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1[2026湖北咸宁期末,中]课本再现:我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(1)定理证明:为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图(1)),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在$□ ABCD$中,对角线$BD ⊥ AC$,垂足为$O$,求证:$□ ABCD$是菱形.
(2)知识应用:如图(2),在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$AD=10$,$AC=12$,$BD=16$.
①求证:$□ ABCD$是菱形;
②延长$BC$至点$E$,连接$OE$交$CD$于点$F$,若$∠ E=\frac{1}{4}∠ BCD$,求$△ OBE$的面积.
(1)定理证明:为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图(1)),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在$□ ABCD$中,对角线$BD ⊥ AC$,垂足为$O$,求证:$□ ABCD$是菱形.
(2)知识应用:如图(2),在$□ ABCD$中,对角线$AC,BD$相交于点$O$,$AD=10$,$AC=12$,$BD=16$.
①求证:$□ ABCD$是菱形;
②延长$BC$至点$E$,连接$OE$交$CD$于点$F$,若$∠ E=\frac{1}{4}∠ BCD$,求$△ OBE$的面积.
答案
(1)【证明】方法一:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ BO=DO.
又
∵ BD⊥AC,垂足为O,
∴ AC是BD的垂直平分线,
∴ AB=AD,
∴ □ABCD是菱形.
方法二:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AO=CO.
∵ BD⊥AC,
∴ ∠AOB=∠COB=90°.
在△AOB和△COB中,$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COB, \\ BO=BO, \end{cases}$
∴ △AOB≌△COB(SAS),
∴ AB=CB,
∴ 四边形ABCD是菱形.(任选一种方法证明即可)
(2)①【证明】
∵ 四边形ABCD是平行四边形,AD=10,AC=12,BD=16,
∴ DO=BO=$\frac{1}{2}$BD=8,AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=6.
在△AOD中,AD²=100,AO²+OD²=6²+8²=100,
∴ AD²=AO²+OD²,
∴ △AOD是直角三角形,且∠AOD=90°,
∴ AC⊥BD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
②【解】
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ ∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD.
∵ ∠E=$\frac{1}{4}$∠BCD,
∴ ∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵ ∠ACB=∠E+∠COE,
∴ ∠E=∠COE,
∴ CE=CO=$\frac{1}{2}$AC=6.
如图所示,过点O作OG⊥BE于点G.
∵ $S_{△BOC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}BC·OG$,BC=AD=10,
∴ OG=$\frac{OB·OC}{BC}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$,
∴ $S_{△OBE}=\frac{1}{2}BE·OG=\frac{1}{2}×(10+6)×\frac{24}{5}=\frac{192}{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形，核心是证明平行四边形有一组邻边相等，可结合平行四边形对角线互相平分的性质，通过垂直平分线的性质或三角形全等推导邻边相等，再依据菱形定义即可得证。
(2)①已知平行四边形的边长和对角线长，先利用平行四边形对角线互相平分的性质求出两条对角线一半的长度，再用勾股定理逆定理证明对角线互相垂直，结合(1)的判定定理即可证得菱形。
②先利用菱形对角线平分一组对角的性质，结合给出的角度数量关系推导得出CE=CO，再通过等积法求出点O到BE的高，最后结合BE的长度计算△OBE的面积即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BO=DO。
又
∵ BD⊥AC，垂足为O，
∴ AC是BD的垂直平分线，
∴ AB=AD，
∴ ABCD是菱形。
（或用全等法证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO。
∵ BD⊥AC，
∴ ∠AOB=∠COB=90°。
在△AOB和△COB中，$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COB, \\ BO=BO, \end{cases}$
∴ △AOB≌△COB(SAS)，
∴ AB=CB，
∴ 四边形ABCD是菱形。）
(2)①证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD=10，AC=12，BD=16，
∴ DO=BO=$\frac{1}{2}$BD=8，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=6。
在△AOD中，AD²=100，AO²+OD²=6²+8²=100，
∴ AD²=AO²+OD²，
∴ △AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，
∴ AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形。
②解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD，BC=AD=10。
∵ ∠E=$\frac{1}{4}$∠BCD，
∴ ∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB。
