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1. 如图，AB是河堤横断面的迎水坡，堤高AC=$\sqrt{3}$，斜坡AB=2，则斜坡AB的坡度为（
A.$\sqrt{3}:1$
B.$\sqrt{3}:3$
C.$2:1$
D.$1:2$
A
）A.$\sqrt{3}:1$
B.$\sqrt{3}:3$
C.$2:1$
D.$1:2$
答案
1.A
2.如图,某幼儿园内滑梯 AB 的长为 3 m,为安全起见,园长打算加长滑梯,将其倾斜角由$45°$降至$30°$.若点$D,B,C$在同一水平地面上,则加长后的滑梯$AD$的长为
(结果保留根号)
$3\sqrt{2}$
m.(结果保留根号)
答案
2.$3\sqrt{2}$
3. [教材P144例6改编]如图,某条高铁路基的横断面是四边形$ABCD$,$AD// BC$,路基顶$BC$宽10米,斜坡$AB$长15米,斜坡$AB$的坡角$α$是$32°$,斜坡$CD$的坡度$i=1:2.5$,则路基底$AD$的长为
43
米.(结果精确到1米,参考数据:$\sin 32°\approx 0.53$,$\cos 32°\approx 0.85$,$\tan 32°\approx 0.62$)答案
3.43
4. 根据《中小学生午休课桌椅通用技术要求》规定，午休椅子能展开成躺姿状态，靠背可放倒至$135°$以上。如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座$AB$平行于地面$CD$，支点$O$到地面的距离$OC$为$410$ mm，靠背$BE$的长为$520$ mm，若$∠ ABE=140°$，则点$E$到地面的距离$EF$的长为
（结果保留整数，参考数据：$\sin 40° \approx 0.64$，$\cos 40° \approx 0.77$，$\tan 40° \approx 0.84$）
743
mm.（结果保留整数，参考数据：$\sin 40° \approx 0.64$，$\cos 40° \approx 0.77$，$\tan 40° \approx 0.84$）
答案
4.743
5. [新课标—数学文化题][2025·合肥经开区一模]明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方面.书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示.已知$AB = AC = 2.5$米，$∠ BAC = 70°$，梯子的踏脚点为$D$，梯脚为点$C$，且$AC = 4AD$.请求出踏脚点$D$距地面$BC$的高度.（结果精确到0.1，参考数据：$\sin 55° \approx 0.82$，$\tan 55° \approx 1.43$）
答案
5.解:过点 D 作 $DF⊥ BC$,垂足为点 F.
$\because AB=AC=2.5,AC=4AD$,
$\therefore CD=AC+AD=\frac{5}{4}AC=\frac{25}{8}.$
$\because AB=AC,∠ BAC=70°$,
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=55°.$
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$CD=\frac{25}{8},\sin C=\frac{DF}{CD}$,
$\therefore DF=CD· \sin C\approx \frac{25}{8}× 0.82\approx 2.6$(米).
答:踏脚点 D 距地面 BC 的高度约为 2.6 米.
$\because AB=AC=2.5,AC=4AD$,
$\therefore CD=AC+AD=\frac{5}{4}AC=\frac{25}{8}.$
$\because AB=AC,∠ BAC=70°$,
$\therefore ∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=55°.$
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$CD=\frac{25}{8},\sin C=\frac{DF}{CD}$,
$\therefore DF=CD· \sin C\approx \frac{25}{8}× 0.82\approx 2.6$(米).
答:踏脚点 D 距地面 BC 的高度约为 2.6 米.
6. 直线$y=\frac{4}{3}x -5$的向上方向与$x$轴正方向所夹的锐角为$α$，则$\sinα$的值为（
A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
C
）A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
6.C
