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8. 某超市开展了“欢度端午，回馈顾客”的打折促销活动，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折。已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元。打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为多少元？
答案
8. 解:(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元,乙品牌粽子每盒y元，
由题意,得$\begin{cases} 6x+3y=600, \\ 50×0.8x+40×0.75y=5\ 200, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=40, \\ y=120。 \end{cases}$
答:打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为40元和120元。
由题意,得$\begin{cases} 6x+3y=600, \\ 50×0.8x+40×0.75y=5\ 200, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=40, \\ y=120。 \end{cases}$
答:打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为40元和120元。
解析
【分析】
这是一道利用二元一次方程组求解的实际应用问题，解题思路如下：首先提取题干中的两个等量关系：①打折前，6盒甲品牌粽子的总价与3盒乙品牌粽子的总价之和为600元；②打折后，50盒打八折的甲品牌粽子总价与40盒打七五折的乙品牌粽子总价之和为5200元。我们设打折前甲、乙品牌粽子每盒价格分别为x元、y元，根据两个等量关系列出方程组，再求解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
由题意，得：
$\begin{cases} 6x+3y=600 \\ 50×0.8x+40×0.75y=5200 \end{cases}$
先化简第二个方程可得：$40x+30y=5200$，即$4x+3y=520$
用第一个方程减去化简后的第二个方程：
$(6x+3y)-(4x+3y)=600-520$
解得$2x=80$，即$x=40$
将$x=40$代入$6x+3y=600$，得：
$6×40+3y=600$，解得$3y=360$，即$y=120$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=40 \\ y=120 \end{cases}$
答：打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为40元和120元。
【答案】
打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，打折销售问题，消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确提取题干中的等量关系，牢记打折销售中“售价=原价×折扣率”的计算规则，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
这是一道利用二元一次方程组求解的实际应用问题，解题思路如下：首先提取题干中的两个等量关系：①打折前，6盒甲品牌粽子的总价与3盒乙品牌粽子的总价之和为600元；②打折后，50盒打八折的甲品牌粽子总价与40盒打七五折的乙品牌粽子总价之和为5200元。我们设打折前甲、乙品牌粽子每盒价格分别为x元、y元，根据两个等量关系列出方程组，再求解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
由题意，得：
$\begin{cases} 6x+3y=600 \\ 50×0.8x+40×0.75y=5200 \end{cases}$
先化简第二个方程可得：$40x+30y=5200$，即$4x+3y=520$
用第一个方程减去化简后的第二个方程：
$(6x+3y)-(4x+3y)=600-520$
解得$2x=80$，即$x=40$
将$x=40$代入$6x+3y=600$，得：
$6×40+3y=600$，解得$3y=360$，即$y=120$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=40 \\ y=120 \end{cases}$
答：打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为40元和120元。
【答案】
打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，打折销售问题，消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是准确提取题干中的等量关系，牢记打折销售中“售价=原价×折扣率”的计算规则，熟练掌握二元一次方程组的解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产。他们购得规格是170 cm×40 cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二（如图5-3-1，单位：cm）裁下A型与B型两种板材。
