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15. (1)化简$m^3 · m^2 + (2m^4)^2 ÷ m^3$；
(2)先化简，再求值：
$[x(x+2y)-(x+y)(x-y)] ÷ (\frac{1}{2}y)$，其中$x=-\frac{1}{2}, y=1.$
(2)先化简，再求值：
$[x(x+2y)-(x+y)(x-y)] ÷ (\frac{1}{2}y)$，其中$x=-\frac{1}{2}, y=1.$
答案
解：
(1) 原式 = $m^{3+2} + 4m^8 ÷ m^3$
$= m^5 + 4m^{8-3}$
$= m^5 + 4m^5$
$= 5m^5$
(2) 原式 = $[x^2 + 2xy - (x^2 - y^2)] ÷ (\frac{1}{2}y)$
$= (x^2 + 2xy - x^2 + y^2) ÷ (\frac{1}{2}y)$
$= (2xy + y^2) · \frac{2}{y}$
$= 4x + 2y$
当$x=-\frac{1}{2}, y=1$时，
原式 = $4×(-\frac{1}{2}) + 2×1$
$= -2 + 2$
$= 0$
(1) 原式 = $m^{3+2} + 4m^8 ÷ m^3$
$= m^5 + 4m^{8-3}$
$= m^5 + 4m^5$
$= 5m^5$
(2) 原式 = $[x^2 + 2xy - (x^2 - y^2)] ÷ (\frac{1}{2}y)$
$= (x^2 + 2xy - x^2 + y^2) ÷ (\frac{1}{2}y)$
$= (2xy + y^2) · \frac{2}{y}$
$= 4x + 2y$
当$x=-\frac{1}{2}, y=1$时，
原式 = $4×(-\frac{1}{2}) + 2×1$
$= -2 + 2$
$= 0$
解析
【分析】
（1）本题是整式混合运算题，遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序求解：第一步先计算同底数幂的乘法$m^3·m^2$，再计算积的乘方$(2m^4)^2$，接着计算同底数幂的除法，最后合并同类项即可得到结果。
（2）本题为整式化简求值题，解题思路为：先计算中括号内的运算，先利用单项式乘多项式法则展开$x(x+2y)$，再用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，去括号合并同类项后，再计算多项式除以单项式得到最简结果，最后代入$x、y$的数值计算即可，先化简再代值能降低计算量、减少出错。
【解析】
(1) 按运算顺序逐步计算：
原式$= m^{3+2} + 4m^8 ÷ m^3$
$= m^5 + 4m^{8-3}$
$= m^5 + 4m^5$
合并同类项得：$= 5m^5$
(2) 先化简再代值：
原式$= [x^2 + 2xy - (x^2 - y^2)] ÷ (\frac{1}{2}y)$
去括号得：$= (x^2 + 2xy - x^2 + y^2) ÷ (\frac{1}{2}y)$
合并同类项得：$= (2xy + y^2) · \frac{2}{y}$
计算得：$= 4x + 2y$
将$x=-\frac{1}{2}, y=1$代入最简式：
原式$= 4×(-\frac{1}{2}) + 2×1$
$= -2 + 2$
$= 0$
【答案】
(1) $5m^5$；(2) 化简结果为$4x+2y$，求值结果为$0$
【知识点】
幂的运算、整式的混合运算、平方差公式
【点评】
两道题均为整式运算的基础典型题，侧重考察运算法则和运算顺序的掌握，计算时要注意去括号的符号变化，化简求值类题目优先化简再代值，可有效提升计算效率、降低错误率。
【难度系数】
0.8
（1）本题是整式混合运算题，遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序求解：第一步先计算同底数幂的乘法$m^3·m^2$，再计算积的乘方$(2m^4)^2$，接着计算同底数幂的除法，最后合并同类项即可得到结果。
（2）本题为整式化简求值题，解题思路为：先计算中括号内的运算，先利用单项式乘多项式法则展开$x(x+2y)$，再用平方差公式计算$(x+y)(x-y)$，去括号合并同类项后，再计算多项式除以单项式得到最简结果，最后代入$x、y$的数值计算即可，先化简再代值能降低计算量、减少出错。
【解析】
(1) 按运算顺序逐步计算：
原式$= m^{3+2} + 4m^8 ÷ m^3$
$= m^5 + 4m^{8-3}$
$= m^5 + 4m^5$
合并同类项得：$= 5m^5$
(2) 先化简再代值：
原式$= [x^2 + 2xy - (x^2 - y^2)] ÷ (\frac{1}{2}y)$
去括号得：$= (x^2 + 2xy - x^2 + y^2) ÷ (\frac{1}{2}y)$
合并同类项得：$= (2xy + y^2) · \frac{2}{y}$
计算得：$= 4x + 2y$
将$x=-\frac{1}{2}, y=1$代入最简式：
原式$= 4×(-\frac{1}{2}) + 2×1$
$= -2 + 2$
$= 0$
【答案】
(1) $5m^5$；(2) 化简结果为$4x+2y$，求值结果为$0$
【知识点】
幂的运算、整式的混合运算、平方差公式
【点评】
两道题均为整式运算的基础典型题，侧重考察运算法则和运算顺序的掌握，计算时要注意去括号的符号变化，化简求值类题目优先化简再代值，可有效提升计算效率、降低错误率。
【难度系数】
0.8
16. 已知 $32^{m}=4×2^{2n-1},3^{n}=9^{m}$,求 $m,n$ 的值.
