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1 下列说法中，正确的是（
A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$-3^2$的算术平方根是3
C.1的立方根是$\pm1$
D.$-\sqrt{7}$是7的一个平方根
D
）。A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$-3^2$的算术平方根是3
C.1的立方根是$\pm1$
D.$-\sqrt{7}$是7的一个平方根
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的基础概念，解题时需逐一对照各选项，结合对应概念判断正误即可。首先要明确核心概念：①算术平方根是一个非负数的非负平方根；②负数没有算术平方根；③正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；④正数有两个互为相反数的平方根。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，该选项错误；
B选项：根据运算顺序先算乘方，$-3^2=-9$，负数没有算术平方根，该选项错误；
C选项：根据立方根的性质，正数的立方根是正数，因此1的立方根只有1，$\pm1$是1的平方根，该选项错误；
D选项：正数有两个互为相反数的平方根，7的平方根为$\pm\sqrt{7}$，因此$-\sqrt{7}$是7的一个平方根，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于混淆平方根和算术平方根的取值范围、忽略负数没有算术平方根、混淆立方根和平方根的性质，熟练掌握相关定义即可准确答题。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根、算术平方根、立方根的基础概念，解题时需逐一对照各选项，结合对应概念判断正误即可。首先要明确核心概念：①算术平方根是一个非负数的非负平方根；②负数没有算术平方根；③正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；④正数有两个互为相反数的平方根。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，因此$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，该选项错误；
B选项：根据运算顺序先算乘方，$-3^2=-9$，负数没有算术平方根，该选项错误；
C选项：根据立方根的性质，正数的立方根是正数，因此1的立方根只有1，$\pm1$是1的平方根，该选项错误；
D选项：正数有两个互为相反数的平方根，7的平方根为$\pm\sqrt{7}$，因此$-\sqrt{7}$是7的一个平方根，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于混淆平方根和算术平方根的取值范围、忽略负数没有算术平方根、混淆立方根和平方根的性质，熟练掌握相关定义即可准确答题。
【难度系数】
0.7
2 随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件，十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程(
A.$50000(1+x)^2=20000$
B.$5000 + 5000(1+x) + 5000(1+x)^2=20000$
C.$5000 + 5000×3x=20000$
D.$5000 + 5000×2x=20000$
B
)。A.$50000(1+x)^2=20000$
B.$5000 + 5000(1+x) + 5000(1+x)^2=20000$
C.$5000 + 5000×3x=20000$
D.$5000 + 5000×2x=20000$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目要求的是十月、十一月、十二月三个月的揽件总量，因此需要先分别求出每个月的揽件量，再求和等于20000件。首先回忆增长率的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，结合已知的十月份揽件量、每月的增长率x，依次计算十一月、十二月的揽件量，最后将三个月的揽件量相加即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
1. 十月份揽件量已知为5000件；
2. 十一月揽件量是在十月的基础上增长x，因此十一月揽件量为：$5000(1+x)$件；
3. 十二月揽件量是在十一月的基础上增长x，因此十二月揽件量为：$5000(1+x) × (1+x) = 5000(1+x)^2$件；
4. 已知三个月合计揽件20000件，将三个月揽件量相加得方程：
$5000 + 5000(1+x) + 5000(1+x)^2 = 20000$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的常规考法，解题核心是准确写出不同时间段的对应数量，注意区分“单月数量”和“累计数量”的要求，同时不要混淆增长率和固定增量的计算逻辑，避免漏加前期的数量。
【难度系数】
0.7
这是一道增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目要求的是十月、十一月、十二月三个月的揽件总量，因此需要先分别求出每个月的揽件量，再求和等于20000件。首先回忆增长率的基本公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，结合已知的十月份揽件量、每月的增长率x，依次计算十一月、十二月的揽件量，最后将三个月的揽件量相加即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
1. 十月份揽件量已知为5000件；
2. 十一月揽件量是在十月的基础上增长x，因此十一月揽件量为：$5000(1+x)$件；
3. 十二月揽件量是在十一月的基础上增长x，因此十二月揽件量为：$5000(1+x) × (1+x) = 5000(1+x)^2$件；