图5-3-1
图5-3-2
(1)列出方程(组)，求出图5-3-1中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材作为侧面和底面，做成图5-3-2的竖式与横式两种礼品盒。
①两种裁法共产生A型板材
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个、横式无盖礼品盒y个，求x，y的值。
9. 我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产。他们购得规格是170 cm×40 cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二（如图5-3-1，单位：cm）裁下A型与B型两种板材。
图5-3-1
图5-3-2
(1)列出方程(组)，求出图5-3-1中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材作为侧面和底面，做成图5-3-2的竖式与横式两种礼品盒。
①两种裁法共产生A型板材
64
张，B型板材38
张；②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个、横式无盖礼品盒y个，求x，y的值。
答案
9. 解:(1)由题意,得$\begin{cases} 2a+b+10=170, \\ a+2b+30=170, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=60, \\ b=40。 \end{cases}$
(2)①64 38
②根据题意,做成竖式有盖礼品盒x个,横式无盖礼品盒y个，
则A型板材需要(4x+3y)个，B型板材需要(2x+2y)个，
所以$\begin{cases} 4x+3y=64, \\ 2x+2y=38, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=7, \\ y=12。 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=60, \\ b=40。 \end{cases}$
(2)①64 38
②根据题意,做成竖式有盖礼品盒x个,横式无盖礼品盒y个，
则A型板材需要(4x+3y)个，B型板材需要(2x+2y)个，
所以$\begin{cases} 4x+3y=64, \\ 2x+2y=38, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=7, \\ y=12。 \end{cases}$
解析
【分析】
（1）观察两种裁法的板材长度构成，标准板材总长为170cm，裁法一的总长度为2个a加1个b再加10cm的余量，裁法二的总长度为1个a加2个b再加30cm的余量，由此可得到两个等量关系，列二元一次方程组即可求出a、b的值。
（2）①先确定每张标准板材用裁法一、裁法二分别能产出的A型、B型板材数量，分别用对应裁法的张数乘单张产出量再求和，就能得到A、B型板材的总数量。
②分析两种礼品盒的板材用量：每个竖式有盖礼品盒需要4张A型板材做侧面、2张B型板材做上下盖；每个横式无盖礼品盒需要3张A型板材做侧面、2张B型板材做底面，结合①中得到的A、B型板材总数量列二元一次方程组，求解即可得到x、y的值。
【解析】
(1) 根据标准板材总长为170cm，结合两种裁法的长度构成，列方程组得：
$\begin{cases} 2a+b+10=170 \\ a+2b+30=170 \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases} 2a+b=160 ① \\ a+2b=140 ② \end{cases}$
①×2 - ②得：$4a+2b -a -2b=320-140$，即$3a=180$，解得$a=60$，
把$a=60$代入①得：$2×60 +b=160$，解得$b=40$。
(2) ①由裁法规则可知：每张裁法一产出2张A型板材、1张B型板材，每张裁法二产出1张A型板材、2张B型板材。
A型板材总数量：$30×2 +4×1=64$（张）
B型板材总数量：$30×1 +4×2=38$（张）
②根据两种礼品盒的板材用量，总A型板材用量为$4x+3y$，总B型板材用量为$2x+2y$，结合①的总板材数列方程组得：
$\begin{cases} 4x+3y=64 ① \\ 2x+2y=38 ② \end{cases}$
把②两边同时除以2得：$x+y=19$，变形为$x=19-y$ ③
把③代入①得：$4(19-y)+3y=64$
计算得：$76-4y+3y=64$，即$-y=-12$，解得$y=12$
把$y=12$代入③得：$x=19-12=7$
【答案】
(1) $\begin{cases} a=60 \\ b=40 \end{cases}$
(2) ①64；38 ②$\begin{cases} x=7 \\ y=12 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程组解法，等量关系分析
【点评】
本题结合生产实际场景设置问题，既考查了二元一次方程组的列式与计算能力，也要求结合物品结构分析用量，能有效提升数学建模意识和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）观察两种裁法的板材长度构成，标准板材总长为170cm，裁法一的总长度为2个a加1个b再加10cm的余量，裁法二的总长度为1个a加2个b再加30cm的余量，由此可得到两个等量关系，列二元一次方程组即可求出a、b的值。