答案
解：
将等式两边化为同底数幂的形式：
因为 $32^m=(2^5)^m=2^{5m}$，
$4×2^{2n-1}=2^2×2^{2n-1}=2^{2+2n-1}=2^{2n+1}$，
所以由 $32^m=4×2^{2n-1}$ 可得：
$5m=2n+1$ ①
又因为 $9^m=(3^2)^m=3^{2m}$，
所以由 $3^n=9^m$ 可得：
$n=2m$ ②
把②代入①，得：
$5m=2×2m +1$，
解得 $m=1$。
把$m=1$代入②，得 $n=2×1=2$。
综上，$m=1$，$n=2$。
将等式两边化为同底数幂的形式：
因为 $32^m=(2^5)^m=2^{5m}$，
$4×2^{2n-1}=2^2×2^{2n-1}=2^{2+2n-1}=2^{2n+1}$，
所以由 $32^m=4×2^{2n-1}$ 可得：
$5m=2n+1$ ①
又因为 $9^m=(3^2)^m=3^{2m}$，
所以由 $3^n=9^m$ 可得：
$n=2m$ ②
把②代入①，得：
$5m=2×2m +1$，
解得 $m=1$。
把$m=1$代入②，得 $n=2×1=2$。
综上，$m=1$，$n=2$。
解析
【分析】
本题给出两个含幂的等式求参数m、n的值，解题思路可按以下步骤展开：首先观察等式两边幂的底数不同，优先利用幂的运算性质将所有幂转化为同底数的形式；再根据“同底数幂相等时，对应指数相等”的规则，把幂的等式转化为关于m、n的整式方程，得到二元一次方程组；最后用代入消元法解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
将等式两边化为同底数幂的形式：
因为 $32^m=(2^5)^m=2^{5m}$，
$4×2^{2n-1}=2^2×2^{2n-1}=2^{2+2n-1}=2^{2n+1}$，
所以由 $32^m=4×2^{2n-1}$ 可得：
$5m=2n+1$ ①
又因为 $9^m=(3^2)^m=3^{2m}$，
所以由 $3^n=9^m$ 可得：
$n=2m$ ②
把②代入①，得：
$5m=2×2m +1$，
解得 $m=1$。
把$m=1$代入②，得 $n=2×1=2$。
【答案】
$m=1$，$n=2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、二元一次方程组的解法
【点评】
本题是幂运算与方程组结合的基础常考题，解题核心是熟练运用幂的运算法则统一底数，将幂的等式转化为整式方程求解，能够考查学生对幂运算性质的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题给出两个含幂的等式求参数m、n的值，解题思路可按以下步骤展开：首先观察等式两边幂的底数不同，优先利用幂的运算性质将所有幂转化为同底数的形式；再根据“同底数幂相等时，对应指数相等”的规则，把幂的等式转化为关于m、n的整式方程，得到二元一次方程组；最后用代入消元法解方程组即可得到m、n的值。
【解析】
将等式两边化为同底数幂的形式：
因为 $32^m=(2^5)^m=2^{5m}$，
$4×2^{2n-1}=2^2×2^{2n-1}=2^{2+2n-1}=2^{2n+1}$，
所以由 $32^m=4×2^{2n-1}$ 可得：
$5m=2n+1$ ①
又因为 $9^m=(3^2)^m=3^{2m}$，
所以由 $3^n=9^m$ 可得：
$n=2m$ ②
把②代入①，得：
$5m=2×2m +1$，
解得 $m=1$。
把$m=1$代入②，得 $n=2×1=2$。
【答案】
$m=1$，$n=2$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、二元一次方程组的解法
【点评】
本题是幂运算与方程组结合的基础常考题，解题核心是熟练运用幂的运算法则统一底数，将幂的等式转化为整式方程求解，能够考查学生对幂运算性质的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
17.为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造.已知该地块是长为$(a+4b)\mathrm{m}$,宽为$(a+3b)\mathrm{m}$的长方形地块,如图.学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为$a\ \mathrm{m}$,并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含有$a,b$的式子分别表示出小路的面积$S_1$和种植区的总面积$S_2$(请将结果化为最简);
(2)若$a=2,b=4$,求出此时种植区的总面积$S_2$.
