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1.如图，一棵垂直于地面的大树在台风中被折断。已知树干在离地面3 m处折断，折断后树顶端落在距离树根4 m处，则大树原来的高度为(
A.5 m
B.8 m
C.9 m
D.25 m
B
)A.5 m
B.8 m
C.9 m
D.25 m
答案
1.B
解析
【分析】
首先将实际场景转化为直角三角形模型：未折断的树干垂直地面，长度为3m，树顶端到树根的水平距离为4m，二者是直角三角形的两条直角边，折断的树干部分是该直角三角形的斜边。先通过勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的3m，即可得到大树原来的总高度。
【解析】
解：由题意得，未折断的树干、地面、折断的树干可构成直角三角形，两条直角边长分别为3m、4m。
根据勾股定理，折断部分树干的长度（即直角三角形的斜边长）为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5(\mathrm{m})$
因此大树原来的高度为未折断部分加折断部分的长度，即：
$3+5=8(\mathrm{m})$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确对应边长后代入公式计算即可，解题思路较直观。
【难度系数】
0.8
首先将实际场景转化为直角三角形模型：未折断的树干垂直地面，长度为3m，树顶端到树根的水平距离为4m，二者是直角三角形的两条直角边，折断的树干部分是该直角三角形的斜边。先通过勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的3m，即可得到大树原来的总高度。
【解析】
解：由题意得，未折断的树干、地面、折断的树干可构成直角三角形，两条直角边长分别为3m、4m。
根据勾股定理，折断部分树干的长度（即直角三角形的斜边长）为：
$\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5(\mathrm{m})$
因此大树原来的高度为未折断部分加折断部分的长度，即：
$3+5=8(\mathrm{m})$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确对应边长后代入公式计算即可，解题思路较直观。
【难度系数】
0.8
2.如图,在直角三角形纸片$ABC$中,$∠C=90°,BC=12,AC=18$。将纸片沿折痕$ED$折叠,使点$A$恰好落在点$B$处,则$CE$的长为(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.C
解析
【分析】
遇到折叠类几何计算问题，首先利用折叠的性质得到对应边相等，本题中折叠后点A与点B重合，因此BE=AE。要求CE的长度，可设CE的长为x，用含x的式子表示出BE的长度，再结合△BCE是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$CE=x$，
$\because AC=18$，$\therefore AE=AC-CE=18-x$，
$\because$ 纸片沿ED折叠后点A落在点B处，根据折叠的性质可得：$BE=AE=18-x$，
又$\because ∠ C=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形，
根据勾股定理得：$BC^2 + CE^2 = BE^2$，
代入$BC=12$，$CE=x$，$BE=18-x$得：
$12^2 + x^2 = (18-x)^2$，
展开计算：$144 + x^2 = 324 - 36x + x^2$，
消去$x^2$后整理得：$36x = 180$，
解得：$x=5$，即$CE=5$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是几何计算的常见题型，核心是将折叠的性质与勾股定理结合，通过设未知数列方程的方式求解，解题关键是找到边长之间的等量关系，掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类几何计算问题，首先利用折叠的性质得到对应边相等，本题中折叠后点A与点B重合，因此BE=AE。要求CE的长度，可设CE的长为x，用含x的式子表示出BE的长度，再结合△BCE是直角三角形，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$CE=x$，
$\because AC=18$，$\therefore AE=AC-CE=18-x$，
$\because$ 纸片沿ED折叠后点A落在点B处，根据折叠的性质可得：$BE=AE=18-x$，
又$\because ∠ C=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形，
根据勾股定理得：$BC^2 + CE^2 = BE^2$，
代入$BC=12$，$CE=x$，$BE=18-x$得：
$12^2 + x^2 = (18-x)^2$，
展开计算：$144 + x^2 = 324 - 36x + x^2$，
消去$x^2$后整理得：$36x = 180$，
解得：$x=5$，即$CE=5$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是几何计算的常见题型，核心是将折叠的性质与勾股定理结合，通过设未知数列方程的方式求解，解题关键是找到边长之间的等量关系，掌握相关基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
