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6.【例3】(人教九上$\mathrm{P}_{151}$例2改编)如图，$△ ABC$为等腰三角形，点$O$是底边$BC$的中点，过点$O$作$OD ⊥ AB$于点$D$，以点$O$为圆心，$OD$长为半径作$\odot O$.求证:$AC$是$\odot O$的切线.
答案
6. 证明:如图,过点$O$作$OE ⊥ AC$于点$E$,连接$OA$.
$\because △ ABC$为等腰三角形,点$O$是底边$BC$的中点,
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线.
又$OD ⊥ AB,OE ⊥ AC,\therefore OE = OD.$
$\therefore OE$是$\odot O$的半径.
$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明AC是$\odot O$的切线，需结合切线的判定思路分析：若直线与圆未明确给出公共点，需先过圆心向直线作垂线，再证明垂线段长度等于圆的半径。首先利用等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边中点与顶点的连线是顶角的角平分线，可得AO平分$∠ BAC$；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可证明O到AC的垂线段长度等于半径OD，进而完成切线的判定。
【解析】
证明：过点$O$作$OE ⊥ AC$于点$E$，连接$OA$。
$\because △ ABC$为等腰三角形，点$O$是底边$BC$的中点，
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线（等腰三角形三线合一）。
又$\because OD ⊥ AB$，$OE ⊥ AC$，
$\therefore OE = OD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore OE$也是$\odot O$的半径，
又$\because OE ⊥ AC$，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
【答案】
6. 证明:如图,过点$O$作$OE ⊥ AC$于点$E$,连接$OA$.
$\because △ ABC$为等腰三角形,点$O$是底边$BC$的中点,
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线.
又$OD ⊥ AB,OE ⊥ AC,\therefore OE = OD.$
$\therefore OE$是$\odot O$的半径.
$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心是掌握切线判定的两种常用思路：已知直线与圆的公共点时，连半径证垂直；未明确公共点时，作垂直证半径，结合等腰三角形和角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明AC是$\odot O$的切线，需结合切线的判定思路分析：若直线与圆未明确给出公共点，需先过圆心向直线作垂线，再证明垂线段长度等于圆的半径。首先利用等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边中点与顶点的连线是顶角的角平分线，可得AO平分$∠ BAC$；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可证明O到AC的垂线段长度等于半径OD，进而完成切线的判定。
【解析】
证明：过点$O$作$OE ⊥ AC$于点$E$，连接$OA$。
$\because △ ABC$为等腰三角形，点$O$是底边$BC$的中点，
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线（等腰三角形三线合一）。
又$\because OD ⊥ AB$，$OE ⊥ AC$，
$\therefore OE = OD$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore OE$也是$\odot O$的半径，
又$\because OE ⊥ AC$，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
【答案】
6. 证明:如图,过点$O$作$OE ⊥ AC$于点$E$,连接$OA$.
$\because △ ABC$为等腰三角形,点$O$是底边$BC$的中点,
$\therefore AO$是$∠ BAC$的平分线.
又$OD ⊥ AB,OE ⊥ AC,\therefore OE = OD.$
$\therefore OE$是$\odot O$的半径.
$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心是掌握切线判定的两种常用思路：已知直线与圆的公共点时，连半径证垂直；未明确公共点时，作垂直证半径，结合等腰三角形和角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在△AOB中,$OA=2\sqrt{5},OB=4\sqrt{5},OA⊥OB$,以点O为圆心,4为半径作$\odot O$.求证:AB是$\odot O$的切线.
答案
7. 证明:如图,过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$.
$\because OA ⊥ OB,\therefore ∠ AOB = 90°.$
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,由勾股定理,得
$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{5})^{2} + (4\sqrt{5})^{2}} = 10.$
$\because S_{△ AOB} = \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2}OA · OB,$
$\therefore OC = \frac{OA · OB}{AB} = \frac{2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}}{10} = 4.$
$\because \odot O$的半径为$4,\therefore OC$为$\odot O$的半径.
