登录
一、选择题
1. 下列各数中，最小的数是（
A.$-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.0
D.$-π$
1. 下列各数中，最小的数是（
D
）A.$-\sqrt{5}$
B.$\sqrt{3}$
C.0
D.$-π$
答案
D
解析
【分析】
要找出四个数中最小的数，可按照实数比较大小的基本思路逐步分析：首先根据“正数＞0＞负数”的规则，先排除掉正数和0，只需要比较剩下的两个负数即可；而负数比较大小的规则是“绝对值大的反而小”，因此只需要估算两个负数的绝对值大小，就能判断出更小的数。
【解析】
1. 先对四个数按正负分类：
正数：$\sqrt{3}＞0$；
0单独一类；
负数：$-\sqrt{5}$、$-π$，均小于0。
根据“正数＞0＞负数”，可知$\sqrt{3}$和0都大于两个负数，直接排除B、C选项。
2. 比较两个负数的大小：
先计算两个数的绝对值：$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}≈2.236$，$|-π|=π≈3.14$。
因为$3.14＞2.236$，即$|-π|＞|-\sqrt{5}|$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-π＜-\sqrt{5}$。
综上四个数的大小关系为：$-π＜-\sqrt{5}＜0＜\sqrt{3}$，最小的数是$-π$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题时先通过正负性缩小比较范围，再结合负数比较规则判断即可，熟记常见无理数的近似值能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
要找出四个数中最小的数，可按照实数比较大小的基本思路逐步分析：首先根据“正数＞0＞负数”的规则，先排除掉正数和0，只需要比较剩下的两个负数即可；而负数比较大小的规则是“绝对值大的反而小”，因此只需要估算两个负数的绝对值大小，就能判断出更小的数。
【解析】
1. 先对四个数按正负分类：
正数：$\sqrt{3}＞0$；
0单独一类；
负数：$-\sqrt{5}$、$-π$，均小于0。
根据“正数＞0＞负数”，可知$\sqrt{3}$和0都大于两个负数，直接排除B、C选项。
2. 比较两个负数的大小：
先计算两个数的绝对值：$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}≈2.236$，$|-π|=π≈3.14$。
因为$3.14＞2.236$，即$|-π|＞|-\sqrt{5}|$，根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得$-π＜-\sqrt{5}$。
综上四个数的大小关系为：$-π＜-\sqrt{5}＜0＜\sqrt{3}$，最小的数是$-π$。
【答案】
D
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题时先通过正负性缩小比较范围，再结合负数比较规则判断即可，熟记常见无理数的近似值能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
2.如果点$A(a,b)$在第三象限，那么点$B(2a-1,-b+2)$关于$x$轴对称的点在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据第三象限内点的坐标特征，确定a、b的取值范围（均小于0）；②根据a、b的符号，分别计算判断点B的横、纵坐标的正负性；③再根据关于x轴对称的点的坐标变化规律，求出对称点的坐标符号，最终判断其所在象限即可。
【解析】
解：
∵点$A(a,b)$在第三象限，
∴第三象限内点的横、纵坐标均为负，即$a＜0$，$b＜0$。
先判断点B的坐标符号：
横坐标：$2a-1$，
∵$a＜0$，
∴$2a＜0$，
∴$2a-1＜0-1=-1＜0$；
纵坐标：$-b+2$，
∵$b＜0$，
∴$-b＞0$，
∴$-b+2＞0+2=2＞0$，即点B坐标符号为（负，正）。
∵关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点$B(2a-1,-b+2)$关于x轴对称的点的坐标为$(2a-1, b-2)$。
再判断该对称点的坐标符号：
横坐标$2a-1＜0$，纵坐标：
∵$b＜0$，
∴$b-2＜0-2=-2＜0$，
∴对称点的横、纵坐标均为负，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考察坐标性质的综合应用，解题关键是先由已知点的象限确定参数的符号，再逐步推导所求点的坐标符号，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先根据第三象限内点的坐标特征，确定a、b的取值范围（均小于0）；②根据a、b的符号，分别计算判断点B的横、纵坐标的正负性；③再根据关于x轴对称的点的坐标变化规律，求出对称点的坐标符号，最终判断其所在象限即可。
【解析】
解：
∵点$A(a,b)$在第三象限，