3.如图,一架长2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙上,梯子的底端 B 到墙角 C 的距离为 1.5 m。若梯子的底端 B 向右滑动 0.5 m 到点 D 处,则梯子的顶端 A 沿墙向下滑动了(
A.1 m
B.2 m
C.0.5 m
D.2.5 m
C
)A.1 m
B.2 m
C.0.5 m
D.2.5 m
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查勾股定理的实际应用，解题思路如下：首先明确梯子滑动过程中自身长度不变，即两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ECD的斜边长度相等；第一步先在初始的Rt△ACB中，利用勾股定理求出顶端A到墙角C的距离AC；第二步计算梯子底端滑动后CD的长度，再在Rt△ECD中用勾股定理求出滑动后顶端E到C的距离EC；最后用AC减去EC即可得到A点向下滑动的距离。
【解析】
由题意可知，∠C=90°，梯子滑动时长度不变，即$AB=ED=2.5\mathrm{m}$。
1. 计算初始状态下AC的长度：
在Rt△ACB中，根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
已知$AB=2.5\mathrm{m}$，$BC=1.5\mathrm{m}$，代入得：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}=\sqrt{6.25 - 2.25}=\sqrt{4}=2\mathrm{m}$。
2. 计算滑动后EC的长度：
梯子底端向右滑动$0.5\mathrm{m}$，故$CD=BC+BD=1.5+0.5=2\mathrm{m}$，
在Rt△ECD中，根据勾股定理$EC^2 + CD^2 = ED^2$，
代入$ED=2.5\mathrm{m}$，$CD=2\mathrm{m}$得：
$EC=\sqrt{ED^2 - CD^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=\sqrt{6.25 - 4}=\sqrt{2.25}=1.5\mathrm{m}$。
3. 计算顶端下滑的距离：
$AE=AC - EC=2 - 1.5=0.5\mathrm{m}$，即顶端A沿墙向下滑动了$0.5\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题的核心是抓住梯子滑动时长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可求解，对学生的建模能力和基础计算能力有一定考察。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理的实际应用，解题思路如下：首先明确梯子滑动过程中自身长度不变，即两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ECD的斜边长度相等；第一步先在初始的Rt△ACB中，利用勾股定理求出顶端A到墙角C的距离AC；第二步计算梯子底端滑动后CD的长度，再在Rt△ECD中用勾股定理求出滑动后顶端E到C的距离EC；最后用AC减去EC即可得到A点向下滑动的距离。
【解析】
由题意可知，∠C=90°，梯子滑动时长度不变，即$AB=ED=2.5\mathrm{m}$。
1. 计算初始状态下AC的长度：
在Rt△ACB中，根据勾股定理$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
已知$AB=2.5\mathrm{m}$，$BC=1.5\mathrm{m}$，代入得：
$AC=\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}=\sqrt{6.25 - 2.25}=\sqrt{4}=2\mathrm{m}$。
2. 计算滑动后EC的长度：
梯子底端向右滑动$0.5\mathrm{m}$，故$CD=BC+BD=1.5+0.5=2\mathrm{m}$，
在Rt△ECD中，根据勾股定理$EC^2 + CD^2 = ED^2$，
代入$ED=2.5\mathrm{m}$，$CD=2\mathrm{m}$得：
$EC=\sqrt{ED^2 - CD^2}=\sqrt{2.5^2 - 2^2}=\sqrt{6.25 - 4}=\sqrt{2.25}=1.5\mathrm{m}$。
3. 计算顶端下滑的距离：
$AE=AC - EC=2 - 1.5=0.5\mathrm{m}$，即顶端A沿墙向下滑动了$0.5\mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题的核心是抓住梯子滑动时长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题即可求解，对学生的建模能力和基础计算能力有一定考察。
【难度系数】
0.8
4.如图,将一根长为8 cm 的橡皮筋两端A 和 B 固定在同一水平面上,然后把橡皮筋的中点 C 沿垂直向上的方向拉升3 cm 到点 D 的位置。橡皮筋被拉长了
2
cm。答案
4.2 cm
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：橡皮筋原长AB=8cm，C是AB的中点，因此可先求出AC的长度；已知DC垂直AB，可知△ACD为直角三角形，两条直角边AC、DC的长度已知，可通过勾股定理求出斜边AD的长度；由于拉升后橡皮筋总长度为AD+BD，且AD=BD，算出总长度后减去原长AB，就能得到拉长的长度。
【解析】
解：
∵ C是AB的中点，AB=8cm，
