是逐个计算各选项的结果，和目标式对比。核心是掌握平方差公式的结构特征：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方，用该特征判断能大幅提升解题效率。
【解析】
我们利用平方差公式$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$逐个验证选项：
选项A：$(x+9)(x-9)$中相同项为$x$，相反项为$9$和$-9$，计算得$x^2-9^2=x^2-81$，不符合要求；
选项B：$(x+9)(-x-9)=-(x+9)(x+9)=-(x+9)^2=-x^2-18x-81$，不符合要求；
选项C：$(-x-9)(-x-9)=(-x-9)^2=x^2+18x+81$，不符合要求；
选项D：$(-x-9)(x-9)=(-9-x)(-9+x)$，相同项为$-9$，相反项为$-x$和$x$，计算得$(-9)^2-x^2=81-x^2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时既可以直接应用公式快速判断，也可以通过多项式乘多项式的法则展开验证，熟练掌握平方差公式的特征能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项的计算结果为$81-x^2$，可从两个方向思考：一是先将目标式$81-x^2$转化为平方差的形式$9^2-x^2$，再匹配符合平方差结构的因式；二是逐个计算各选项的结果，和目标式对比。核心是掌握平方差公式的结构特征：两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方，用该特征判断能大幅提升解题效率。
【解析】
我们利用平方差公式$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$逐个验证选项：
选项A：$(x+9)(x-9)$中相同项为$x$，相反项为$9$和$-9$，计算得$x^2-9^2=x^2-81$，不符合要求；
选项B：$(x+9)(-x-9)=-(x+9)(x+9)=-(x+9)^2=-x^2-18x-81$，不符合要求；
选项C：$(-x-9)(-x-9)=(-x-9)^2=x^2+18x+81$，不符合要求；
选项D：$(-x-9)(x-9)=(-9-x)(-9+x)$，相同项为$-9$，相反项为$-x$和$x$，计算得$(-9)^2-x^2=81-x^2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时既可以直接应用公式快速判断，也可以通过多项式乘多项式的法则展开验证，熟练掌握平方差公式的特征能有效提升解题速度和准确率。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$(-b-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})=$ .
答案
解：
原式$= (-\frac{1}{2} - b)(-\frac{1}{2} + b)$
$= (-\frac{1}{2})^2 - b^2$
$= \frac{1}{4} - b^2$
原式$= (-\frac{1}{2} - b)(-\frac{1}{2} + b)$
$= (-\frac{1}{2})^2 - b^2$
$= \frac{1}{4} - b^2$
解析
【分析】
解题时先观察待计算式子的结构特征：两个二项式相乘，其中$-\frac{1}{2}$是两个因式共有的相同项，$b$和$-b$是互为相反数的项，完全符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的适用条件。我们可以把相同项$-\frac{1}{2}$看作公式中的$a$，互为相反数的项$b$看作公式中的$b$，直接套用平方差公式即可快速算出结果，无需逐项展开多项式乘法。
【解析】
先调整因式内项的顺序，将相同项放在前，相反项放在后：
原式$= (-\frac{1}{2} - b)(-\frac{1}{2} + b)$
套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=b$得：
$= (-\frac{1}{2})^2 - b^2$
计算乘方后得到最终结果：
$= \frac{1}{4} - b^2$
【答案】
$\frac{1}{4} - b^2$
【知识点】
平方差公式、整式乘法
【点评】
本题是平方差公式应用的基础题，核心考察对平方差公式结构特征的识别能力，解题时只要准确区分相同项和相反项，计算乘方时注意符号规则，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待计算式子的结构特征：两个二项式相乘，其中$-\frac{1}{2}$是两个因式共有的相同项，$b$和$-b$是互为相反数的项，完全符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的适用条件。我们可以把相同项$-\frac{1}{2}$看作公式中的$a$，互为相反数的项$b$看作公式中的$b$，直接套用平方差公式即可快速算出结果，无需逐项展开多项式乘法。
【解析】
先调整因式内项的顺序，将相同项放在前，相反项放在后：
原式$= (-\frac{1}{2} - b)(-\frac{1}{2} + b)$
套用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=-\frac{1}{2}$、$b=b$得：
$= (-\frac{1}{2})^2 - b^2$
计算乘方后得到最终结果：
$= \frac{1}{4} - b^2$
【答案】
$\frac{1}{4} - b^2$
【知识点】
平方差公式、整式乘法
【点评】
本题是平方差公式应用的基础题，核心考察对平方差公式结构特征的识别能力，解题时只要准确区分相同项和相反项，计算乘方时注意符号规则，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
4. 若 $ m^2 = 9 $，$ n^2 = 3 $，则 $ (m + n)(m - n) = $
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现$(m+n)(m-n)$符合平方差公式的形式，因此优先考虑用平方差公式先化简代数式，再代入已知的$m^2$、$n^2$的值计算即可。不需要先求出$m$、$n$的具体取值，既能简化计算，也能避免符号问题导致的错误。
【解析】
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$
已知$m^2=9$，$n^2=3$，将其代入上式得：
原式$=9 - 3 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，解题核心是识别代数式符合平方差公式的结构特征，先化简再代入求值，可有效降低计算量，规避多解带来的符号错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察所求代数式的结构，发现$(m+n)(m-n)$符合平方差公式的形式，因此优先考虑用平方差公式先化简代数式，再代入已知的$m^2$、$n^2$的值计算即可。不需要先求出$m$、$n$的具体取值，既能简化计算，也能避免符号问题导致的错误。
【解析】
根据平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
$(m+n)(m-n)=m^2 - n^2$
已知$m^2=9$，$n^2=3$，将其代入上式得：
原式$=9 - 3 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平方差公式；代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的基础应用，解题核心是识别代数式符合平方差公式的结构特征，先化简再代入求值，可有效降低计算量，规避多解带来的符号错误。
【难度系数】
0.9
5. 在横线上填上适当的数,使等式成立.