∴第三象限内点的横、纵坐标均为负，即$a＜0$，$b＜0$。
先判断点B的坐标符号：
横坐标：$2a-1$，
∵$a＜0$，
∴$2a＜0$，
∴$2a-1＜0-1=-1＜0$；
纵坐标：$-b+2$，
∵$b＜0$，
∴$-b＞0$，
∴$-b+2＞0+2=2＞0$，即点B坐标符号为（负，正）。
∵关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点$B(2a-1,-b+2)$关于x轴对称的点的坐标为$(2a-1, b-2)$。
再判断该对称点的坐标符号：
横坐标$2a-1＜0$，纵坐标：
∵$b＜0$，
∴$b-2＜0-2=-2＜0$，
∴对称点的横、纵坐标均为负，符合第三象限内点的坐标特征，因此该点在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征；关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考察坐标性质的综合应用，解题关键是先由已知点的象限确定参数的符号，再逐步推导所求点的坐标符号，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
3.如图,有一个圆柱形油罐,其底面周长是24 m,高AB为10 m。现在要以点A为起点环绕油罐表面建梯子,终点正好建在点A正上方的点B处,则梯子最短需要(
A.10 m
B.24 m
C.26 m
D.20 m
C
)A.10 m
B.24 m
C.26 m
D.20 m
答案
C
解析
【分析】
要计算圆柱侧面上环绕一周从A到B的最短路径，首先需将曲面转化为平面求解：第一步将圆柱侧面沿AB剪开展开为长方形，利用“两点之间线段最短”可知，最短路径为展开图中A、B两点间的线段长度；第二步结合长方形边长与圆柱参数的对应关系，用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿AB剪开，展开得到一个长方形：
1. 该长方形的长等于圆柱底面周长，为24 m；长方形的宽等于圆柱的高，为10 m。
2. 此时环绕油罐的最短梯子长度，就是这个长方形的对角线长度，根据勾股定理：
对角线长度 = √(24² + 10²) = √(576 + 100) = √676 = 26(m)
因此梯子最短需要26 m。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；勾股定理应用
【点评】
解决此类立体图形表面最短路径问题的核心是将曲面转化为平面图形，再结合几何性质计算，是几何与实际应用结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
要计算圆柱侧面上环绕一周从A到B的最短路径，首先需将曲面转化为平面求解：第一步将圆柱侧面沿AB剪开展开为长方形，利用“两点之间线段最短”可知，最短路径为展开图中A、B两点间的线段长度；第二步结合长方形边长与圆柱参数的对应关系，用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿AB剪开，展开得到一个长方形：
1. 该长方形的长等于圆柱底面周长，为24 m；长方形的宽等于圆柱的高，为10 m。
2. 此时环绕油罐的最短梯子长度，就是这个长方形的对角线长度，根据勾股定理：
对角线长度 = √(24² + 10²) = √(576 + 100) = √676 = 26(m)
因此梯子最短需要26 m。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开图；两点之间线段最短；勾股定理应用
【点评】
解决此类立体图形表面最短路径问题的核心是将曲面转化为平面图形，再结合几何性质计算，是几何与实际应用结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
4.我国古代数学著作《算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。折回索子却量竿，却比竿子短一托。”意思是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折后再去量竿，则比竿短5尺。设绳索长$x$尺，竿长$y$尺，则可列方程组为(
A.$\begin{cases} x = y + 5, \\ \dfrac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = y - 5, \\ \dfrac{1}{2}x = y + 5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = y + 5, \\ 2x = y + 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = y - 5, \\ 2x = y + 5 \end{cases}$
A