∴ $ AC=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm} $，
由题意可知 $ DC⊥ AB $，即 $ ∠ ACD=90° $，
在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，$ AC=4\mathrm{cm} $，$ CD=3\mathrm{cm} $，
根据勾股定理得：$ AD^2=AC^2+CD^2 $，
代入数值计算：$ AD^2=4^2+3^2=16+9=25 $，
∵ 线段长度为正数，
∴ $ AD=5\mathrm{cm} $，
同理可得 $ BD=5\mathrm{cm} $，
拉升后橡皮筋总长度为 $ AD+BD=5+5=10\mathrm{cm} $，
因此橡皮筋拉长的长度为 $ 10-8=2\mathrm{cm} $。
【答案】
2 cm
【知识点】
勾股定理；线段中点的性质
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用基础题，解题核心是将橡皮筋拉升的实际场景转化为直角三角形求解的数学模型，结合线段中点性质得到直角边长后计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：橡皮筋原长AB=8cm，C是AB的中点，因此可先求出AC的长度；已知DC垂直AB，可知△ACD为直角三角形，两条直角边AC、DC的长度已知，可通过勾股定理求出斜边AD的长度；由于拉升后橡皮筋总长度为AD+BD，且AD=BD，算出总长度后减去原长AB，就能得到拉长的长度。
【解析】
解：
∵ C是AB的中点，AB=8cm，
∴ $ AC=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm} $，
由题意可知 $ DC⊥ AB $，即 $ ∠ ACD=90° $，
在 $ \mathrm{Rt}△ ACD $ 中，$ AC=4\mathrm{cm} $，$ CD=3\mathrm{cm} $，
根据勾股定理得：$ AD^2=AC^2+CD^2 $，
代入数值计算：$ AD^2=4^2+3^2=16+9=25 $，
∵ 线段长度为正数，
∴ $ AD=5\mathrm{cm} $，
同理可得 $ BD=5\mathrm{cm} $，
拉升后橡皮筋总长度为 $ AD+BD=5+5=10\mathrm{cm} $，
因此橡皮筋拉长的长度为 $ 10-8=2\mathrm{cm} $。
【答案】
2 cm
【知识点】
勾股定理；线段中点的性质
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用基础题，解题核心是将橡皮筋拉升的实际场景转化为直角三角形求解的数学模型，结合线段中点性质得到直角边长后计算即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
5.木工制作一个长方形桌面,测得桌面的长为60 cm,宽为32 cm,对角线长为68 cm。这个桌面
合格
(填“合格”或“不合格”)。答案
5.合格
解析
【分析】
要判断长方形桌面是否合格，核心是验证桌面的角是否为直角：长方形的四个内角均为直角，因此桌面的长、宽与对角线应构成直角三角形，满足勾股定理的逆定理。解题时只需分别计算长与宽的平方和、对角线的平方，对比二者是否相等即可判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，若桌面的长、宽的平方和等于对角线的平方，则桌面内角为直角，符合长方形要求：
计算长与宽的平方和：$60^2 + 32^2 = 3600 + 1024 = 4624$
计算对角线的平方：$68^2 = 4624$
可得$60^2 + 32^2 = 68^2$，说明长、宽、对角线构成直角三角形，桌面内角为直角，符合长方形桌面的制作要求。
【答案】
合格
【知识点】
勾股定理逆定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理在实际生活中的基础应用，解题的关键是将实际的长方形合格性判定转化为直角三角形的判定问题，贴近生活场景，能很好地考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.9
要判断长方形桌面是否合格，核心是验证桌面的角是否为直角：长方形的四个内角均为直角，因此桌面的长、宽与对角线应构成直角三角形，满足勾股定理的逆定理。解题时只需分别计算长与宽的平方和、对角线的平方，对比二者是否相等即可判断。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，若桌面的长、宽的平方和等于对角线的平方，则桌面内角为直角，符合长方形要求：
计算长与宽的平方和：$60^2 + 32^2 = 3600 + 1024 = 4624$
计算对角线的平方：$68^2 = 4624$
可得$60^2 + 32^2 = 68^2$，说明长、宽、对角线构成直角三角形，桌面内角为直角，符合长方形桌面的制作要求。
【答案】
合格
【知识点】
勾股定理逆定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理在实际生活中的基础应用，解题的关键是将实际的长方形合格性判定转化为直角三角形的判定问题，贴近生活场景，能很好地考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.9
6. 提升题 小望和小岳学习勾股定理后，想测出风筝的垂直高度 CE。如图所示，两人合作进行了如下操作：①用皮尺测得 AE 的长为 15 m；②根据手中剩余风筝线的长度，计算出风筝线 BC 的长为 25 m；③小望拉风筝线的手到地面的距离 AB 为 1.5 m。