(1)用含有$a,b$的式子分别表示出小路的面积$S_1$和种植区的总面积$S_2$(请将结果化为最简);
(2)若$a=2,b=4$,求出此时种植区的总面积$S_2$.
答案
解：
(1) 根据平行四边形面积公式，可得：
$S_1 = a · (a+4b) = a^2 + 4ab$
长方形地块的总面积为：
$(a+4b)(a+3b) = a^2 + 3ab + 4ab + 12b^2 = a^2 + 7ab + 12b^2$
因此种植区的总面积：
$S_2 = (a+4b)(a+3b) - S_1$
$= a^2 +7ab +12b^2 - (a^2 +4ab)$
$= 3ab + 12b^2$
(2) 把$a=2$，$b=4$代入$S_2=3ab+12b^2$，得：
$S_2 = 3× 2 × 4 + 12 × 4^2$
$= 24 + 192$
$= 216$
答：此时种植区的总面积$S_2$为$216\ \mathrm{m^2}$。
(1) 根据平行四边形面积公式，可得：
$S_1 = a · (a+4b) = a^2 + 4ab$
长方形地块的总面积为：
$(a+4b)(a+3b) = a^2 + 3ab + 4ab + 12b^2 = a^2 + 7ab + 12b^2$
因此种植区的总面积：
$S_2 = (a+4b)(a+3b) - S_1$
$= a^2 +7ab +12b^2 - (a^2 +4ab)$
$= 3ab + 12b^2$
(2) 把$a=2$，$b=4$代入$S_2=3ab+12b^2$，得：
$S_2 = 3× 2 × 4 + 12 × 4^2$
$= 24 + 192$
$= 216$
答：此时种植区的总面积$S_2$为$216\ \mathrm{m^2}$。
解析
【分析】
(1) 求小路面积时，先明确小路是平行四边形，平行四边形面积公式为底×高，题中给出小路底边长为$a\ \mathrm{m}$，高与长方形地块的长相等，为$(a+4b)\ \mathrm{m}$，代入公式即可求出$S_1$；种植区面积为长方形地块总面积减去小路面积，先根据长方形面积公式求出地块总面积，再减去$S_1$，最后化简整式即可得到$S_2$。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接将$a=2$、$b=4$代入第一问化简得到的$S_2$表达式中，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据平行四边形面积公式可得小路面积：
$S_1 = a · (a+4b) = a^2 + 4ab$
长方形地块的总面积为：
$(a+4b)(a+3b) = a^2 + 3ab + 4ab + 12b^2 = a^2 + 7ab + 12b^2$
种植区总面积等于长方形总面积减去小路面积：
$S_2 = (a+4b)(a+3b) - S_1$
$= a^2 +7ab +12b^2 - (a^2 +4ab)$
$= 3ab + 12b^2$
(2) 把$a=2$，$b=4$代入$S_2=3ab+12b^2$得：
$S_2 = 3× 2 × 4 + 12 × 4^2$
$= 24 + 192$
$= 216$
【答案】
(1) $S_1=a^2+4ab$，$S_2=3ab+12b^2$；
(2) $216\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
1. 多边形面积计算
2. 多项式乘多项式
3. 整式化简求值
【点评】
本题结合实际生活情境考查整式运算的应用，解题关键是明确各部分图形的面积关系，计算时要注意去括号的符号规则，代入求值时遵守运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
(1) 求小路面积时，先明确小路是平行四边形，平行四边形面积公式为底×高，题中给出小路底边长为$a\ \mathrm{m}$，高与长方形地块的长相等，为$(a+4b)\ \mathrm{m}$，代入公式即可求出$S_1$；种植区面积为长方形地块总面积减去小路面积，先根据长方形面积公式求出地块总面积，再减去$S_1$，最后化简整式即可得到$S_2$。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接将$a=2$、$b=4$代入第一问化简得到的$S_2$表达式中，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据平行四边形面积公式可得小路面积：
$S_1 = a · (a+4b) = a^2 + 4ab$
长方形地块的总面积为：
$(a+4b)(a+3b) = a^2 + 3ab + 4ab + 12b^2 = a^2 + 7ab + 12b^2$
种植区总面积等于长方形总面积减去小路面积：
$S_2 = (a+4b)(a+3b) - S_1$
$= a^2 +7ab +12b^2 - (a^2 +4ab)$
$= 3ab + 12b^2$
(2) 把$a=2$，$b=4$代入$S_2=3ab+12b^2$得：
$S_2 = 3× 2 × 4 + 12 × 4^2$
$= 24 + 192$
$= 216$
【答案】
(1) $S_1=a^2+4ab$，$S_2=3ab+12b^2$；
(2) $216\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
1. 多边形面积计算
2. 多项式乘多项式
3. 整式化简求值
【点评】
本题结合实际生活情境考查整式运算的应用，解题关键是明确各部分图形的面积关系，计算时要注意去括号的符号规则，代入求值时遵守运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