)A.$\begin{cases} x = y + 5, \\ \dfrac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = y - 5, \\ \dfrac{1}{2}x = y + 5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = y + 5, \\ 2x = y + 5 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = y - 5, \\ 2x = y + 5 \end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
要列符合题意的二元一次方程组，关键是从题干描述中提取两个独立的等量关系。第一步分析第一个条件“用绳索量竿，绳索比竿长5尺”：绳索的长度等于竿的长度加5尺；第二步分析第二个条件“绳索对折后量竿，比竿短5尺”：绳索对折后的长度（即原长的$\frac{1}{2}$）等于竿的长度减5尺，把设好的未知数x（绳索长）、y（竿长）代入两个等量关系就能得到对应的方程组。
【解析】
首先根据“绳索比竿长5尺”的等量关系，可列方程：$x=y+5$；
再根据“绳索对折后量竿比竿短5尺”的等量关系，对折后绳索长度为$\frac{1}{2}x$，可列方程：$\frac{1}{2}x=y-5$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x = y + 5, \\ \dfrac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量分析
【点评】
本题以古典数学问题为载体，核心考查将文字信息转化为数学方程的能力，解题时只要准确抓住两个描述长度关系的条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要列符合题意的二元一次方程组，关键是从题干描述中提取两个独立的等量关系。第一步分析第一个条件“用绳索量竿，绳索比竿长5尺”：绳索的长度等于竿的长度加5尺；第二步分析第二个条件“绳索对折后量竿，比竿短5尺”：绳索对折后的长度（即原长的$\frac{1}{2}$）等于竿的长度减5尺，把设好的未知数x（绳索长）、y（竿长）代入两个等量关系就能得到对应的方程组。
【解析】
首先根据“绳索比竿长5尺”的等量关系，可列方程：$x=y+5$；
再根据“绳索对折后量竿比竿短5尺”的等量关系，对折后绳索长度为$\frac{1}{2}x$，可列方程：$\frac{1}{2}x=y-5$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x = y + 5, \\ \dfrac{1}{2}x = y - 5 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程组，实际问题等量分析
【点评】
本题以古典数学问题为载体，核心考查将文字信息转化为数学方程的能力，解题时只要准确抓住两个描述长度关系的条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，长方形ABCD的顶点A，B均在数轴上，点A表示－1，AB＝3，AD＝1。若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为(
A.$\sqrt{10} -1$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{10} +1$
D.$\sqrt{10} +2$
A
)A.$\sqrt{10} -1$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{10} +1$
D.$\sqrt{10} +2$
答案
A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：
1. 先利用长方形对边相等、内角为直角的性质，得到Rt△ABC的两条直角边长；
2. 用勾股定理计算对角线AC的长度，也就是弧的半径AM的长度；
3. 结合点A在数轴上的位置，计算正半轴上点M对应的数，注意点A不是原点，需用A点的数值加上AM的长度得到M点的数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=1，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=1，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵以A为圆心，AC长为半径作弧交数轴正半轴于M，
∴$AM=AC=\sqrt{10}$，
又
∵点A表示的数为-1，
∴点M表示的数为：$-1+\sqrt{10}=\sqrt{10}-1$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，长方形的性质，数轴与实数
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础题型，解题核心是先求出半径长度，再结合起点坐标计算目标点的数值，易错点是容易忽略点A的坐标不是原点，误把AC的长度直接当做M点的数值。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：