∵ ∠ACB=∠E+∠COE，
∴ ∠E=∠COE，
∴ CE=CO=$\frac{1}{2}$AC=6，
∴ BE=BC+CE=10+6=16。
过点O作OG⊥BE于点G，
∵ $S_{△BOC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}BC·OG$，
∴ $OG=\frac{OB·OC}{BC}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∴ $S_{△OBE}=\frac{1}{2}BE·OG=\frac{1}{2}×16×\frac{24}{5}=\frac{192}{5}$。
【答案】
(1)证明过程见上述解析（任选一种方法即可）；
(2)①证明过程见上述解析；
②$\frac{192}{5}$
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题从菱形判定定理的推导入手，延伸到定理的实际应用，既考查了几何定理的基础证明逻辑，又结合了角度关系推导、等积法求高、三角形面积计算等考点，能有效检验对平行四边形、菱形相关性质和判定的掌握情况。
【难度系数】
0.6
(1)要证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形，核心是证明平行四边形有一组邻边相等，可结合平行四边形对角线互相平分的性质，通过垂直平分线的性质或三角形全等推导邻边相等，再依据菱形定义即可得证。
(2)①已知平行四边形的边长和对角线长，先利用平行四边形对角线互相平分的性质求出两条对角线一半的长度，再用勾股定理逆定理证明对角线互相垂直，结合(1)的判定定理即可证得菱形。
②先利用菱形对角线平分一组对角的性质，结合给出的角度数量关系推导得出CE=CO，再通过等积法求出点O到BE的高，最后结合BE的长度计算△OBE的面积即可。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BO=DO。
又
∵ BD⊥AC，垂足为O，
∴ AC是BD的垂直平分线，
∴ AB=AD，
∴ ABCD是菱形。
（或用全等法证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO。
∵ BD⊥AC，
∴ ∠AOB=∠COB=90°。
在△AOB和△COB中，$\begin{cases} AO=CO, \\ ∠AOB=∠COB, \\ BO=BO, \end{cases}$
∴ △AOB≌△COB(SAS)，
∴ AB=CB，
∴ 四边形ABCD是菱形。）
(2)①证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD=10，AC=12，BD=16，
∴ DO=BO=$\frac{1}{2}$BD=8，AO=CO=$\frac{1}{2}$AC=6。
在△AOD中，AD²=100，AO²+OD²=6²+8²=100，
∴ AD²=AO²+OD²，
∴ △AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，
∴ AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形。
②解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD，BC=AD=10。
∵ ∠E=$\frac{1}{4}$∠BCD，
∴ ∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB。
∵ ∠ACB=∠E+∠COE，
∴ ∠E=∠COE，
∴ CE=CO=$\frac{1}{2}$AC=6，
∴ BE=BC+CE=10+6=16。
过点O作OG⊥BE于点G，
∵ $S_{△BOC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}BC·OG$，
∴ $OG=\frac{OB·OC}{BC}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∴ $S_{△OBE}=\frac{1}{2}BE·OG=\frac{1}{2}×16×\frac{24}{5}=\frac{192}{5}$。
【答案】
(1)证明过程见上述解析（任选一种方法即可）；
(2)①证明过程见上述解析；
②$\frac{192}{5}$
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理逆定理
【点评】
本题从菱形判定定理的推导入手，延伸到定理的实际应用，既考查了几何定理的基础证明逻辑，又结合了角度关系推导、等积法求高、三角形面积计算等考点，能有效检验对平行四边形、菱形相关性质和判定的掌握情况。
【难度系数】
0.6
2[2026江苏宿迁质检,中]【数学概念】
如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上(不与矩形的顶点重合),那么称这个菱形是该矩形的内接菱形.
【初步认识】
(1)如图(1),矩形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形.
【深入思考】
(2)如图(2),矩形ABCD中,E是边AB上的一点.用直尺和圆规作矩形ABCD的内接菱形EFGH,使点F,G,H分别在BC,CD,DA上;(保留作图痕迹,不写作法)
(3)已知点E为矩形ABCD的边AB上一点,且AE=2,BE=1,AD=a.若矩形ABCD存在以点E为顶点的内接菱形,则a的取值范围是
如果一个菱形的四个顶点分别在一个矩形的四条边上(不与矩形的顶点重合),那么称这个菱形是该矩形的内接菱形.
【初步认识】
(1)如图(1),矩形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形.
【深入思考】
(2)如图(2),矩形ABCD中,E是边AB上的一点.用直尺和圆规作矩形ABCD的内接菱形EFGH,使点F,G,H分别在BC,CD,DA上;(保留作图痕迹,不写作法)
(3)已知点E为矩形ABCD的边AB上一点,且AE=2,BE=1,AD=a.若矩形ABCD存在以点E为顶点的内接菱形,则a的取值范围是
a＞√3
.答案
(1)【证明】连接AC,BD,如图(1).
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ AC=BD.
∵ E,H分别是AB,DA的中点,
∴ EH为△ABD的中位线,
∴ EH=$\frac{1}{2}$BD.
同理可得FG=$\frac{1}{2}$BD,EF=$\frac{1}{2}$AC,GH=$\frac{1}{2}$AC,
∴ EH=EF=FG=GH,
∴ 四边形EFGH为菱形.
