8. [2025·淮北相山区期末]如图,矩形ABCD的四个顶点分别在直线$l_1,l_3,l_4,l_2$上,直线$l_1// l_2// l_3$且相邻两直线间距离相等.若$AB=6,BC=4$,则$l_2,l_3$之间的距离为 ()

A.5
B.$\frac{6}{5}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{24}{5}$

8.C

9.如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点，G为BC边上一点，AE，DG相交于点F。若$\frac{DF}{FG}=\frac{4}{5}$，则EF的长度是。

9.$\frac{2\sqrt{5}}{9}$

10. [教材P84习题22.2第11题改编]在$△ ABC$中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F.


(1)如图1，D是BC的中点，F是AD的中点，$DG// BE$交AC于点G，求证：$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$；
(2)如图2，若$BD:DC=1:4$，$AF:FD=3:2$，求$AE:EC$的值.

10.解:(1)$\because DG// BE$,D是BC的中点,
$\therefore CD=BD,\frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG},\therefore CG=EG$.
$\because F$是AD的中点,$DG// BE$,
$\therefore AF=DF,\frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD},\therefore AE=EG$,
$\therefore AE=CG=EG$,
$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$.
(2)过点D作$DH// BE$交AC于点H.
$\because BD:DC=1:4,DH// BE$,
$\therefore \frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4},\therefore CH=4HE$.
$\because AF:FD=3:2,DH// BE$,
$\therefore \frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2},\therefore AE=\frac{3}{2}HE$,
$\therefore AE:EC=(\frac{3}{2}HE):(HE+4HE)=3:10$.

11. 请阅读以下材料，并完成相应的任务.
材料:如图 1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,
则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.(角平分线分线段成比例定理)
下面是证明过程.
证明:如图 2,过点 C 作 CE//DA,交 BA 的
延长线于点 E……

任务:(1)将上面的证明过程补充完整；
(2)如图 3,在 Rt△ABC 中,AB＝6,BC＝8,
∠ABC＝90°,AD 平分∠BAC,求△ABD
的周长.

11.解:(1)过点C作$CE// DA$,交BA的延长线于点E,
$\therefore ∠ 1=∠ E,∠ 2=∠ ACE$.
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ E=∠ ACE$,
$\therefore AE=AC$.
$\because CE// DA,\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)$\because AB=6,BC=8,∠ ABC=90°$,
$\therefore AC=10$.
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$.
又$\because BC=8,\therefore BD=5,CD=3$,
$\therefore AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=3\sqrt{5}$,
$\therefore AB+BD+AD=6+3+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}$,
即$△ ABD$的周长为$9+3\sqrt{5}$.