又$OC ⊥ AB,\therefore AB$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明AB是$\odot O$的切线，需根据切线判定定理：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。本题未明确AB与$\odot O$的公共点，因此采用“作垂直，证半径”的思路：第一步过O作AB的垂线OC，第二步计算OC的长度，证明其等于$\odot O$的半径4即可。计算OC时，先通过勾股定理求出直角$△ AOB$的斜边AB，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用等面积法求出OC的长度，最后结合判定定理得出结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$。
$\because OA ⊥ OB,\therefore ∠ AOB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{5})^{2} + (4\sqrt{5})^{2}} = \sqrt{20+80} = \sqrt{100}=10$。
$\because S_{△ AOB}$有两种计算方式：$S_{△ AOB} = \frac{1}{2}AB · OC$，$S_{△ AOB}= \frac{1}{2}OA · OB$，
$\therefore \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2}OA · OB$，整理得$OC = \frac{OA · OB}{AB}$。
代入数值计算：$OC = \frac{2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}}{10} = \frac{40}{10}=4$。
$\because \odot O$的半径为4，$\therefore OC$等于$\odot O$的半径，又$\because OC ⊥ AB$，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
7. 证明:如图,过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$.
$\because OA ⊥ OB,\therefore ∠ AOB = 90°.$
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,由勾股定理,得
$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{5})^{2} + (4\sqrt{5})^{2}} = 10.$
$\because S_{△ AOB} = \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2}OA · OB,$
$\therefore OC = \frac{OA · OB}{AB} = \frac{2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}}{10} = 4.$
$\because \odot O$的半径为$4,\therefore OC$为$\odot O$的半径.
又$OC ⊥ AB,\therefore AB$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题是切线证明的基础典型题，核心考查切线判定的两种常用思路的选择，当未明确直线与圆的公共点时，选择“作垂直、证半径”的方法即可解题，解题过程中结合勾股定理和等面积法计算垂线段长度，方法常规，实用性强。
【难度系数】
0.7
要证明AB是$\odot O$的切线，需根据切线判定定理：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线。本题未明确AB与$\odot O$的公共点，因此采用“作垂直，证半径”的思路：第一步过O作AB的垂线OC，第二步计算OC的长度，证明其等于$\odot O$的半径4即可。计算OC时，先通过勾股定理求出直角$△ AOB$的斜边AB，再利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用等面积法求出OC的长度，最后结合判定定理得出结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$。
$\because OA ⊥ OB,\therefore ∠ AOB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{5})^{2} + (4\sqrt{5})^{2}} = \sqrt{20+80} = \sqrt{100}=10$。
$\because S_{△ AOB}$有两种计算方式：$S_{△ AOB} = \frac{1}{2}AB · OC$，$S_{△ AOB}= \frac{1}{2}OA · OB$，
$\therefore \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2}OA · OB$，整理得$OC = \frac{OA · OB}{AB}$。
代入数值计算：$OC = \frac{2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}}{10} = \frac{40}{10}=4$。
$\because \odot O$的半径为4，$\therefore OC$等于$\odot O$的半径，又$\because OC ⊥ AB$，
$\therefore AB$是$\odot O$的切线。
【答案】
7. 证明:如图,过点$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$.
$\because OA ⊥ OB,\therefore ∠ AOB = 90°.$
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,由勾股定理,得
$AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{5})^{2} + (4\sqrt{5})^{2}} = 10.$
$\because S_{△ AOB} = \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2}OA · OB,$
$\therefore OC = \frac{OA · OB}{AB} = \frac{2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}}{10} = 4.$
$\because \odot O$的半径为$4,\therefore OC$为$\odot O$的半径.
又$OC ⊥ AB,\therefore AB$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定、勾股定理、等面积法求高
【点评】
本题是切线证明的基础典型题，核心考查切线判定的两种常用思路的选择，当未明确直线与圆的公共点时，选择“作垂直、证半径”的方法即可解题，解题过程中结合勾股定理和等面积法计算垂线段长度，方法常规，实用性强。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AB为$\odot O$的直径，如果圆上的点D恰使$∠ ADC = ∠ B$，求证：直线CD与$\odot O$相切。
答案
1. 证明:如图,连接 OD.
∵ OA = OD,
∴ ∠A = ∠ODA.
∵ AB 为$\odot O$的直径,
∴ ∠ADB = 90°.
∴ ∠A + ∠B = 90°.
∵ ∠ADC = ∠B,
∴ ∠ODA + ∠ADC = 90°.
∴ ∠CDO = 90°.
∴ CD ⊥ OD.
∵ OD 是$\odot O$的半径,
∴ 直线 CD 与$\odot O$相切.