4. 已知三个月合计揽件20000件，将三个月揽件量相加得方程：
$5000 + 5000(1+x) + 5000(1+x)^2 = 20000$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的常规考法，解题核心是准确写出不同时间段的对应数量，注意区分“单月数量”和“累计数量”的要求，同时不要混淆增长率和固定增量的计算逻辑，避免漏加前期的数量。
【难度系数】
0.7
3 下列三角形中,不是直角三角形的是(
A.三边分别为$11$、$\sqrt{60}$、$\sqrt{61}$
B.有一边的中线等于这边的一半
C.三个内角之比为$1:2:3$
D.三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$
D
)。A.三边分别为$11$、$\sqrt{60}$、$\sqrt{61}$
B.有一边的中线等于这边的一半
C.三个内角之比为$1:2:3$
D.三边之比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题时可结合勾股定理逆定理、直角三角形的判定性质、三角形内角和定理，逐个分析各选项是否符合直角三角形的特征：涉及边长的选项验证较短两边平方和是否等于最长边平方，涉及角或中线的选项用对应判定结论判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：计算各边平方：$11^2=121$，$(\sqrt{60})^2=60$，$(\sqrt{61})^2=61$，可得$(\sqrt{60})^2+(\sqrt{61})^2=60+61=121=11^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
B选项：根据直角三角形的判定结论：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形，因此该选项对应的是直角三角形，不符合题意。
C选项：三角形内角和为$180°$，三个内角比为$1:2:3$，则最大角为$180°×\frac{3}{1+2+3}=90°$，是直角三角形，不符合题意。
D选项：设三边长为$k、\sqrt{2}k、\sqrt{2}k(k＞0)$，计算得$k^2+(\sqrt{2}k)^2=k^2+2k^2=3k^2$，最长边平方为$(\sqrt{2}k)^2=2k^2$，$3k^2≠2k^2$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题全面考查了直角三角形的多种判定方式，只要熟练掌握勾股定理逆定理和直角三角形的相关性质，逐一验证选项即可得出答案，属于基础判定类题型。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，解题时可结合勾股定理逆定理、直角三角形的判定性质、三角形内角和定理，逐个分析各选项是否符合直角三角形的特征：涉及边长的选项验证较短两边平方和是否等于最长边平方，涉及角或中线的选项用对应判定结论判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：计算各边平方：$11^2=121$，$(\sqrt{60})^2=60$，$(\sqrt{61})^2=61$，可得$(\sqrt{60})^2+(\sqrt{61})^2=60+61=121=11^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意。
B选项：根据直角三角形的判定结论：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形，因此该选项对应的是直角三角形，不符合题意。
C选项：三角形内角和为$180°$，三个内角比为$1:2:3$，则最大角为$180°×\frac{3}{1+2+3}=90°$，是直角三角形，不符合题意。
D选项：设三边长为$k、\sqrt{2}k、\sqrt{2}k(k＞0)$，计算得$k^2+(\sqrt{2}k)^2=k^2+2k^2=3k^2$，最长边平方为$(\sqrt{2}k)^2=2k^2$，$3k^2≠2k^2$，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题全面考查了直角三角形的多种判定方式，只要熟练掌握勾股定理逆定理和直角三角形的相关性质，逐一验证选项即可得出答案，属于基础判定类题型。
【难度系数】
0.8
4 如图，已知A、B、C、D、E都是正方形，F、G都是直角三角形。已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（
A.7
B.8
C.9
D.10
C
）。A.7
B.8
C.9
D.10
答案
4.C
解析
【分析】
本题可利用勾股定理的几何意义求解：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。首先观察左侧直角三角形F，它的斜边是正方形E的边，两条直角边分别对应正方形A、B的边，因此可先求出正方形E的面积；再观察右侧直角三角形G，它的斜边是正方形D的边，两条直角边分别对应正方形E、C的边，代入数值即可求出正方形D的面积。
【解析】
解：根据勾股定理的几何意义：
1. 对左侧直角三角形F，其斜边为正方形E的边，因此正方形E的面积等于正方形A、B的面积和：
$ S_E = S_A + S_B = 2 + 4 = 6 $
2. 对右侧直角三角形G，其斜边为正方形D的边，因此正方形D的面积等于正方形E、C的面积和：
$ S_D = S_E + S_C = 6 + 3 = 9 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的几何意义，正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是找到直角三角形的边与对应正方形的关系，将边长的平方关系转化为正方形的面积关系计算即可。
【难度系数】
0.7
本题可利用勾股定理的几何意义求解：直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形面积。首先观察左侧直角三角形F，它的斜边是正方形E的边，两条直角边分别对应正方形A、B的边，因此可先求出正方形E的面积；再观察右侧直角三角形G，它的斜边是正方形D的边，两条直角边分别对应正方形E、C的边，代入数值即可求出正方形D的面积。
