4.「2026山东潍坊期中」小亮在测量一根电线杆的高度时，制订了如下的测量方案:如图，先在地面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止.此时，测得小亮眼睛P到地面MN的距离$PM=1.6\ \mathrm{m}$，小亮到O处的距离$MO=2\ \mathrm{m}$，电线杆底部N到O的距离$NO=15\ \mathrm{m}$，则电线杆的高度QN为（）


A.$12\ \mathrm{m}$
B.$15\ \mathrm{m}$
C.$18.75\ \mathrm{m}$
D.$30\ \mathrm{m}$

4.A 由题意得∠PMO=∠QNO=90°,∠POM=∠QON,
∴ △PMO∽△QNO,
∴ $\frac{PM}{QN}=\frac{MO}{NO}$,
∵ PM=1.6 m,MO=2 m,NO=15 m,
∴ $\frac{1.6}{QN}=\frac{2}{15}$,
∴ $QN=\frac{1.6×15}{2}=12(\mathrm{m})$.故选 A.

【分析】
这是相似三角形在实际测量中的应用问题，首先根据平面镜反射的原理，入射角等于反射角，可推出∠POM=∠QON；又因为小亮身高与电线杆都和地面垂直，可得∠PMO=∠QNO=90°，由此可判定△PMO与△QNO相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数据即可求出电线杆的高度。
【解析】
解：由题意得$∠ PMO=∠ QNO=90°$，
根据光的反射定律，入射角等于反射角，可知$∠ POM=∠ QON$，
$\therefore △ PMO ∽ △ QNO$，
$\therefore \frac{PM}{QN}=\frac{MO}{NO}$，
$\because PM=1.6\ \mathrm{m}$，$MO=2\ \mathrm{m}$，$NO=15\ \mathrm{m}$，
$\therefore \frac{1.6}{QN}=\frac{2}{15}$，
$\therefore QN=\frac{1.6×15}{2}=12(\mathrm{m})$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查相似三角形的相关知识，解题关键是找到对应相等的角判定三角形相似，再利用相似的性质列式求解，能帮助学生理解数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8

5. 聚焦中考项目式学习「2026福建漳州东山期中」根据背景素材，探究解决问题.
【项目主题】测算旗杆的高度.
【背景素材】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角$r$等于入射角$i$.这就是光的反射定律.

【问题解决1】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点$G$处，手电筒的光从平面镜上点$B$处反射后，恰好经过木板的上边缘点$F$，落在墙上的点$E$处，点$E$到地面的高度$DE=3.5\ \mathrm{m}$，点$F$到地面的高度$CF=1.5\ \mathrm{m}$，灯泡到木板的水平距离$AC=5.4\ \mathrm{m}$，木板到墙的水平距离$CD=4\ \mathrm{m}$.$A,B,C,D$在同一条直线上.

任务：
(1)小红求$BC$长度时用到的几何知识是.
(2)求灯泡到地面的高度$AG$.
【问题解决2】测量某广场旗杆的高度(旗杆$AB$垂直于地面)，携带的测量工具有皮尺、标杆(标杆比人高)和平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆$AB$的高度的方案(不能攀登旗杆)，在图3中画出测量示意图(不必写出测量过程)，写出测量数据(线段长度用$a,b,c,\dots$表示)，并根据你的测量方案，计算出旗杆$AB$的高度(结果用含$a,b,c,\dots$的式子表示).

5.解析 【问题解决1】(1)由题意可得$FC// DE$,则△BFC∽△BED,
∴ $\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{DE}$,
∴ $\frac{BC}{BC+4}=\frac{1.5}{3.5}$,
解得$BC=3\ \mathrm{m}$,
即$BC$的长为3 m.
故答案为相似三角形的判定和性质.
(2)
∵ $AC=5.4\ \mathrm{m}$,
∴ $AB=5.4-3=2.4(\mathrm{m})$,
由光在镜面反射中的反射角等于入射角,
可推出∠GBA=∠FBC,
又
∵ ∠FCB=∠GAB,
∴ △BGA∽△BFC,
∴ $\frac{AG}{AB}=\frac{FC}{BC}$,
∴ $\frac{AG}{2.4}=\frac{1.5}{3}$,解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$.
答:灯泡到地面的高度$AG$为1.2 m.
【问题解决2】(答案不唯一)如图.
①将平面镜放在E处,
②人CD走到适当的地方,刚好能从平面镜E中看到旗杆的顶部A,
③测出人的高度$CD=a$,人到平面镜的距离$DE=b$,平面镜到旗杆底部的距离$EB=c$,
④计算出旗杆的高度.
由题意得∠CDE=∠ABE=90°,∠CED=∠AEB,
∴ △CDE∽△ABE,
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$,即$\frac{a}{AB}=\frac{b}{c}$,
∴ $AB=\frac{ac}{b}$,即旗杆$AB$的高度为$\frac{ac}{b}$.

【分析】
问题解决1(1)中，FC和DE都垂直于地面，因此互相平行，可判定△BFC与△BED相似，借助相似三角形对应边成比例即可求解BC长度，用到的是相似三角形的判定和性质。
问题解决1(2)中，先结合AC的长度和已求出的BC长度计算出AB的长度，再根据光的反射定律得到角相等，结合两个直角可判定△BGA与△BFC相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出AG的高度。
问题解决2可选用平面镜法，利用光的反射定律构造两个相似的直角三角形，测量人高、人到平面镜的距离、平面镜到旗杆的距离三个数据，再通过相似三角形的性质推导旗杆高度即可。
【解析】
【问题解决1】
(1) 由题意可知$FC⊥ BD$，$DE⊥ BD$，因此$FC// DE$，可得$△ BFC ∽ △ BED$。
根据相似三角形的性质得$\frac{BC}{BD}=\frac{FC}{DE}$，代入已知数据得$\frac{BC}{BC+4}=\frac{1.5}{3.5}$，解得$BC=3\ \mathrm{m}$，因此用到的几何知识为相似三角形的判定和性质。
(2) 已知$AC=5.4\ \mathrm{m}$，因此$AB=AC-BC=5.4-3=2.4\ \mathrm{m}$。
根据光的反射定律，反射角等于入射角，可得$∠ GBA=∠ FBC$。
又$\because ∠ GAB=∠ FCB=90°$，$\therefore △ BGA ∽ △ BFC$。
根据相似三角形的性质得$\frac{AG}{AB}=\frac{FC}{BC}$，代入数据得$\frac{AG}{2.4}=\frac{1.5}{3}$，解得$AG=1.2\ \mathrm{m}$。
【问题解决2】
测量示意图：
测量数据：人的高度$CD=a$，人到平面镜的水平距离$DE=b$，平面镜到旗杆底部的水平距离$EB=c$。
推导：由题意得$∠ CDE=∠ ABE=90°$，根据光的反射定律可得$∠ CED=∠ AEB$，因此$△ CDE ∽ △ ABE$。
根据相似三角形的性质得$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$，即$\frac{a}{AB}=\frac{b}{c}$，解得$AB=\frac{ac}{b}$。
【答案】
(1) 相似三角形的判定和性质
(2) 灯泡到地面的高度$AG$为$1.2\ \mathrm{m}$
问题解决2：测量示意图见，测得人的高度为$a$，人到平面镜的距离为$b$，平面镜到旗杆底部的距离为$c$，旗杆高度为$\frac{ac}{b}$（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定与性质，光的反射定律
【点评】
本题结合跨学科的光的反射知识，考查相似三角形在实际测量场景中的应用，贴合生活实际，能锻炼学生将数学知识应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.65