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10. (★)下列判断正确的是 (只填序号).
①若$m=n$,则$m+5=n+5$;②若$m=n≠0$,则$\frac{a}{m}=\frac{a}{n}$;③若$m=n$,则$\frac{m}{c^2+1}=\frac{n}{c^2+1}$;④若$x=2$,则$x^2=2x$;⑤若$mx=nx$,则$m=n$.
11. (★★)当$m^2=n^2$时,$m$与$n$的关系是 .
①若$m=n$,则$m+5=n+5$;②若$m=n≠0$,则$\frac{a}{m}=\frac{a}{n}$;③若$m=n$,则$\frac{m}{c^2+1}=\frac{n}{c^2+1}$;④若$x=2$,则$x^2=2x$;⑤若$mx=nx$,则$m=n$.
11. (★★)当$m^2=n^2$时,$m$与$n$的关系是 .
答案
10. $\boldsymbol{①②③④}$
11. $\boldsymbol{m与n相等或互为相反数（或m=\pm n）}$
11. $\boldsymbol{m与n相等或互为相反数（或m=\pm n）}$
解析
【分析】
这两道题主要围绕等式的基本性质和有理数平方的性质展开考查。解题思路如下：
第10题需结合等式的两条基本性质逐一判断每个说法：①验证等式两边加同一个数的情况；②③验证等式两边除以同一个数的情况，注意除数不能为0的前提；④代入验证或利用等式性质判断；⑤注意除数为0的特殊情况排除错误选项。
第11题根据乘方的运算特点，思考平方相等的两个数的关系，考虑相等和互为相反数两种情况即可。
【解析】
第10题
根据等式的基本性质逐一判断：
1. 对于①：根据等式性质1，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。若$m=n$，两边同时加5可得$m+5=n+5$，故①正确。
2. 对于②：已知$m=n≠0$，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。两边同时除以$m$（或$n$，二者相等且不为0），可得$\frac{a}{m}=\frac{a}{n}$，故②正确。
3. 对于③：由于任意实数的平方非负，即$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1≠0$，根据等式性质2，$m=n$两边同时除以$c^2+1$，可得$\frac{m}{c^2+1}=\frac{n}{c^2+1}$，故③正确。
4. 对于④：若$x=2$，等式两边同时乘$x$，可得$x^2=2x$，代入验证：左边$=2^2=4$，右边$=2×2=4$，等式成立，故④正确。
5. 对于⑤：若$mx=nx$，当$x=0$时，无论$m$、$n$取何值，等式都成立，此时$m$不一定等于$n$，故⑤错误。
第11题
根据有理数乘方的性质：互为相反数的两个数的平方相等，相等的两个数的平方也相等。因此当$m^2=n^2$时，存在两种情况：$m=n$，或者$m=-n$。
【答案】
10. $\boldsymbol{①②③④}$
11. $\boldsymbol{m与n相等或互为相反数（或m=\pm n）}$
【知识点】
等式的基本性质，乘方的性质
【点评】
这两类题是代数基础性质的典型应用，解题的易错点在于使用等式性质2时忽略除数不能为0的前提，以及判断平方相等的两个数的关系时漏记互为相反数的情况，需要准确理解性质的适用条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这两道题主要围绕等式的基本性质和有理数平方的性质展开考查。解题思路如下：
第10题需结合等式的两条基本性质逐一判断每个说法：①验证等式两边加同一个数的情况；②③验证等式两边除以同一个数的情况，注意除数不能为0的前提；④代入验证或利用等式性质判断；⑤注意除数为0的特殊情况排除错误选项。
第11题根据乘方的运算特点，思考平方相等的两个数的关系，考虑相等和互为相反数两种情况即可。
【解析】
第10题
根据等式的基本性质逐一判断：
1. 对于①：根据等式性质1，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立。若$m=n$，两边同时加5可得$m+5=n+5$，故①正确。