1. 先利用长方形对边相等、内角为直角的性质，得到Rt△ABC的两条直角边长；
2. 用勾股定理计算对角线AC的长度，也就是弧的半径AM的长度；
3. 结合点A在数轴上的位置，计算正半轴上点M对应的数，注意点A不是原点，需用A点的数值加上AM的长度得到M点的数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=1，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=1，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵以A为圆心，AC长为半径作弧交数轴正半轴于M，
∴$AM=AC=\sqrt{10}$，
又
∵点A表示的数为-1，
∴点M表示的数为：$-1+\sqrt{10}=\sqrt{10}-1$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，长方形的性质，数轴与实数
【点评】
本题属于几何与数轴结合的基础题型，解题核心是先求出半径长度，再结合起点坐标计算目标点的数值，易错点是容易忽略点A的坐标不是原点，误把AC的长度直接当做M点的数值。
【难度系数】
0.7
6.在安全知识检测中,八(6)班第一组8名同学的成绩从低到高排列如下:70,71,72,74,79,81,82,86。若把这8个数据分成两组,按照“组内离差平方和达到最小”的方法,能使组内离差平方和最小的分组方案是(
A.第一组3个数据,第二组5个数据
B.第一组4个数据,第二组4个数据
C.第一组5个数据,第二组3个数据
D.第一组7个数据,第二组1个数据
B
)A.第一组3个数据,第二组5个数据
B.第一组4个数据,第二组4个数据
C.第一组5个数据,第二组3个数据
D.第一组7个数据,第二组1个数据
答案
B
解析
【分析】
组内离差平方和是组内每个数据与该组平均数的差的平方之和，数值越小说明组内数据波动越小、越集中。题中8个数据已按从小到大排序，要使两组离差平方和总和最小，需将相邻数据分为一组（交叉分组会导致两组数据更分散，总平方和更大），我们只需分别计算四个选项对应连续分组的两组离差平方和之和，比较大小即可找到最优方案。另外也可观察相邻数据的差值，最优分点通常在差值最大的相邻两个数据之间，能让两组内部数据的集中程度最高。
【解析】
方法一：计算各选项分组的总离差平方和（分组均为连续相邻数据）：
选项A：第一组3个：70、71、72，第二组5个：74、79、81、82、86
第一组平均数=(70+71+72)÷3=71，离差平方和=(70-71)²+(71-71)²+(72-71)²=2
第二组平均数=(74+79+81+82+86)÷5=80.4，离差平方和=(74-80.4)²+(79-80.4)²+(81-80.4)²+(82-80.4)²+(86-80.4)²=77.2
总离差平方和=2+77.2=79.2
选项B：第一组4个：70、71、72、74，第二组4个：79、81、82、86
第一组平均数=(70+71+72+74)÷4=71.75，离差平方和=(70-71.75)²+(71-71.75)²+(72-71.75)²+(74-71.75)²=8.75
第二组平均数=(79+81+82+86)÷4=82，离差平方和=(79-82)²+(81-82)²+(82-82)²+(86-82)²=26
总离差平方和=8.75+26=34.75
选项C：第一组5个：70、71、72、74、79，第二组3个：81、82、86
第一组平均数=(70+71+72+74+79)÷5=73.2，离差平方和=50.8
第二组平均数=(81+82+86)÷3=83，离差平方和=14
总离差平方和=50.8+14=64.8
选项D：第一组7个，第二组1个，第二组离差平方和为0，第一组离差平方和约为149.68，总和≈149.68
比较得34.75最小，因此选项B的分组方案最优。
方法二：观察相邻数据差值：71-70=1，72-71=1，74-72=2，79-74=5，81-79=2，82-81=1，86-82=4，最大差值出现在74和79之间，从此处分组，前4个为一组、后4个为一组时两组内部数据最集中，总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和；平均数；数据的波动
【点评】
本题核心是理解离差平方和反映数据集中程度的特性，有序数据的最优分组通常在相邻数据差值最大的位置，既可以通过直接计算验证结果，也可以通过观察差值快速找到分点，解题时要注意计算准确。
【难度系数】
0.6
组内离差平方和是组内每个数据与该组平均数的差的平方之和，数值越小说明组内数据波动越小、越集中。题中8个数据已按从小到大排序，要使两组离差平方和总和最小，需将相邻数据分为一组（交叉分组会导致两组数据更分散，总平方和更大），我们只需分别计算四个选项对应连续分组的两组离差平方和之和，比较大小即可找到最优方案。另外也可观察相邻数据的差值，最优分点通常在差值最大的相邻两个数据之间，能让两组内部数据的集中程度最高。
【解析】
方法一：计算各选项分组的总离差平方和（分组均为连续相邻数据）：
选项A：第一组3个：70、71、72，第二组5个：74、79、81、82、86