（2）①先确定每张标准板材用裁法一、裁法二分别能产出的A型、B型板材数量，分别用对应裁法的张数乘单张产出量再求和，就能得到A、B型板材的总数量。
②分析两种礼品盒的板材用量：每个竖式有盖礼品盒需要4张A型板材做侧面、2张B型板材做上下盖；每个横式无盖礼品盒需要3张A型板材做侧面、2张B型板材做底面，结合①中得到的A、B型板材总数量列二元一次方程组，求解即可得到x、y的值。
【解析】
(1) 根据标准板材总长为170cm，结合两种裁法的长度构成，列方程组得：
$\begin{cases} 2a+b+10=170 \\ a+2b+30=170 \end{cases}$
整理方程组得：
$\begin{cases} 2a+b=160 ① \\ a+2b=140 ② \end{cases}$
①×2 - ②得：$4a+2b -a -2b=320-140$，即$3a=180$，解得$a=60$，
把$a=60$代入①得：$2×60 +b=160$，解得$b=40$。
(2) ①由裁法规则可知：每张裁法一产出2张A型板材、1张B型板材，每张裁法二产出1张A型板材、2张B型板材。
A型板材总数量：$30×2 +4×1=64$（张）
B型板材总数量：$30×1 +4×2=38$（张）
②根据两种礼品盒的板材用量，总A型板材用量为$4x+3y$，总B型板材用量为$2x+2y$，结合①的总板材数列方程组得：
$\begin{cases} 4x+3y=64 ① \\ 2x+2y=38 ② \end{cases}$
把②两边同时除以2得：$x+y=19$，变形为$x=19-y$ ③
把③代入①得：$4(19-y)+3y=64$
计算得：$76-4y+3y=64$，即$-y=-12$，解得$y=12$
把$y=12$代入③得：$x=19-12=7$
【答案】
(1) $\begin{cases} a=60 \\ b=40 \end{cases}$
(2) ①64；38 ②$\begin{cases} x=7 \\ y=12 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程组解法，等量关系分析
【点评】
本题结合生产实际场景设置问题，既考查了二元一次方程组的列式与计算能力，也要求结合物品结构分析用量，能有效提升数学建模意识和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. 某家电商城计划同时购进一批甲、乙两种型号的洗衣机，若购进1台甲型号洗衣机和2台乙型号洗衣机，共需要资金2600元；若购进2台甲型号洗衣机和3台乙型号洗衣机，共需要资金4400元。
(1)求甲、乙两种型号的洗衣机每台进价分别为多少元。
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的洗衣机共20台进行销售，其中甲型号洗衣机a台，甲型号洗衣机的售价为1400元，售出一台乙型号洗衣机获得的利润为进价的45%。为了促销，公司决定甲型号洗衣机九折出售，且每售出一台乙型号洗衣机，返还顾客现金m元，若全部售出购进的洗衣机所获得的利润与a无关，则m的值应为多少？
(1)求甲、乙两种型号的洗衣机每台进价分别为多少元。
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的洗衣机共20台进行销售，其中甲型号洗衣机a台，甲型号洗衣机的售价为1400元，售出一台乙型号洗衣机获得的利润为进价的45%。为了促销，公司决定甲型号洗衣机九折出售，且每售出一台乙型号洗衣机，返还顾客现金m元，若全部售出购进的洗衣机所获得的利润与a无关，则m的值应为多少？
答案
10. 解:(1)设甲型号洗衣机每台进价为x元,乙型号洗衣机每台进价为y元。依题意得
$\begin{cases} x+2y=2\ 600, \\ 2x+3y=4\ 400, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1\ 000, \\ y=800, \end{cases}$
所以甲型号洗衣机每台进价为1 000元,乙型号洗衣机每台进价为800元。
(2)设总利润为w元，
则$w=(1\ 400×0.9-1\ 000)a+(800×0.45-m)×(20-a)$，
整理得$w=(m-100)a+7\ 200-20m$。
因为所获得的利润与a无关，
所以$m-100=0$，
解得$m=100$，
所以若全部售出购进的洗衣机所获得的利润与a无关，则m的值为100。
$\begin{cases} x+2y=2\ 600, \\ 2x+3y=4\ 400, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1\ 000, \\ y=800, \end{cases}$
所以甲型号洗衣机每台进价为1 000元,乙型号洗衣机每台进价为800元。
(2)设总利润为w元，
则$w=(1\ 400×0.9-1\ 000)a+(800×0.45-m)×(20-a)$，
整理得$w=(m-100)a+7\ 200-20m$。
因为所获得的利润与a无关，
所以$m-100=0$，
解得$m=100$，
所以若全部售出购进的洗衣机所获得的利润与a无关，则m的值为100。
解析
【分析】