2. 对于②：已知$m=n≠0$，根据等式性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。两边同时除以$m$（或$n$，二者相等且不为0），可得$\frac{a}{m}=\frac{a}{n}$，故②正确。
3. 对于③：由于任意实数的平方非负，即$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1≠0$，根据等式性质2，$m=n$两边同时除以$c^2+1$，可得$\frac{m}{c^2+1}=\frac{n}{c^2+1}$，故③正确。
4. 对于④：若$x=2$，等式两边同时乘$x$，可得$x^2=2x$，代入验证：左边$=2^2=4$，右边$=2×2=4$，等式成立，故④正确。
5. 对于⑤：若$mx=nx$，当$x=0$时，无论$m$、$n$取何值，等式都成立，此时$m$不一定等于$n$，故⑤错误。
第11题
根据有理数乘方的性质：互为相反数的两个数的平方相等，相等的两个数的平方也相等。因此当$m^2=n^2$时，存在两种情况：$m=n$，或者$m=-n$。
【答案】
10. $\boldsymbol{①②③④}$
11. $\boldsymbol{m与n相等或互为相反数（或m=\pm n）}$
【知识点】
等式的基本性质，乘方的性质
【点评】
这两类题是代数基础性质的典型应用，解题的易错点在于使用等式性质2时忽略除数不能为0的前提，以及判断平方相等的两个数的关系时漏记互为相反数的情况，需要准确理解性质的适用条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12. (★)利用等式的性质解下列方程并检验.
(1)$-x-1=0$;
(2)$15=3x+6$;
(3)$8-1.5x=10$.
(1)$-x-1=0$;
(2)$15=3x+6$;
(3)$8-1.5x=10$.
答案
解：
(1) $-x-1=0$
根据等式的性质1，两边同时加1，得
$-x-1+1=0+1$
化简得 $-x=1$
根据等式的性质2，两边同时乘$-1$，得
$x=-1$
检验：把$x=-1$代入原方程，
左边$=-(-1)-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x=-1$是原方程的解。
(2) $15=3x+6$
根据等式的性质1，两边同时减6，得
$15-6=3x+6-6$
化简得 $9=3x$
根据等式的性质2，两边同时除以3，得
$3=x$，即$x=3$
检验：把$x=3$代入原方程，
左边$=15$，右边$=3×3+6=15$，
左边$=$右边，所以$x=3$是原方程的解。
(3) $8-1.5x=10$
根据等式的性质1，两边同时减8，得
$8-1.5x-8=10-8$
化简得 $-1.5x=2$
根据等式的性质2，两边同时除以$-1.5$，得
$x=-\dfrac{4}{3}$
检验：把$x=-\dfrac{4}{3}$代入原方程，
左边$=8-1.5×(-\dfrac{4}{3})=10$，右边$=10$，
左边$=$右边，所以$x=-\dfrac{4}{3}$是原方程的解。
(1) $-x-1=0$
根据等式的性质1，两边同时加1，得
$-x-1+1=0+1$
化简得 $-x=1$
根据等式的性质2，两边同时乘$-1$，得
$x=-1$
检验：把$x=-1$代入原方程，
左边$=-(-1)-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x=-1$是原方程的解。
(2) $15=3x+6$
根据等式的性质1，两边同时减6，得
$15-6=3x+6-6$
化简得 $9=3x$
根据等式的性质2，两边同时除以3，得
$3=x$，即$x=3$
检验：把$x=3$代入原方程，
左边$=15$，右边$=3×3+6=15$，
左边$=$右边，所以$x=3$是原方程的解。
(3) $8-1.5x=10$
根据等式的性质1，两边同时减8，得
$8-1.5x-8=10-8$
化简得 $-1.5x=2$
根据等式的性质2，两边同时除以$-1.5$，得
$x=-\dfrac{4}{3}$
检验：把$x=-\dfrac{4}{3}$代入原方程，
左边$=8-1.5×(-\dfrac{4}{3})=10$，右边$=10$，
左边$=$右边，所以$x=-\dfrac{4}{3}$是原方程的解。
解析
【分析】