第一组平均数=(70+71+72)÷3=71，离差平方和=(70-71)²+(71-71)²+(72-71)²=2
第二组平均数=(74+79+81+82+86)÷5=80.4，离差平方和=(74-80.4)²+(79-80.4)²+(81-80.4)²+(82-80.4)²+(86-80.4)²=77.2
总离差平方和=2+77.2=79.2
选项B：第一组4个：70、71、72、74，第二组4个：79、81、82、86
第一组平均数=(70+71+72+74)÷4=71.75，离差平方和=(70-71.75)²+(71-71.75)²+(72-71.75)²+(74-71.75)²=8.75
第二组平均数=(79+81+82+86)÷4=82，离差平方和=(79-82)²+(81-82)²+(82-82)²+(86-82)²=26
总离差平方和=8.75+26=34.75
选项C：第一组5个：70、71、72、74、79，第二组3个：81、82、86
第一组平均数=(70+71+72+74+79)÷5=73.2，离差平方和=50.8
第二组平均数=(81+82+86)÷3=83，离差平方和=14
总离差平方和=50.8+14=64.8
选项D：第一组7个，第二组1个，第二组离差平方和为0，第一组离差平方和约为149.68，总和≈149.68
比较得34.75最小，因此选项B的分组方案最优。
方法二：观察相邻数据差值：71-70=1，72-71=1，74-72=2，79-74=5，81-79=2，82-81=1，86-82=4，最大差值出现在74和79之间，从此处分组，前4个为一组、后4个为一组时两组内部数据最集中，总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和；平均数；数据的波动
【点评】
本题核心是理解离差平方和反映数据集中程度的特性，有序数据的最优分组通常在相邻数据差值最大的位置，既可以通过直接计算验证结果，也可以通过观察差值快速找到分点，解题时要注意计算准确。
【难度系数】
0.6
二、填空题
7.如图，一次函数 $y=\frac{3}{2}x$ 的图象与 $y=kx+7$ 的图象相交于点 A，则方程组 $\begin{cases} y=kx+7, \\ y=\frac{3}{2}x \end{cases}$ 的解是 ______。
7.如图，一次函数 $y=\frac{3}{2}x$ 的图象与 $y=kx+7$ 的图象相交于点 A，则方程组 $\begin{cases} y=kx+7, \\ y=\frac{3}{2}x \end{cases}$ 的解是 ______。
答案
$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心是理解二元一次方程组与对应一次函数图象的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。首先从图中可得交点A的横坐标为2，再将x=2代入$y=\frac{3}{2}x$求出y值，即可得到交点坐标，也就是方程组的解。
【解析】
由图象可知，两个一次函数交点A的横坐标为2，
将$x=2$代入$y=\frac{3}{2}x$，计算得：$y=\frac{3}{2} × 2 = 3$，
因此点A的坐标为$(2,3)$。
因为两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，
所以方程组$\begin{cases} y=kx+7 \\ y=\frac{3}{2}x \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数和二元一次方程组的联系，只要掌握“两个一次函数的交点坐标即为对应方程组的解”这一核心概念，结合图象读取横坐标代入计算即可求解。
【难度系数】
0.85
解题的核心是理解二元一次方程组与对应一次函数图象的关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是由这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。首先从图中可得交点A的横坐标为2，再将x=2代入$y=\frac{3}{2}x$求出y值，即可得到交点坐标，也就是方程组的解。
【解析】
由图象可知，两个一次函数交点A的横坐标为2，
将$x=2$代入$y=\frac{3}{2}x$，计算得：$y=\frac{3}{2} × 2 = 3$，
因此点A的坐标为$(2,3)$。
因为两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，
所以方程组$\begin{cases} y=kx+7 \\ y=\frac{3}{2}x \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
1.一次函数与二元一次方程组的关系
2.一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数和二元一次方程组的联系，只要掌握“两个一次函数的交点坐标即为对应方程组的解”这一核心概念，结合图象读取横坐标代入计算即可求解。
【难度系数】
0.85
