1[2026广东茂名质检,中]如图,有一块矩形木板ABCD,AB=13 dm,BC=8 dm,工人师傅在该木板上锯下一块宽为x dm的矩形木板MBCN,并将其拼接在剩下的矩形木板AMND的正下方,形成轴对称图形,其中M',B',C',N'分别与M,B,C,N对应.在这个新的组合木板上画圆,要使这个圆最大,则x的值可能是 ()

A.1
B.3
C.5
D.6

（第1题图）
（第2题图）

1.B 【解析】如图,设⊙O与AB相切于H,与CD的一个交点为E,连接OE,OH,延长HO交CD于F.设⊙O的半径为r dm,则OE=OH=r dm,OF=(8 - r) dm. 在Rt△OEF中,当点E与N'重合时,⊙O的面积最大,此时EF=4 dm,则有r²=(8-r)²+4²,
∴ r=5.由题意得{3+x≥5, 13-x≥10,
∴ 2≤x≤3,故选B.

2[2026江苏宿迁质检,中]如图,已知$\odot O$的直径为26,弦$AB=24$,动点$P,Q$在$\odot O$上,弦$PQ=10$,若点$M,N$分别是弦$AB,PQ$的中点,则线段$MN$的取值范围是 ()

A.$7≤ MN≤ 17$
B.$14≤ MN≤ 34$
C.$10≤ MN≤ 26$
D.$6≤ MN≤ 16$

2.A 【解析】如图,连接OM,ON,OA,OP.
∵ ⊙O的直径为26,
∴ OA=OP=13.
∵ 点M,N分别是弦AB,PQ的中点,AB=24,PQ=10,
∴ OM⊥AB,ON⊥PQ,AM=1/2 AB=12,PN=1/2 PQ=5,
∴ OM=√(AO²-AM²)=5,ON=√(PO²-PN²)=12.当AB//PQ时,M,O,N三点共线,此时,当AB,PQ位于点O的同侧时,线段MN的长最小,为ON-OM=12-5=7;当AB,PQ位于点O的异侧时,线段MN的长最大,为ON+OM=12+5=17,
∴ 线段MN的取值范围是7≤MN≤17,故选A.

3[2025山东济南期末,中]如图,将半径为8的$\odot O$沿AB折叠,$\overset{\frown}{AB}$恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,则折痕AB的长为 ()

A.$4\sqrt{10}$
B.$4\sqrt{15}$
C.12
D.$8\sqrt{3}$

(第3题图)
(第4题图)

3.B 【解析】如图,延长CO交AB于E,交⊙O于P.
∵ CE⊥AB,
∴ AE=BE=1/2 AB.连接OB.
∵ ⌢AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D,⊙O的半径为8,
∴ OD=CD=1/2 OC=4.
∵ 将半径为8的⊙O沿AB折叠,
∴ DE=PE=1/2 (PC-CD)=1/2×(8×2-4)=6,
∴ OE=DE-OD=6-4=2,
∴ BE=√(OB²-OE²)=√(8²-2²)=2√15,
∴ AB=2BE=4√15.故选B.
思路分析
延长CO交AB于E,交⊙O于P.由CO与AB垂直及垂径定理得到E为AB的中点,连接OB,构造直角三角形OBE.根据折叠的性质得出DE=PE=1/2(PC-CD),即可求出OE的长,根据勾股定理求出BE的长,进而得出AB的长.

4[2025江苏徐州质检,中]如图,AB是$\odot O$的直径,点C在$\odot O$上,$CD ⊥ AB$于点D,点E是$\odot O$上的动点(不与C重合),点F为CE的中点,若AD=3,CD=6,则DF的最大值为.

4.7.5 【解析】如图,延长CD交⊙O于点G,连接GE,OC.
∵ CD⊥AB,即CG⊥AB,且AB是⊙O的直径,
∴ CD=DG.又
∵ 点F为CE的中点,
∴ DF=1/2 GE.当GE为直径时,GE取得最大值,此时DF取得最大值.设⊙O的半径为r,则OD=r-3.在Rt△OCD中,OC²=OD²+CD²,
∴ r²=(r-3)²+6²,解得r=7.5,
∴ GE的最大值为15,
∴ DF的最大值为7.5,故答案为7.5.

5[中]已知吃刀深度为2 mm时，能在直径是
d mm的轴上铣出一块宽40 mm的平面(如图).
(1)求d的值.
(2)若吃刀深度增加到4 mm，求轴上铣出平面的宽度.

5.【解】(1)如图,设圆心为O,过点O作OC⊥AB于点C,OC的延长线交⊙O于点D,连接OA.
∵ OC⊥AB,AB=40,
∴ AC=BC=20.设OA=r mm.
∵ CD=2,
∴ OC=r-2.在Rt△AOC中,根据勾股定理得AC²+OC²=OA²,即20²+(r-2)²=r²,解得r=101,
∴ d=2×101=202,即d的值为202.
(2)如图.当CD=4时,OC=101-4=97.
∵ OC⊥AB,
∴ AC=BC.在Rt△AOC中,根据勾股定理得AC²+OC²=OA²,即AC²+97²=101²,解得AC=6√22,
∴ AB=12√22,
∴ 轴上铣出平面的宽度为12√22 mm.

6 思想方法 数形结合[较难]如图,在$\odot O$中,AB是直径,P为AB上一点,过点P作弦MN,$∠ NPB=45°$.
(1)若$AP=2$,$BP=6$,求MN的长.
(2)若$MP=3$,$NP=5$,求AB的长.
(3)当P在AB上运动时($∠ NPB=45°$不变),$\frac{PM^2 + PN^2}{AB^2}$的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请求出其范围.

备用图

6.【解】(1)如图,作OH⊥MN于H,连接ON.
∵ AP=2,BP=6,
∴ AB=8,
∴ OA=4,OP=2.在Rt△POH中,
∵ ∠OPH=45°,
∴ 易得OH=√2/2 OP=√2.在Rt△OHN中,
∵ ON=4,OH=√2,
∴ NH=√(NO²-OH²)=√(4²-(√2)²)=√14.
∵ OH⊥MN,
∴ HM=HN,
∴ MN=2NH=2√14.
(2)作OH⊥MN于H,连接ON,则HM=HN.
∵ MP=3,NP=5,
∴ MN=8,
∴ HM=HN=4,
∴ PH=1.在Rt△POH中,
∵ ∠OPH=45°,
∴ OH=PH=1.在Rt△OHN中,
∵ HN=4,OH=1,
∴ ON=√(OH²+NH²)=√17,
∴ AB=2ON=2√17.
(3)(PM²+PN²)/AB²的值不发生变化,为定值1/2.
作OH⊥MN于H,连接ON,则HM=HN.设圆的半径为R.在Rt△OHN中,OH²+NH²=ON²=R²,在Rt△POH中,
∵ ∠OPH=45°,
∴ OH=PH,
∴ PH²+NH²=R².
∵ PM²+PN²=(HM-PH)²+(NH+PH)²=(NH-PH)²+(NH+PH)²=2(PH²+NH²)=2R².又
∵ AB²=4R²,
∴ (PM²+PN²)/AB²=2R²/4R²=1/2,
∴ (PM²+PN²)/AB²的值不发生变化,为定值1/2.