∵ E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴ 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形.
(2)【解】四边形EFGH即为所求作,如图(2).
(3)如图(3),四边形AECF为矩形ABCD的内接菱形,则AE=CF=AF=2.
∵ AB=CD,
∴ BE=DF=1,
∴ AD=$\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∵ 矩形的内接菱形的四个顶点不与矩形的顶点重合,
∴ AD＞$\sqrt{3}$,
∴ a的取值范围为a＞$\sqrt{3}$.故答案为a＞$\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形EFGH是矩形的内接菱形，需同时满足两个条件：一是四个顶点在矩形四条边上且不与矩形顶点重合（题目已给出四点为各边中点，满足该要求）；二是四边形EFGH为菱形。可通过连接矩形对角线，利用三角形中位线定理，结合矩形对角线相等的性质，证明四边形四边相等即可得证是菱形。
(2) 作内接菱形依据菱形对角线互相垂直平分的性质：先连接EG，作EG的垂直平分线，分别交BC、AD于F、H，顺次连接各点即可得到所求菱形。
(3) 求a的取值范围需分析临界情况：当菱形顶点接近矩形顶点时为临界状态，此时利用菱形边相等的性质结合勾股定理算出临界的AD长度，再结合内接菱形顶点不与矩形顶点重合的要求，即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 证明：连接AC、BD，如图(1)。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AC=BD。
∵ E、H分别是AB、DA的中点，
∴ EH为△ABD的中位线，
∴ EH=$\frac{1}{2}$BD。
同理可得FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴ EH=EF=FG=GH，
∴ 四边形EFGH为菱形。
∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，在矩形四条边上且不与顶点重合，
∴ 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形。
(2) 先连接EG，作线段EG的垂直平分线分别交BC于F、交AD于H，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH即为所求作图形。
(3) 解：取临界状态，四边形AECF为矩形ABCD的内接菱形，则AE=CF=AF=2。
∵ AB=CD，
∴ BE=DF=1，
在Rt△ADF中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 矩形的内接菱形的四个顶点不与矩形的顶点重合，
∴ AD＞$\sqrt{3}$，即a＞$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，证明成立；
(2)
(3) $a＞\sqrt{3}$
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 菱形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题以新定义题型为载体，综合考查了特殊四边形的性质判定、尺规作图、临界值分析等内容，既考察基础几何证明能力，也对动手操作能力和逻辑思维能力有一定要求，是典型的几何综合类基础题。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明四边形EFGH是矩形的内接菱形，需同时满足两个条件：一是四个顶点在矩形四条边上且不与矩形顶点重合（题目已给出四点为各边中点，满足该要求）；二是四边形EFGH为菱形。可通过连接矩形对角线，利用三角形中位线定理，结合矩形对角线相等的性质，证明四边形四边相等即可得证是菱形。
(2) 作内接菱形依据菱形对角线互相垂直平分的性质：先连接EG，作EG的垂直平分线，分别交BC、AD于F、H，顺次连接各点即可得到所求菱形。
(3) 求a的取值范围需分析临界情况：当菱形顶点接近矩形顶点时为临界状态，此时利用菱形边相等的性质结合勾股定理算出临界的AD长度，再结合内接菱形顶点不与矩形顶点重合的要求，即可得到a的取值范围。
【解析】
(1) 证明：连接AC、BD，如图(1)。
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ AC=BD。
∵ E、H分别是AB、DA的中点，
∴ EH为△ABD的中位线，
∴ EH=$\frac{1}{2}$BD。
同理可得FG=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
∴ EH=EF=FG=GH，
∴ 四边形EFGH为菱形。
∵ E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，在矩形四条边上且不与顶点重合，
∴ 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形。
(2) 先连接EG，作线段EG的垂直平分线分别交BC于F、交AD于H，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH即为所求作图形。
(3) 解：取临界状态，四边形AECF为矩形ABCD的内接菱形，则AE=CF=AF=2。
∵ AB=CD，
∴ BE=DF=1，
在Rt△ADF中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
∵ 矩形的内接菱形的四个顶点不与矩形的顶点重合，
∴ AD＞$\sqrt{3}$，即a＞$\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，证明成立；
(2)
(3) $a＞\sqrt{3}$
【知识点】
1. 矩形的性质
2. 菱形的判定与性质
3. 勾股定理
【点评】
本题以新定义题型为载体，综合考查了特殊四边形的性质判定、尺规作图、临界值分析等内容，既考察基础几何证明能力，也对动手操作能力和逻辑思维能力有一定要求，是典型的几何综合类基础题。
【难度系数】
0.6