(1)求风筝的垂直高度 CE。
(2)若小望想使风筝沿 CE 方向下降 12 m 至点 F 处，他需要往回收线多少米？
(1)求风筝的垂直高度 CE。
(2)若小望想使风筝沿 CE 方向下降 12 m 至点 F 处，他需要往回收线多少米？
答案
解:(1) 在Rt△CDB 中，BC=25 m，BD=AE=15 m，由勾股定理，得CD² + BD² = BC²，即 CD² + 225 = 625。解得 CD = 20(m)。所以 CE=CD+DE=CD+AB=20+1.5=21.5(m)。
答:风筝的垂直高度 CE 为 21.5 m。
(2) 根据题意可知，CF=12 m，所以 DF=CD-CF=20-12=8(m)，由勾股定理，得BF²=BD²+DF²，即 BF²=225+64=289。所以 BF=17 m。所以 BC-BF=25-17=8(m)。
答:他需要往回收线 8 m。
解析
【分析】
先解决第一问：要求CE的长度，观察可得CE由CD和DE两段组成，结合图形可知BD与AE长度相等，DE与AB长度相等，只需在Rt△CDB中利用已知的BC和BD的长度，通过勾股定理求出CD的长度，就能计算出CE的总长度。
再解决第二问：风筝下降12m到F点，可先算出DF的长度，再在Rt△BDF中用勾股定理求出现在的风筝线长度BF，回收线的长度就是原来的线长BC减去现在的线长BF，计算差值即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得BD=AE=15 m，DE=AB=1.5 m。
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$BC=25\ \mathrm{m}$，$BD=15\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$CD^2 + BD^2 = BC^2$
代入数值得$CD^2 + 15^2 = 25^2$，即$CD^2 + 225 = 625$，解得$CD=20\ \mathrm{m}$。
因此$CE=CD+DE=20+1.5=21.5\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿CE方向下降12 m至F点，故$CF=12\ \mathrm{m}$，则$DF=CD-CF=20-12=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，根据勾股定理：
$BF^2=BD^2+DF^2$
代入数值得$BF^2=15^2+8^2=225+64=289$，解得$BF=17\ \mathrm{m}$。
因此需要往回收线的长度为$BC-BF=25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 风筝的垂直高度 CE 为 $\boxed{21.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 他需要往回收线 $\boxed{8\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理；矩形对边相等
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，找准对应直角三角形的各边长度即可顺利求解，能有效锻炼学生将数学知识结合生活场景应用的能力。
【难度系数】
0.7
先解决第一问：要求CE的长度，观察可得CE由CD和DE两段组成，结合图形可知BD与AE长度相等，DE与AB长度相等，只需在Rt△CDB中利用已知的BC和BD的长度，通过勾股定理求出CD的长度，就能计算出CE的总长度。
再解决第二问：风筝下降12m到F点，可先算出DF的长度，再在Rt△BDF中用勾股定理求出现在的风筝线长度BF，回收线的长度就是原来的线长BC减去现在的线长BF，计算差值即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得BD=AE=15 m，DE=AB=1.5 m。
在$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$BC=25\ \mathrm{m}$，$BD=15\ \mathrm{m}$，根据勾股定理：
$CD^2 + BD^2 = BC^2$
代入数值得$CD^2 + 15^2 = 25^2$，即$CD^2 + 225 = 625$，解得$CD=20\ \mathrm{m}$。
因此$CE=CD+DE=20+1.5=21.5\ \mathrm{m}$。
(2) 风筝沿CE方向下降12 m至F点，故$CF=12\ \mathrm{m}$，则$DF=CD-CF=20-12=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，根据勾股定理：
$BF^2=BD^2+DF^2$
代入数值得$BF^2=15^2+8^2=225+64=289$，解得$BF=17\ \mathrm{m}$。
因此需要往回收线的长度为$BC-BF=25-17=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 风筝的垂直高度 CE 为 $\boxed{21.5\ \mathrm{m}}$；
(2) 他需要往回收线 $\boxed{8\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
勾股定理；矩形对边相等
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，找准对应直角三角形的各边长度即可顺利求解，能有效锻炼学生将数学知识结合生活场景应用的能力。
【难度系数】
0.7