解析
【分析】
要证明直线CD与$\odot O$相切，根据切线的判定定理，需证明CD垂直于过点D的半径，因此第一步先作辅助线连接OD。接下来推导$∠ CDO=90°$即可：首先AB是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$，进而推出$∠ A+∠ B=90°$；再结合等腰三角形ODA中等边对等角的性质，得$∠ A=∠ ODA$，结合题目给出的$∠ ADC=∠ B$，通过角度代换即可证得$∠ ODA+∠ ADC=90°$，即$OD⊥ CD$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：如图，连接OD。
$\because OA = OD$，
$\therefore ∠ A = ∠ ODA$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$。
又$\because ∠ ADC = ∠ B$，
$\therefore ∠ ODA + ∠ ADC = 90°$，即$∠ CDO = 90°$，
$\therefore CD ⊥ OD$。
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore$直线CD与$\odot O$相切。
【答案】
1. 证明:如图,连接 OD.
∵ OA = OD,
∴ ∠A = ∠ODA.
∵ AB 为$\odot O$的直径,
∴ ∠ADB = 90°.
∴ ∠A + ∠B = 90°.
∵ ∠ADC = ∠B,
∴ ∠ODA + ∠ADC = 90°.
∴ ∠CDO = 90°.
∴ CD ⊥ OD.
∵ OD 是$\odot O$的半径,
∴ 直线 CD 与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的切线判定的基础题型，解题关键是掌握切线判定的常用辅助线作法：已知直线与圆的公共点时，连接圆心和公共点，证明该半径与直线垂直即可，解题过程用到角度代换的思路，是圆章节的常规考点。
【难度系数】
0.7
要证明直线CD与$\odot O$相切，根据切线的判定定理，需证明CD垂直于过点D的半径，因此第一步先作辅助线连接OD。接下来推导$∠ CDO=90°$即可：首先AB是圆的直径，根据直径所对圆周角为直角，可得$∠ ADB=90°$，进而推出$∠ A+∠ B=90°$；再结合等腰三角形ODA中等边对等角的性质，得$∠ A=∠ ODA$，结合题目给出的$∠ ADC=∠ B$，通过角度代换即可证得$∠ ODA+∠ ADC=90°$，即$OD⊥ CD$，满足切线的判定条件。
【解析】
证明：如图，连接OD。
$\because OA = OD$，
$\therefore ∠ A = ∠ ODA$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB = 90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$。
又$\because ∠ ADC = ∠ B$，
$\therefore ∠ ODA + ∠ ADC = 90°$，即$∠ CDO = 90°$，
$\therefore CD ⊥ OD$。
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore$直线CD与$\odot O$相切。
【答案】
1. 证明:如图,连接 OD.
∵ OA = OD,
∴ ∠A = ∠ODA.
∵ AB 为$\odot O$的直径,
∴ ∠ADB = 90°.
∴ ∠A + ∠B = 90°.
∵ ∠ADC = ∠B,
∴ ∠ODA + ∠ADC = 90°.
∴ ∠CDO = 90°.
∴ CD ⊥ OD.
∵ OD 是$\odot O$的半径,
∴ 直线 CD 与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的切线判定的基础题型，解题关键是掌握切线判定的常用辅助线作法：已知直线与圆的公共点时，连接圆心和公共点，证明该半径与直线垂直即可，解题过程用到角度代换的思路，是圆章节的常规考点。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1)实践与操作:用尺规作图法作$∠ A$的平分线$AD$交$BC$于点$D$;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点$D$为圆心,$DC$长为半径作$\odot D$. 求证:$AB$与$\odot D$相切.
(1)实践与操作:用尺规作图法作$∠ A$的平分线$AD$交$BC$于点$D$;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与证明:在(1)的条件下,以点$D$为圆心,$DC$长为半径作$\odot D$. 求证:$AB$与$\odot D$相切.
答案
2. (1) 解:如图,AD 即为所作.
(2) 证明:如图,过点 D 作$DE ⊥ AB$于点 E.
∵ AD 是$∠ CAB$的平分线,
$DC ⊥ AC$,$DE ⊥ AB$,
∴ DE = DC.
∴ DE 是$\odot D$的半径.
∵ DE ⊥ AB,
∴ AB 与$\odot D$相切.
解析
【分析】
(1) 第(1)问为基础尺规作图题，按照角平分线的尺规作图操作步骤作图，保留对应的作图痕迹，即可得到所求的角平分线AD。
(2) 第(2)问要证明AB与⊙D相切，可依据切线的判定规则：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。因此先过点D作AB的垂线段DE，得到圆心D到AB的距离；再利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，证明DE等于⊙D的半径DC，即可完成证明。
【解析】
(1) 角平分线尺规作图步骤：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠CAB内部交于一点，过点A和该交点作射线，交BC于点D，AD即为所求。
(2) 证明：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得DE=DC。
∵⊙D以DC为半径，
∴DE是⊙D的半径。
又
∵DE⊥AB，
∴AB与⊙D相切。
【答案】
2. (1) 解:如图,AD 即为所作.