这三道题均为利用等式性质求解一元一次方程的基础题型，解题思路清晰可遵循固定步骤：首先利用等式的性质1，把方程中的常数项移到等号的一侧，含未知数的项留在等号另一侧，完成初步化简；再利用等式的性质2，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解；最后要把求得的解代入原方程，分别计算左右两边的结果，验证两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) $-x-1=0$
根据等式的性质1，两边同时加1，得
$-x-1+1=0+1$
化简得 $-x=1$
根据等式的性质2，两边同时乘$-1$，得
$x=-1$
检验：把$x=-1$代入原方程，
左边$=-(-1)-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x=-1$是原方程的解。
(2) $15=3x+6$
根据等式的性质1，两边同时减6，得
$15-6=3x+6-6$
化简得 $9=3x$
根据等式的性质2，两边同时除以3，得
$3=x$，即$x=3$
检验：把$x=3$代入原方程，
左边$=15$，右边$=3×3+6=15$，
左边$=$右边，所以$x=3$是原方程的解。
(3) $8-1.5x=10$
根据等式的性质1，两边同时减8，得
$8-1.5x-8=10-8$
化简得 $-1.5x=2$
根据等式的性质2，两边同时除以$-1.5$，得
$x=-\dfrac{4}{3}$
检验：把$x=-\dfrac{4}{3}$代入原方程，
左边$=8-1.5×(-\dfrac{4}{3})=10$，右边$=10$，
左边$=$右边，所以$x=-\dfrac{4}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=3$；(3)$x=-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考察等式两条性质的规范应用，解题时要注意符号运算的准确性，养成解后检验的习惯，可有效降低运算错误。
【难度系数】
0.85
这三道题均为利用等式性质求解一元一次方程的基础题型，解题思路清晰可遵循固定步骤：首先利用等式的性质1，把方程中的常数项移到等号的一侧，含未知数的项留在等号另一侧，完成初步化简；再利用等式的性质2，将未知数的系数化为1，即可得到方程的解；最后要把求得的解代入原方程，分别计算左右两边的结果，验证两边是否相等，确认解的正确性。
【解析】
(1) $-x-1=0$
根据等式的性质1，两边同时加1，得
$-x-1+1=0+1$
化简得 $-x=1$
根据等式的性质2，两边同时乘$-1$，得
$x=-1$
检验：把$x=-1$代入原方程，
左边$=-(-1)-1=0$，右边$=0$，
左边$=$右边，所以$x=-1$是原方程的解。
(2) $15=3x+6$
根据等式的性质1，两边同时减6，得
$15-6=3x+6-6$
化简得 $9=3x$
根据等式的性质2，两边同时除以3，得
$3=x$，即$x=3$
检验：把$x=3$代入原方程，
左边$=15$，右边$=3×3+6=15$，
左边$=$右边，所以$x=3$是原方程的解。
(3) $8-1.5x=10$
根据等式的性质1，两边同时减8，得
$8-1.5x-8=10-8$
化简得 $-1.5x=2$
根据等式的性质2，两边同时除以$-1.5$，得
$x=-\dfrac{4}{3}$
检验：把$x=-\dfrac{4}{3}$代入原方程，
左边$=8-1.5×(-\dfrac{4}{3})=10$，右边$=10$，
左边$=$右边，所以$x=-\dfrac{4}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=-1$；(2)$x=3$；(3)$x=-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，重点考察等式两条性质的规范应用，解题时要注意符号运算的准确性，养成解后检验的习惯，可有效降低运算错误。
【难度系数】
0.85
13. (★★★)等式是用等号连接两个量或两个表达式,并表示它们相等关系的式子.比如,$3+6=9$,$x-5=1$,等等.
形如$3+6=9$和$0· x=0$的等式,在任何情况下,等号左、右两边的值永远相等,这类等式称为恒等式.
形如$x-5=1$和$2+x=4-y$的等式,在满足一定条件时,等号左、右两边的值才能相等,这类等式称为条件等式.
