1.已知一次函数$y=kx+b$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于点$A(3,a)$，$B(14-2a,2)$，如图所示.
(1)反比例函数的表达式为；
(2)若一次函数图象与$y$轴交于点$C$，点$D$为点$C$关于$x$轴的对称点，则$△ ACD$的面积为.

1.(1)$y=\frac{12}{x}$ (2)18
【点拨】(1)$\because$点$A(3,a),B(14-2a,2)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，$\therefore 3× a=(14-2a)×2$，解得$a=4$.$\therefore m=3×4=12$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)$\because a=4$，$\therefore$点$A,B$的坐标分别为$(3,4),(6,2)$.
将点$A(3,4),B(6,2)$的坐标分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}4=3k+b,\\2=6k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=6.\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+6$.当$x=0$时，$y=6$，$\therefore C(0,6)$.$\therefore OC=6$.$\because$点$D$为点$C$关于$x$轴的对称点，$\therefore OC=OD$.$\therefore CD=2OC=12$.$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD· x_A=\frac{1}{2}×12×3=18$.

2. ⋄⋄ 新考法 作差法 如图，已知直线 $ l: y = x + 4 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＜ 0) $ 的图象交于点 $ A(-1, n) $，直线 $ l' $ 经过点 $ A $，且与 $ l $ 关于直线 $ x = -1 $ 对称.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 求图中阴影部分的面积.

2.【解】(1)$\because$点$A(-1,n)$在直线$l:y=x+4$上，$\therefore n=-1+4=3$.$\therefore A(-1,3)$.
$\because$点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，$\therefore k=-1×3=-3$.
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$.
(2)如图，易知直线$l:y=x+4$与$x$轴、$y$轴的交点分别为$B(-4,0),C(0,4)$，则$OB=OC=4$.$\because$直线$l'$经过点$A$，且与直线$l$关于直线$x=-1$对称，$\therefore$直线$l'$与$x$轴的交点$E$的坐标为$(2,0)$.设直线$l'$的表达式为$y=ax+b$，则$\begin{cases}3=-a+b,\\0=2a+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2.\end{cases}$$\therefore$直线$l'$的表达式为$y=-x+2$.当$x=0$时，$y=2$，$\therefore$直线$l'$与$y$轴的交点$D$的坐标为$(0,2)$.$\therefore OD=2$.$\therefore$阴影部分的面积为$S_{△ BOC}-S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}×(4-2)×1=7$.

点方法 根据关于某条直线对称的两个点的连线被这条直线垂直平分，可得点$E$的坐标，进而可求直线$l'$的表达式，由函数表达式得点的坐标，再转化为线段长度，运用作差法求面积。

3. [2025 泸州] 如图,一次函数 $ y=2x+b $ 的图象与反比例函数 $ y=\frac{m}{x} $ 的图象的一个交点为 $ A(2,6) $.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)将一次函数 $ y=2x+b $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移12个单位,与反比例函数 $ y=\frac{m}{x} $ 的图象相交于点 $ B $,$ C $,求 $ S_{△ ABC} $ 的值.

3.【解】(1)$\because$一次函数$y=2x+b$的图象经过$A(2,6)$，$\therefore 6=2×2+b$，$\therefore b=2$，$\therefore$一次函数表达式为$y=2x+2$.
$\because$反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过$A(2,6)$，$\therefore 6=\frac{m}{2}$，$\therefore m=12$，$\therefore$反比例函数表达式为$y=\frac{12}{x}$.
(2)$\because$将一次函数$y=2x+2$的图象沿$y$轴向下平移12个单位，与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象相交于点$B,C$，$\therefore$直线$BC$的表达式为$y=2x+2-12=2x-10$，
联立，得$\begin{cases}y=2x-10,\\y=\frac{12}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=-12\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=2,\end{cases}$
$\therefore B(-1,-12),C(6,2)$.
如图，过点$A$作$AT// y$轴交直线$BC$于$T$.
$\because A(2,6)$，$\therefore$点$T$的横坐标为2，在$y=2x-10$中，当$x=2$时，$y=2×2-10=-6$，$\therefore T(2,-6)$，$\therefore AT=6-(-6)=12$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABT}+S_{△ ACT}=\frac{1}{2}×12×[2-(-1)]+\frac{1}{2}×12×(6-2)=42$.