$(-1-2y)(1+\_\_\_\_\_\_)=4y^2 -1.$
$(-1-2y)(1+\_\_\_\_\_\_)=4y^2 -1.$
答案
解：
对等式变形，先将左边第一个因式整理：
$-1-2y = -(1+2y)$
等式右边利用平方差公式分解：
$4y^2 -1=(2y)^2 - 1^2=(2y-1)(2y+1)=-(1-2y)(1+2y)$
代入原等式得：
$-(1+2y)·(1 + \_\_\_\_\_\_) = -(1-2y)(1+2y)$
两边同时除以$-(1+2y)$，可得：
$1 + \_\_\_\_\_\_ = 1 - 2y$
因此横线上应填：$\boldsymbol{-2y}$。
对等式变形，先将左边第一个因式整理：
$-1-2y = -(1+2y)$
等式右边利用平方差公式分解：
$4y^2 -1=(2y)^2 - 1^2=(2y-1)(2y+1)=-(1-2y)(1+2y)$
代入原等式得：
$-(1+2y)·(1 + \_\_\_\_\_\_) = -(1-2y)(1+2y)$
两边同时除以$-(1+2y)$，可得：
$1 + \_\_\_\_\_\_ = 1 - 2y$
因此横线上应填：$\boldsymbol{-2y}$。
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从等式两边的代数式特征入手思考：首先观察到等式右边$4y^2 -1$符合平方差公式的结构，可先利用平方差公式因式分解；再将左边的第一个因式$(-1-2y)$提取负号变形，之后对比等式两边的因式，消去相同的非零因式，即可求出横线上需要填写的项。
【解析】
第一步：整理左边第一个因式：
$-1-2y = -(1+2y)$
第二步：对等式右边利用平方差公式分解因式：
$4y^2 -1=(2y)^2 - 1^2=(2y+1)(2y-1)=-(1-2y)(1+2y)$
第三步：将变形后的左右两边代入原等式：
$-(1+2y)·(1 + \_\_\_\_\_\_) = -(1-2y)(1+2y)$
第四步：等式两边同时除以$-(1+2y)$（$1+2y≠0$，否则等式无意义），可得：
$1 + \_\_\_\_\_\_ = 1 - 2y$
因此横线上的项为$1-2y-1=-2y$。
【答案】
$\boldsymbol{-2y}$
【知识点】
平方差公式；整式的变形运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对等式两边的整式进行合理变形，计算时要注意符号处理，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从等式两边的代数式特征入手思考：首先观察到等式右边$4y^2 -1$符合平方差公式的结构，可先利用平方差公式因式分解；再将左边的第一个因式$(-1-2y)$提取负号变形，之后对比等式两边的因式，消去相同的非零因式，即可求出横线上需要填写的项。
【解析】
第一步：整理左边第一个因式：
$-1-2y = -(1+2y)$
第二步：对等式右边利用平方差公式分解因式：
$4y^2 -1=(2y)^2 - 1^2=(2y+1)(2y-1)=-(1-2y)(1+2y)$
第三步：将变形后的左右两边代入原等式：
$-(1+2y)·(1 + \_\_\_\_\_\_) = -(1-2y)(1+2y)$
第四步：等式两边同时除以$-(1+2y)$（$1+2y≠0$，否则等式无意义），可得：
$1 + \_\_\_\_\_\_ = 1 - 2y$
因此横线上的项为$1-2y-1=-2y$。
【答案】
$\boldsymbol{-2y}$
【知识点】
平方差公式；整式的变形运算
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，对等式两边的整式进行合理变形，计算时要注意符号处理，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
6. 计算:
(1)$(2+3a)(3a-2)$；
(2)$100 \frac{1}{4} × 99 \frac{3}{4}$.
