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7. (安徽中考)甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“每满200减100”的促销方式,即购买商品的总金额满200元但不足400元,少付100元;满400元但不足600元,少付200元……乙商场按顾客购买商品的总金额打六折促销.
(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?
(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为$x(400≤ x＜600)$元,优惠后得到商家的优惠率为$p(p=\frac{优惠金额}{购买商品的总金额})$,写出$p$与$x$之间的函数解析式,并说明$p$随$x$的变化情况.
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是$x(200≤ x＜400)$元,你认为选择哪家商场购买商品花钱较少?请说明理由.
(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付多少钱?
(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为$x(400≤ x＜600)$元,优惠后得到商家的优惠率为$p(p=\frac{优惠金额}{购买商品的总金额})$,写出$p$与$x$之间的函数解析式,并说明$p$随$x$的变化情况.
(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是$x(200≤ x＜400)$元,你认为选择哪家商场购买商品花钱较少?请说明理由.
答案
7. (1)根据题意,得 $510-200=310$(元),即顾客在甲商场购买了510元的商品,付款时应付310元.
(2)$p$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $p=\dfrac{200}{x}$,$p$ 随 $x$ 的增大而减小.
(3)$\because$ 商品的标价为 $x(200≤ x＜400)$ 元,则在甲商场需花 $(x-100)$ 元,在乙商场需花 $0.6x$ 元,由 $x-100＞0.6x$,得 $250＜x＜400$,此时在乙商场花钱较少;由 $x-100＜0.6x$,得 $200≤ x＜250$,此时在甲商场花钱较少;由 $x-100=0.6x$,得 $x=250$,此时在两家商场花钱一样多.
(2)$p$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $p=\dfrac{200}{x}$,$p$ 随 $x$ 的增大而减小.
(3)$\because$ 商品的标价为 $x(200≤ x＜400)$ 元,则在甲商场需花 $(x-100)$ 元,在乙商场需花 $0.6x$ 元,由 $x-100＞0.6x$,得 $250＜x＜400$,此时在乙商场花钱较少;由 $x-100＜0.6x$,得 $200≤ x＜250$,此时在甲商场花钱较少;由 $x-100=0.6x$,得 $x=250$,此时在两家商场花钱一样多.
8. 改编题 阅读下面资料回答问题:
由$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0$,可得$a^2+b^2≥2ab$,当且仅当$a=b$时,等号成立.类似地,对于正数$a,b$,由$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}≥0$,可得$a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时,等号成立.因此对于函数$y=ax+\frac{b}{x}$(常数$a,b$及自变量$x$均大于0),$ax+\frac{b}{x}≥2\sqrt{ax·\frac{b}{x}}=2\sqrt{ab}$,当且仅当$ax=\frac{b}{x}$时,等号成立.
(1) 拟建一面积为400平方米的矩形污水处理池,池外圈(矩形的一周)建造价格为每米200元,中间两条隔墙建造价格为每米250元,池底建造价格为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).如图,设矩形的一边为$x$米,总造价$y$(元)关于$x$(米)的函数解析式为
(2) 一批货物随17列火车从A市均以$a$千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列火车之间的距离不得小于$(\frac{a}{20})^2$千米,这批货物全部运到B市最快需要
(3) ①已知函数$y_1=x+3(x＞-3)$与函数$y_2=(x+3)^2+9(x＞-3)$,当$x=$
②对于$x+\frac{9}{x-4}$,若$x＞4$,则当$x=$
由$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab≥0$,可得$a^2+b^2≥2ab$,当且仅当$a=b$时,等号成立.类似地,对于正数$a,b$,由$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}≥0$,可得$a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当$a=b$时,等号成立.因此对于函数$y=ax+\frac{b}{x}$(常数$a,b$及自变量$x$均大于0),$ax+\frac{b}{x}≥2\sqrt{ax·\frac{b}{x}}=2\sqrt{ab}$,当且仅当$ax=\frac{b}{x}$时,等号成立.