(2) 证明:如图,过点 D 作$DE ⊥ AB$于点 E.
∵ AD 是$∠ CAB$的平分线,
$DC ⊥ AC$,$DE ⊥ AB$,
∴ DE = DC.
∴ DE 是$\odot D$的半径.
∵ DE ⊥ AB,
∴ AB 与$\odot D$相切.
【知识点】
角平分线尺规作图、角平分线的性质、切线的判定
【点评】
本题综合考查了尺规作图能力和几何证明能力，题目设置基础，作图部分考察基本操作规范，证明部分需要学生熟练掌握角平分线性质和切线判定的逻辑，是对基础知识点应用的典型考察题。
【难度系数】
0.8
(1) 第(1)问为基础尺规作图题，按照角平分线的尺规作图操作步骤作图，保留对应的作图痕迹，即可得到所求的角平分线AD。
(2) 第(2)问要证明AB与⊙D相切，可依据切线的判定规则：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。因此先过点D作AB的垂线段DE，得到圆心D到AB的距离；再利用角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，证明DE等于⊙D的半径DC，即可完成证明。
【解析】
(1) 角平分线尺规作图步骤：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠CAB内部交于一点，过点A和该交点作射线，交BC于点D，AD即为所求。
(2) 证明：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AD是∠CAB的平分线，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得DE=DC。
∵⊙D以DC为半径，
∴DE是⊙D的半径。
又
∵DE⊥AB，
∴AB与⊙D相切。
【答案】
2. (1) 解:如图,AD 即为所作.
(2) 证明:如图,过点 D 作$DE ⊥ AB$于点 E.
∵ AD 是$∠ CAB$的平分线,
$DC ⊥ AC$,$DE ⊥ AB$,
∴ DE = DC.
∴ DE 是$\odot D$的半径.
∵ DE ⊥ AB,
∴ AB 与$\odot D$相切.
【知识点】
角平分线尺规作图、角平分线的性质、切线的判定
【点评】
本题综合考查了尺规作图能力和几何证明能力，题目设置基础，作图部分考察基本操作规范，证明部分需要学生熟练掌握角平分线性质和切线判定的逻辑，是对基础知识点应用的典型考察题。
【难度系数】
0.8
3. (2025 枣庄)如图,在$△ OAB$中,点A在$\odot O$上,边OB交$\odot O$于点C,$AD ⊥ OB$于点D.AC是$∠ BAD$的平分线.
(1)求证:AB为$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为$2$,$∠ AOB = 45°$,求CB的长.
(1)求证:AB为$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为$2$,$∠ AOB = 45°$,求CB的长.
答案
3. (1) 证明:
∵ AD ⊥ OB,
∴ ∠ADB = 90°.
∵ AC 是$∠ BAD$的平分线,
∴ ∠DAC = ∠BAC.
∵ OA = OC,
∴ ∠OAC = ∠OCA.
∵ ∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC, ∠OCA = ∠B + ∠BAC,
∴ ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC.
∴ ∠OAD = ∠B.
∴ ∠OAB = ∠OAD + ∠BAD = ∠B + ∠BAD = 90°.
∵ OA 是$\odot O$的半径,且 AB ⊥ OA,
∴ AB 为$\odot O$的切线.
(2) 解:
∵ ∠OAB = 90°, ∠AOB = 45°,
∴ ∠B = ∠AOB = 45°.
∴ AB = OA.
∵ $\odot O$的半径为 2,
∴ AB = OA = OC = 2.
∴ $OB = \sqrt{AB^2 + OA^2} =\sqrt{2} OA = 2\sqrt{2}$.
∴ $CB = OB - OC = 2\sqrt{2} - 2$.
∵ AD ⊥ OB,
∴ ∠ADB = 90°.
∵ AC 是$∠ BAD$的平分线,
∴ ∠DAC = ∠BAC.
∵ OA = OC,
∴ ∠OAC = ∠OCA.
∵ ∠OAC = ∠OAD + ∠DAC = ∠OAD + ∠BAC, ∠OCA = ∠B + ∠BAC,
∴ ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC.
∴ ∠OAD = ∠B.