(1)$(2+3a)(3a-2)$；
(2)$100 \frac{1}{4} × 99 \frac{3}{4}$.
答案
解：
(1) 原式$=(3a+2)(3a-2)$
$=(3a)^2 - 2^2$
$=9a^2 - 4$
(2) 原式$=(100+\frac{1}{4})×(100-\frac{1}{4})$
$=100^2 - (\frac{1}{4})^2$
$=10000 - \frac{1}{16}$
$=9999\frac{15}{16}$
(1) 原式$=(3a+2)(3a-2)$
$=(3a)^2 - 2^2$
$=9a^2 - 4$
(2) 原式$=(100+\frac{1}{4})×(100-\frac{1}{4})$
$=100^2 - (\frac{1}{4})^2$
$=10000 - \frac{1}{16}$
$=9999\frac{15}{16}$
解析
【分析】
（1）观察式子$(2+3a)(3a-2)$，可发现两个因式中存在相同项$3a$，相反项$2$和$-2$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，先调整因式内项的顺序，再套用平方差公式计算即可。
（2）观察两个带分数$100\frac{1}{4}$和$99\frac{3}{4}$，可转化为100与$\frac{1}{4}$的和、100与$\frac{1}{4}$的差的形式，同样符合平方差公式的结构，套用公式计算可避免复杂的带分数乘法运算，简化计算过程。
【解析】
(1) 交换第一个因式中两项的位置，得到：
原式$=(3a+2)(3a-2)$
将$3a$看作平方差公式中的$a$，$2$看作公式中的$b$，代入公式得：
$=(3a)^2 - 2^2$
分别计算乘方：
$=9a^2 - 4$
(2) 将两个带分数拆分变形：
原式$=(100+\frac{1}{4})×(100-\frac{1}{4})$
将$100$看作平方差公式中的$a$，$\frac{1}{4}$看作公式中的$b$，代入公式得：
$=100^2 - (\frac{1}{4})^2$
分别计算乘方：
$=10000 - \frac{1}{16}$
计算减法得最终结果：
$=9999\frac{15}{16}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9a^2 - 4}$
(2) $\boldsymbol{9999\frac{15}{16}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
3. 有理数简便运算
【点评】
两道题均为平方差公式的典型应用，解题关键是准确识别式子中是否存在“相同项”和“相反项”，匹配平方差公式的结构特征。灵活运用平方差公式不仅能简化整式乘法运算，也可大幅降低有理数计算的复杂度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
（1）观察式子$(2+3a)(3a-2)$，可发现两个因式中存在相同项$3a$，相反项$2$和$-2$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，先调整因式内项的顺序，再套用平方差公式计算即可。
（2）观察两个带分数$100\frac{1}{4}$和$99\frac{3}{4}$，可转化为100与$\frac{1}{4}$的和、100与$\frac{1}{4}$的差的形式，同样符合平方差公式的结构，套用公式计算可避免复杂的带分数乘法运算，简化计算过程。
【解析】
(1) 交换第一个因式中两项的位置，得到：
原式$=(3a+2)(3a-2)$
将$3a$看作平方差公式中的$a$，$2$看作公式中的$b$，代入公式得：
$=(3a)^2 - 2^2$
分别计算乘方：
$=9a^2 - 4$
(2) 将两个带分数拆分变形：
原式$=(100+\frac{1}{4})×(100-\frac{1}{4})$
将$100$看作平方差公式中的$a$，$\frac{1}{4}$看作公式中的$b$，代入公式得：
$=100^2 - (\frac{1}{4})^2$
分别计算乘方：
$=10000 - \frac{1}{16}$
计算减法得最终结果：
$=9999\frac{15}{16}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9a^2 - 4}$
(2) $\boldsymbol{9999\frac{15}{16}}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
3. 有理数简便运算
【点评】
两道题均为平方差公式的典型应用，解题关键是准确识别式子中是否存在“相同项”和“相反项”，匹配平方差公式的结构特征。灵活运用平方差公式不仅能简化整式乘法运算，也可大幅降低有理数计算的复杂度，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
