1. (情境素材) 小亮准备从A地前往B地，打开导航，显示两地之间的距离为37.7 km，但导航提供的三条可选路线的路程却分别为45 km，50 km，51 km. 能解释这一现象的数学知识是（）

A.两点之间，线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.经过一点有无数条直线

1. A

2. 规律探究 如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2026次.移动规则如下：第n次移动n个顶点(如第1次移动1个顶点，跳棋停留在点B处；第2次移动2个顶点，跳棋停留在点D处).按这样的规则，在这2026次移动中，跳棋不可能停留的顶点是 （）

A.C,E
B.E,F
C.C,E,F
D.C,E,G

（第2题）（第3题）

2. C 解析:由题意,得跳棋第1次移动到点B,第2次移动到点D,第3次移动到点G,第4次移动到点D,第5次移动到点B,第6次移动到点A,第7次移动到点A,第8次移动到点B,第9次移动到点D,第10次移动到点G,第11次移动到点D,第12次移动到点B,第13次移动到点A,第14次移动到点A……依此规律可知,当次序为7n+1或7n+5(n为自然数)时,跳棋移动到点B;当次序为7n+2或7n+4时,跳棋移动到点D;当次序为7n+3时,跳棋移动到点G;当次序为7n或7n+6时,跳棋移动到点A,所以在这2026次移动中,跳棋不可能停留的顶点是C,E,F.

3. 传统文化 空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹制作方法和玩法的记述，明定陵中也有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行了至少600年。如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，把它抽象成如图②所示的数学问题：已知$AB// CD$，$∠ E=25°$，$∠ ECD=105°$，则$∠ A$的度数为。

3. 80° 解析:延长DC交AE于点F.因为∠E+∠EFC+∠ECF=180°,∠ECD+∠ECF=180°,所以∠ECD=∠E+∠EFC.因为∠E=25°,∠ECD=105°,所以∠EFC=∠ECD-∠E=80°.因为AB//CD,所以∠A=∠EFC=80°.

4. 新定义 已知$∠ MON=40°$，$OE$平分$∠ MON$，$A,B,C$分别是射线$OM,OE,ON$上的动点(点$A,B,C$不与点$O$重合)，连接$AB,AC$，$AC$交射线$OE$于点$D$.设$∠ BAC=α$.
(1) 如图①，已知$AB// ON$.
① $∠ ABO$的度数是________；
② 当$∠ BAC=∠ ABD$时，$∠ OAC$的度数是________；当$∠ BAC=∠ BDA$时，$∠ OAC$的度数是________；
(2) 在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，则我们称这样的四边形为“完美四边形”.如图②，若$AB⊥ OM$，延长$AB$交射线$ON$于点$F$.当四边形$DCFB$为“完美四边形”时，求$α$的值.

4. (1) ① 20° ② 120° 60°
(2) 因为$AB⊥ OM$,$∠MON=40°$,$OE$平分$∠MON$,所以$∠OAB=90°$,$∠MOE=∠NOE=\frac{1}{2}∠MON=20°$,所以$∠ABO = 180° - ∠MOE - ∠OAB = 70°$,$∠AFO=180°-∠MON-∠OAB=50°$.因为四边形DCFB为“完美四边形”,所以分类讨论如下:① 当点C在点F左边时,$∠DBF=180°-∠ABO=110°$.因为$∠BDC = ∠ADO = 180° - ∠MOE - ∠OAC = 160°-∠OAC$,$∠OAC＜90°$,所以$∠BDC＞70°$,所以$∠AFO＜2∠BDC$.若$∠DCF=2∠DBF=220°$,则$∠DCF+∠DBF+∠AFO=370°＞360°$,不合题意,舍去;若$∠BDC=2∠AFO=100°$,则$∠OAC=160°-∠BDC=60°$,所以$∠BAC=∠OAB-∠OAC=30°$,即$α=30°$;若$∠DBF=2∠DCF=110°$,则$∠DCF=\frac{1}{2}∠DBF = 55°$,所以$∠BAC = 180° - ∠BFC - ∠DCF=75°$,即$α=75°$;② 如图,当点C在点F右边时,易得$∠BDC＞110°$,$∠ACF＜50°$,$∠BFC=180°-∠AFO=130°$,$∠DBF=∠ABO=70°$,所以$∠BFC≠2∠BDC$,$∠ACF≠2∠DBF$.若$∠BDC=2∠BFC=260°$,则$∠BDC+∠BFC=390°＞360°$,不合题意,舍去;若$∠DBF=2∠ACF=70°$,则$∠ACF=\frac{1}{2}∠DBF=35°$,所以$∠BAC=180°-∠ACF-∠BFC=15°$,即$α=15°$.综上所述,当四边形DCFB为“完美四边形”时,$α$的值是$30°$或$75°$或$15°$.