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10. 小宏在求关于$x$的代数式$2(3x^2 - 2kx - 3k) - 6x^2 - 4x + 2$的值时，将不同的$x$的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则小宏算得的结果是
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。答案
原式$=6x^2 -4kx -6k -6x^2 -4x +2=(-4k-4)x+(-6k+2)$.由题意,得$-4k-4=0$,解得$k=-1$,所以原式$=-6×(-1)+2=6+2=8$.
11. 已知关于$x,y$的多项式$(2x^2+ax-y+6)-2(bx^2-2x+5y-1)$.
（1）若该多项式的值与$x$的取值无关，求$a,b$的值.
（2）在（1）的条件下，先化简多项式$2(a^2-ab-b^2)-(a^2+ab-2b^2)$，再求它的值.
（1）若该多项式的值与$x$的取值无关，求$a,b$的值.
（2）在（1）的条件下，先化简多项式$2(a^2-ab-b^2)-(a^2+ab-2b^2)$，再求它的值.
答案
（1）原式$=2x^2 +ax -y +6 -2bx^2 +4x -10y +2=(2-2b)x^2 +(a+4)x -11y +8$.因为多项式的值与$x$的取值无关,所以$a+4=0,2-2b=0$.所以$a=-4,b=1$.
（2）原式$=2a^2 -2ab -2b^2 -a^2 -ab +2b^2 =a^2 -3ab$.当$a=-4,b=1$时,原式$=(-4)^2 -3×(-4)×1=28$.
（2）原式$=2a^2 -2ab -2b^2 -a^2 -ab +2b^2 =a^2 -3ab$.当$a=-4,b=1$时,原式$=(-4)^2 -3×(-4)×1=28$.
12. 如果整式A与整式B的和为一个有理数a，那么称A，B为数a的“友好整式”.例如：$x - 4$与$-x + 5$为数1的“友好整式”.若关于x的整式$4x^3 - kx^2 + 6$与$-4x^3 - 3x^m + k - 1$为数n的“友好整式”，求$mn$的值.
答案
因为关于$x$的整式$4x^3 -kx^2 +6$与$-4x^3 -3x^m +k -1$为数$n$的“友好整式”,所以$4x^3 -kx^2 +6 -4x^3 -3x^m +k -1=-kx^2 -3x^m +5 +k =n$.所以$m=2,-k-3=0$,$5+k=n$.所以$m=2,k=-3,n=2$.所以$mn=2×2=4$.
13. 在数学课上,王老师出了这样一道题目:当 $a=\frac{1}{2},b=-3$ 时,求多项式 $2a^2+4ab+2b^2-2(a^2+2ab+b^2-1)$ 的值. 解完这道题目后,小明说:“$a=\frac{1}{2},b=-3$ 是多余的条件.”师生讨论后,一致认为小明的说法是正确的.
(1) 请说明该说法正确的原因.
(2) 受此启发,王老师又出了一道题目:已知无论 $x,y$ 取什么值,多项式 $2x^2 - my +12-(nx^2+3y-6)$ 的值都等于 18,求 $m+n$ 的值. 请解决这个问题.
(1) 请说明该说法正确的原因.
(2) 受此启发,王老师又出了一道题目:已知无论 $x,y$ 取什么值,多项式 $2x^2 - my +12-(nx^2+3y-6)$ 的值都等于 18,求 $m+n$ 的值. 请解决这个问题.
答案
（1）$2a^2 +4ab +2b^2 -2(a^2 +2ab +b^2 -1)=2a^2 +4ab +2b^2 -2a^2 -4ab -2b^2 +2=2$.所以该多项式的值为定值,与$a$和$b$的取值无关. 所以小明的说法是正确的.
（2）$2x^2 -my +12 -(nx^2 +3y -6)=2x^2 -my +12 -nx^2 -3y +6=(2-n)x^2 +(-m-3)y +18$.因为无论$x,y$取什么值,多项式$2x^2 -my +12 -(nx^2 +3y -6)$的值都等于18,所以$2-n=0,-m-3=0$.所以$n=2,m=-3$.所以$m+n=-3+2=-1$.
（2）$2x^2 -my +12 -(nx^2 +3y -6)=2x^2 -my +12 -nx^2 -3y +6=(2-n)x^2 +(-m-3)y +18$.因为无论$x,y$取什么值,多项式$2x^2 -my +12 -(nx^2 +3y -6)$的值都等于18,所以$2-n=0,-m-3=0$.所以$n=2,m=-3$.所以$m+n=-3+2=-1$.