（1）第一问有两个明确的资金等量关系：①1台甲型号进价+2台乙型号进价=2600元；②2台甲型号进价+3台乙型号进价=4400元，我们可以设甲、乙两种型号洗衣机的进价分别为x元、y元，将两个等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组即可得到两种型号的进价。
（2）第二问首先明确总利润的计算逻辑：总利润=甲型号洗衣机的总利润+乙型号洗衣机的总利润。先分别计算单台甲、乙的实际利润，再结合两种型号的购进数量，列出总利润关于a的代数式，对代数式化简后，“利润与a无关”说明代数式中a的系数为0，据此列方程即可求出m的值。
【解析】
(1)设甲型号洗衣机每台进价为x元，乙型号洗衣机每台进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+2y=2600 \\ 2x+3y=4400 \end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得$x=2600-2y$，代入第二个方程：
$2(2600-2y)+3y=4400$
$5200-4y+3y=4400$
$-y=-800$，解得$y=800$
把$y=800$代入$x=2600-2y$，得$x=2600-2×800=1000$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1000 \\ y=800 \end{cases}$
(2)设全部售出后的总利润为w元，已知购进甲型号洗衣机a台，则购进乙型号洗衣机$(20-a)$台。
单台甲型号洗衣机的利润：九折后售价为$1400×0.9$元，减去进价1000元，即$1400×0.9 - 1000=260$元；
单台乙型号洗衣机的利润：原利润为$800×45\%$元，减去返还顾客的m元，即$(800×45\% - m)$元；
因此总利润：
$w=260a + (800×45\% - m)(20-a)$
$=260a + (360 - m)(20 - a)$
展开整理：
$w=260a + 7200 - 360a - 20m + ma$
$w=(m - 100)a + 7200 - 20m$
因为总利润与a无关，所以含a的项的系数为0，即：
$m - 100=0$
解得$m=100$
【答案】
(1)甲型号洗衣机每台进价为1000元，乙型号洗衣机每台进价为800元；
(2)m的值为100。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.销售利润计算
3.含参代数式与变量无关的条件
【点评】
本题是二元一次方程组与销售利润结合的典型应用题，第一问侧重考察提取题干等量关系、列方程组求解的基础能力，第二问需要准确梳理利润的计算规则，理解“利润与a无关”的数学含义，解题的核心是找准等量关系，正确列出代数式和方程。
【难度系数】
0.7
（1）第一问有两个明确的资金等量关系：①1台甲型号进价+2台乙型号进价=2600元；②2台甲型号进价+3台乙型号进价=4400元，我们可以设甲、乙两种型号洗衣机的进价分别为x元、y元，将两个等量关系转化为二元一次方程组，求解方程组即可得到两种型号的进价。
（2）第二问首先明确总利润的计算逻辑：总利润=甲型号洗衣机的总利润+乙型号洗衣机的总利润。先分别计算单台甲、乙的实际利润，再结合两种型号的购进数量，列出总利润关于a的代数式，对代数式化简后，“利润与a无关”说明代数式中a的系数为0，据此列方程即可求出m的值。
【解析】
(1)设甲型号洗衣机每台进价为x元，乙型号洗衣机每台进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+2y=2600 \\ 2x+3y=4400 \end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程得$x=2600-2y$，代入第二个方程：
$2(2600-2y)+3y=4400$
$5200-4y+3y=4400$
$-y=-800$，解得$y=800$
把$y=800$代入$x=2600-2y$，得$x=2600-2×800=1000$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1000 \\ y=800 \end{cases}$
(2)设全部售出后的总利润为w元，已知购进甲型号洗衣机a台，则购进乙型号洗衣机$(20-a)$台。
单台甲型号洗衣机的利润：九折后售价为$1400×0.9$元，减去进价1000元，即$1400×0.9 - 1000=260$元；
单台乙型号洗衣机的利润：原利润为$800×45\%$元，减去返还顾客的m元，即$(800×45\% - m)$元；
因此总利润：
$w=260a + (800×45\% - m)(20-a)$
$=260a + (360 - m)(20 - a)$
展开整理：
$w=260a + 7200 - 360a - 20m + ma$
$w=(m - 100)a + 7200 - 20m$
因为总利润与a无关，所以含a的项的系数为0，即：
$m - 100=0$
解得$m=100$
【答案】
(1)甲型号洗衣机每台进价为1000元，乙型号洗衣机每台进价为800元；
(2)m的值为100。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.销售利润计算
3.含参代数式与变量无关的条件
【点评】
本题是二元一次方程组与销售利润结合的典型应用题，第一问侧重考察提取题干等量关系、列方程组求解的基础能力，第二问需要准确梳理利润的计算规则，理解“利润与a无关”的数学含义，解题的核心是找准等量关系，正确列出代数式和方程。
【难度系数】
0.7