∴ ∠OAB = ∠OAD + ∠BAD = ∠B + ∠BAD = 90°.
∵ OA 是$\odot O$的半径,且 AB ⊥ OA,
∴ AB 为$\odot O$的切线.
(2) 解:
∵ ∠OAB = 90°, ∠AOB = 45°,
∴ ∠B = ∠AOB = 45°.
∴ AB = OA.
∵ $\odot O$的半径为 2,
∴ AB = OA = OC = 2.
∴ $OB = \sqrt{AB^2 + OA^2} =\sqrt{2} OA = 2\sqrt{2}$.
∴ $CB = OB - OC = 2\sqrt{2} - 2$.
解析
【分析】
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径OA垂直于AB即可。先由AD⊥OB得到直角，再结合角平分线性质、等腰三角形等边对等角的性质，通过角的和差关系推导得出$∠ OAB=90°$，即可完成证明。
(2) 由(1)可知$△ OAB$是直角三角形，结合$∠ AOB=45°$可判断$△ OAB$为等腰直角三角形，先利用勾股定理求出OB的长度，再用OB减去$\odot O$的半径OC，即可得到CB的长度。
【解析】
(1) 证明:
∵ $AD ⊥ OB$,
∴ $∠ ADB = 90°$.
∵ AC是$∠ BAD$的平分线,
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$.
∵ $OA = OC$,
∴ $∠ OAC = ∠ OCA$.
∵ $∠ OAC = ∠ OAD + ∠ DAC = ∠ OAD + ∠ BAC$, $∠ OCA = ∠ B + ∠ BAC$,
∴ $∠ OAD + ∠ BAC = ∠ B + ∠ BAC$,
∴ $∠ OAD = ∠ B$.
∴ $∠ OAB = ∠ OAD + ∠ BAD = ∠ B + ∠ BAD = 90°$.
∵ OA是$\odot O$的半径,且$AB ⊥ OA$,
∴ AB为$\odot O$的切线.
(2) 解:
∵ $∠ OAB = 90°$, $∠ AOB = 45°$,
∴ $∠ B = ∠ AOB = 45°$,
∴ $AB = OA$.
∵ $\odot O$的半径为2,
∴ $AB = OA = OC = 2$,
∴ $OB = \sqrt{AB^2 + OA^2} =\sqrt{2} OA = 2\sqrt{2}$,
∴ $CB = OB - OC = 2\sqrt{2} - 2$.
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练掌握切线的判定方法，能灵活运用角的等量代换、特殊直角三角形的性质求解，对逻辑推理能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AB是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，只需证明半径OA垂直于AB即可。先由AD⊥OB得到直角，再结合角平分线性质、等腰三角形等边对等角的性质，通过角的和差关系推导得出$∠ OAB=90°$，即可完成证明。
(2) 由(1)可知$△ OAB$是直角三角形，结合$∠ AOB=45°$可判断$△ OAB$为等腰直角三角形，先利用勾股定理求出OB的长度，再用OB减去$\odot O$的半径OC，即可得到CB的长度。
【解析】
(1) 证明:
∵ $AD ⊥ OB$,
∴ $∠ ADB = 90°$.
∵ AC是$∠ BAD$的平分线,
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$.
∵ $OA = OC$,
∴ $∠ OAC = ∠ OCA$.
∵ $∠ OAC = ∠ OAD + ∠ DAC = ∠ OAD + ∠ BAC$, $∠ OCA = ∠ B + ∠ BAC$,
∴ $∠ OAD + ∠ BAC = ∠ B + ∠ BAC$,
∴ $∠ OAD = ∠ B$.
∴ $∠ OAB = ∠ OAD + ∠ BAD = ∠ B + ∠ BAD = 90°$.
∵ OA是$\odot O$的半径,且$AB ⊥ OA$,
∴ AB为$\odot O$的切线.
(2) 解:
∵ $∠ OAB = 90°$, $∠ AOB = 45°$,
∴ $∠ B = ∠ AOB = 45°$,
∴ $AB = OA$.
∵ $\odot O$的半径为2,
∴ $AB = OA = OC = 2$,
∴ $OB = \sqrt{AB^2 + OA^2} =\sqrt{2} OA = 2\sqrt{2}$,
∴ $CB = OB - OC = 2\sqrt{2} - 2$.
【答案】
(1) AB为$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题核心是熟练掌握切线的判定方法，能灵活运用角的等量代换、特殊直角三角形的性质求解，对逻辑推理能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