(1) 拟建一面积为400平方米的矩形污水处理池,池外圈(矩形的一周)建造价格为每米200元,中间两条隔墙建造价格为每米250元,池底建造价格为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).如图,设矩形的一边为$x$米,总造价$y$(元)关于$x$(米)的函数解析式为
$y=400x+\dfrac{360\ 000}{x}+32\ 000$
.当$x=$30
米时,处理池的总造价最低,为56 000
元.(2) 一批货物随17列火车从A市均以$a$千米/时的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列火车之间的距离不得小于$(\frac{a}{20})^2$千米,这批货物全部运到B市最快需要
8
小时,此时火车的运行速度为100
千米/时(火车长度忽略不计).(3) ①已知函数$y_1=x+3(x＞-3)$与函数$y_2=(x+3)^2+9(x＞-3)$,当$x=$
0
时,$\frac{y_2}{y_1}$的最小值是6
.②对于$x+\frac{9}{x-4}$,若$x＞4$,则当$x=$
7
时,该式取得最小值,最小值为10
.答案
8. (1)$y=400x+\dfrac{360\ 000}{x}+32\ 000$ 30 56 000
解析:根据题意,得 $y=200(2x+2×\dfrac{400}{x})+250×2×\dfrac{400}{x}+80×400=400x+\dfrac{360\ 000}{x}+32\ 000=400(x+\dfrac{900}{x})+32\ 000≥400×2\sqrt{x·\dfrac{900}{x}}+32\ 000=56\ 000$,当且仅当 $x=\dfrac{900}{x}$,即 $x=30$ 时,总造价最低,最低总造价为 56 000 元.
(2)8 100
解析:根据题意,得 $\dfrac{400}{a}+16×\dfrac{(\dfrac{a}{20})^2}{a}=\dfrac{400}{a}+\dfrac{a}{25}≥2\sqrt{\dfrac{400}{a}·\dfrac{a}{25}}=8$,当且仅当 $\dfrac{400}{a}=\dfrac{a}{25}$,即 $a=100$ 时取等号,即最快需要 8 小时,此时火车的运行速度为 100 千米/时.
(3)①0 6
解析:$\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{(x+3)^2+9}{x+3}=(x+3)+\dfrac{9}{x+3}≥2\sqrt{9}=6$,
$\therefore$ 当 $x+3=\dfrac{9}{x+3}$ 时,$\dfrac{y_2}{y_1}$ 有最小值,此时 $x=0$ 或 $x=-6$(舍去),
$\therefore x=0$ 时,$\dfrac{y_2}{y_1}$ 有最小值 6.
②7 10
解析:$\because x+\dfrac{9}{x-4}=x-4+\dfrac{9}{x-4}+4≥2\sqrt{(x-4)·\dfrac{9}{x-4}}+4=2\sqrt{9}+4=10$,当且仅当 $x-4=\dfrac{9}{x-4}$,即 $x=1$(舍去)或 $x=7$ 时等号成立,$\therefore$ 当 $x=7$ 时,该式取得最小值,最小值为 10.
解析:根据题意,得 $y=200(2x+2×\dfrac{400}{x})+250×2×\dfrac{400}{x}+80×400=400x+\dfrac{360\ 000}{x}+32\ 000=400(x+\dfrac{900}{x})+32\ 000≥400×2\sqrt{x·\dfrac{900}{x}}+32\ 000=56\ 000$,当且仅当 $x=\dfrac{900}{x}$,即 $x=30$ 时,总造价最低,最低总造价为 56 000 元.
(2)8 100
解析:根据题意,得 $\dfrac{400}{a}+16×\dfrac{(\dfrac{a}{20})^2}{a}=\dfrac{400}{a}+\dfrac{a}{25}≥2\sqrt{\dfrac{400}{a}·\dfrac{a}{25}}=8$,当且仅当 $\dfrac{400}{a}=\dfrac{a}{25}$,即 $a=100$ 时取等号,即最快需要 8 小时,此时火车的运行速度为 100 千米/时.
(3)①0 6
解析:$\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{(x+3)^2+9}{x+3}=(x+3)+\dfrac{9}{x+3}≥2\sqrt{9}=6$,
$\therefore$ 当 $x+3=\dfrac{9}{x+3}$ 时,$\dfrac{y_2}{y_1}$ 有最小值,此时 $x=0$ 或 $x=-6$(舍去),
$\therefore x=0$ 时,$\dfrac{y_2}{y_1}$ 有最小值 6.
②7 10
解析:$\because x+\dfrac{9}{x-4}=x-4+\dfrac{9}{x-4}+4≥2\sqrt{(x-4)·\dfrac{9}{x-4}}+4=2\sqrt{9}+4=10$,当且仅当 $x-4=\dfrac{9}{x-4}$,即 $x=1$(舍去)或 $x=7$ 时等号成立,$\therefore$ 当 $x=7$ 时,该式取得最小值,最小值为 10.