形如$5+2=8$和$0· x=4$的等式,在任何条件下,等号左、右两边的值永远不相等,这类等式称为矛盾等式.
请解决下列问题:
(1)下列各式,等式有(只填序号).
①$2x-1$;②$3+9=12$;③$x+2y-z=1$;④$4+x=x+4$.
(2)下列关于$x$的方程,是恒等式的有(只填序号).
①$2=2x-5$;②$2x+3=3+x+x$;③$4(x-1)=4x-4$.
(3)已知$4x-5=2y$,$x+20=2y$.将它们改写成只含有字母$x$的等式:.
(4)如果$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,$\frac{a}{c}=3$,那么$\frac{c}{b}=$.
(5)若无论$x$取何值,等式$ax-b-4x=8$永远成立,求$a,b$的值.
形如$3+6=9$和$0· x=0$的等式,在任何情况下,等号左、右两边的值永远相等,这类等式称为恒等式.
形如$x-5=1$和$2+x=4-y$的等式,在满足一定条件时,等号左、右两边的值才能相等,这类等式称为条件等式.
形如$5+2=8$和$0· x=4$的等式,在任何条件下,等号左、右两边的值永远不相等,这类等式称为矛盾等式.
请解决下列问题:
(1)下列各式,等式有(只填序号).
①$2x-1$;②$3+9=12$;③$x+2y-z=1$;④$4+x=x+4$.
(2)下列关于$x$的方程,是恒等式的有(只填序号).
①$2=2x-5$;②$2x+3=3+x+x$;③$4(x-1)=4x-4$.
(3)已知$4x-5=2y$,$x+20=2y$.将它们改写成只含有字母$x$的等式:.
(4)如果$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$,$\frac{a}{c}=3$,那么$\frac{c}{b}=$.
(5)若无论$x$取何值,等式$ax-b-4x=8$永远成立,求$a,b$的值.
答案
解：
(1) ②③④
(2) ②③
(3) $4x-5=x+20$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) 对等式变形整理得：$(a-4)x - b = 8$
因为无论$x$取何值，等式都永远成立，所以含$x$项的系数必须为0，剩余常数项满足等式要求：
$a-4=0$，解得$a=4$
将$a=4$代入等式，得$-b=8$，解得$b=-8$
综上，$a=4$，$b=-8$。
(1) ②③④
(2) ②③
(3) $4x-5=x+20$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) 对等式变形整理得：$(a-4)x - b = 8$
因为无论$x$取何值，等式都永远成立，所以含$x$项的系数必须为0，剩余常数项满足等式要求：
$a-4=0$，解得$a=4$
将$a=4$代入等式，得$-b=8$，解得$b=-8$
综上，$a=4$，$b=-8$。
解析
【分析】
解题时先明确题目给出的等式、恒等式的定义，结合等式的性质逐步求解各小问：
(1) 等式的核心是含有等号，表示相等关系，据此判断各式子是否为等式；
(2) 恒等式是无论未知数取何值，等号左右两边都相等的式子，将各方程左右化简，判断是否对任意x都成立即可；
(3) 两个式子都等于2y，根据等式的传递性，两个含x的式子相等，即可得到只含x的等式；
(4) 利用等式的性质，用含b的式子表示a，再代入第二个比例式，变形即可求出$\frac{c}{b}$的值；
(5) 等式对任意x都成立，说明含x的项的系数必须为0（否则x取不同值时左边结果会变化，无法恒等于右边的常数），剩余常数项需满足等式要求，据此列方程求解a、b即可。
【解析】
(1) 等式是用等号连接的表示相等关系的式子：①$2x-1$没有等号，是代数式，不是等式；②$3+9=12$、③$x+2y-z=1$、④$4+x=x+4$都含有等号，是等式。
(2) 恒等式是无论x取何值都成立的等式：
①$2=2x-5$，仅当$x=3.5$时成立，是条件等式；
②化简右边：$3+x+x=3+2x$，和左边$2x+3$完全相同，对任意x都成立，是恒等式；
③化简左边：$4(x-1)=4x-4$，和右边完全相同，对任意x都成立，是恒等式。
(3) 已知$4x-5=2y$，$x+20=2y$，两个式子都等于$2y$，因此可直接联立得到只含x的等式。
(4) 由$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$得$a=\frac{3}{5}b$，代入$\frac{a}{c}=3$得$\frac{\frac{3}{5}b}{c}=3$，变形得$\frac{3b}{5c}=3$，两边同时除以3得$\frac{b}{5c}=1$，即$b=5c$，因此$\frac{c}{b}=\frac{1}{5}$。
(5) 先整理等式$ax-b-4x=8$，合并含x的项得：$(a-4)x - b = 8$。
因为无论x取何值等式都成立，所以含x项的系数必须为0，剩余常数项需满足等式：
$a-4=0$，解得$a=4$；
将$a=4$代入等式，得$-b=8$，解得$b=-8$。
【答案】
(1) ②③④
(2) ②③
(3) $4x-5=x+20$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) $a=4$，$b=-8$
【知识点】
等式的定义，等式的性质，恒等式的判定
【点评】
本题结合新定义考查等式的相关基础知识点，解题关键是准确理解题目给出的恒等式等概念，灵活运用等式的性质进行变形计算，其中恒成立问题的核心是让未知项的系数为0，再根据常数项的关系求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目给出的等式、恒等式的定义，结合等式的性质逐步求解各小问：
(1) 等式的核心是含有等号，表示相等关系，据此判断各式子是否为等式；
(2) 恒等式是无论未知数取何值，等号左右两边都相等的式子，将各方程左右化简，判断是否对任意x都成立即可；
(3) 两个式子都等于2y，根据等式的传递性，两个含x的式子相等，即可得到只含x的等式；
(4) 利用等式的性质，用含b的式子表示a，再代入第二个比例式，变形即可求出$\frac{c}{b}$的值；
(5) 等式对任意x都成立，说明含x的项的系数必须为0（否则x取不同值时左边结果会变化，无法恒等于右边的常数），剩余常数项需满足等式要求，据此列方程求解a、b即可。
【解析】
(1) 等式是用等号连接的表示相等关系的式子：①$2x-1$没有等号，是代数式，不是等式；②$3+9=12$、③$x+2y-z=1$、④$4+x=x+4$都含有等号，是等式。
(2) 恒等式是无论x取何值都成立的等式：
①$2=2x-5$，仅当$x=3.5$时成立，是条件等式；
②化简右边：$3+x+x=3+2x$，和左边$2x+3$完全相同，对任意x都成立，是恒等式；
③化简左边：$4(x-1)=4x-4$，和右边完全相同，对任意x都成立，是恒等式。
(3) 已知$4x-5=2y$，$x+20=2y$，两个式子都等于$2y$，因此可直接联立得到只含x的等式。
(4) 由$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$得$a=\frac{3}{5}b$，代入$\frac{a}{c}=3$得$\frac{\frac{3}{5}b}{c}=3$，变形得$\frac{3b}{5c}=3$，两边同时除以3得$\frac{b}{5c}=1$，即$b=5c$，因此$\frac{c}{b}=\frac{1}{5}$。
(5) 先整理等式$ax-b-4x=8$，合并含x的项得：$(a-4)x - b = 8$。
因为无论x取何值等式都成立，所以含x项的系数必须为0，剩余常数项需满足等式：
$a-4=0$，解得$a=4$；
将$a=4$代入等式，得$-b=8$，解得$b=-8$。
【答案】
(1) ②③④
(2) ②③
(3) $4x-5=x+20$
(4) $\frac{1}{5}$
(5) $a=4$，$b=-8$
【知识点】
等式的定义，等式的性质，恒等式的判定
【点评】
本题结合新定义考查等式的相关基础知识点，解题关键是准确理解题目给出的恒等式等概念，灵活运用等式的性质进行变形计算，其中恒成立问题的核心是让未知项的系数为0，再根据常数项的关系求解。
【难度系数】
0.7