【解析】
解：根据勾股定理的几何意义：
1. 对左侧直角三角形F，其斜边为正方形E的边，因此正方形E的面积等于正方形A、B的面积和：
$ S_E = S_A + S_B = 2 + 4 = 6 $
2. 对右侧直角三角形G，其斜边为正方形D的边，因此正方形D的面积等于正方形E、C的面积和：
$ S_D = S_E + S_C = 6 + 3 = 9 $
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的几何意义，正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是找到直角三角形的边与对应正方形的关系，将边长的平方关系转化为正方形的面积关系计算即可。
【难度系数】
0.7
5 2024年中国全国GDP约为134.91万亿元，将134.91万亿元用科学记数法表示为（
A.$134.91×10^{12}$
B.$1.3491×10^{14}$
C.$1.3491×10^{13}$
D.$1.3491×10^{15}$
B
）。A.$134.91×10^{12}$
B.$1.3491×10^{14}$
C.$1.3491×10^{13}$
D.$1.3491×10^{15}$
答案
5.B
解析
【分析】
解决本题首先要回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题时先进行单位换算，明确“万亿”对应的10的幂次，再将原数的系数调整到符合$a$的取值范围，最后根据小数点移动的位数确定$n$的值，即可匹配正确选项。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 单位换算：$1万=10^4$，$1亿=10^8$，因此$1万亿元=10^4 × 10^8 = 10^{12}$元。
2. 改写原数：$134.91万亿元 = 134.91 × 10^{12}$元。
3. 调整系数与指数：要使系数满足$1 ≤ a ＜ 10$，将134.91的小数点向左移动2位得到$a=1.3491$，小数点左移2位，因此10的指数需加2，即$n=12+2=14$。
综上，134.91万亿元用科学记数法表示为$1.3491 × 10^{14}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法、幂的运算、单位换算
【点评】
本题是科学记数法的常规应用题型，解题核心是准确把握科学记数法中$a$的取值要求和$n$的计算方法，需注意大单位对应的幂次，避免因单位换算错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题时先进行单位换算，明确“万亿”对应的10的幂次，再将原数的系数调整到符合$a$的取值范围，最后根据小数点移动的位数确定$n$的值，即可匹配正确选项。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 单位换算：$1万=10^4$，$1亿=10^8$，因此$1万亿元=10^4 × 10^8 = 10^{12}$元。
2. 改写原数：$134.91万亿元 = 134.91 × 10^{12}$元。
3. 调整系数与指数：要使系数满足$1 ≤ a ＜ 10$，将134.91的小数点向左移动2位得到$a=1.3491$，小数点左移2位，因此10的指数需加2，即$n=12+2=14$。
综上，134.91万亿元用科学记数法表示为$1.3491 × 10^{14}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法、幂的运算、单位换算
【点评】
本题是科学记数法的常规应用题型，解题核心是准确把握科学记数法中$a$的取值要求和$n$的计算方法，需注意大单位对应的幂次，避免因单位换算错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
6 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如图，当张角为$∠ BAF$时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm。小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为$∠ DAF$时（点D是点B的对应点），顶部D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（
A.$\sqrt{69}$ cm
B.$10\sqrt{5}$ cm
C.21 cm
D.15 cm
D
）。A.$\sqrt{69}$ cm
B.$10\sqrt{5}$ cm
C.21 cm
D.15 cm
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先抓住笔记本边缘长度不变的特点，可得AB=AD，再结合BC⊥CF、DE⊥CF，可知△ABC和△ADE均为直角三角形。第一步先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，即得到AD的长度；第二步在Rt△ADE中再次利用勾股定理，即可求出AE的长度。
【解析】
由题意可知：BC⊥CF，DE⊥CF，因此∠C=∠DEA=90°，且笔记本边缘长度不变，点D是点B的对应点，故AD=AB。
在Rt△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=24^2+7^2=576+49=625$，因此$AB=25\mathrm{cm}$，即$AD=AB=25\mathrm{cm}$。
在Rt△ADE中，DE=20cm，AD=25cm，根据勾股定理：
$AE^2=AD^2-DE^2=25^2-20^2=625-400=225$，因此$AE=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，图形变换对应边相等
【点评】
本题结合生活实践场景考查勾股定理的实际应用，解题的核心是找到不变量AD=AB，通过构造直角三角形两次运用勾股定理求解，题目贴近生活，侧重对基础知识点的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住笔记本边缘长度不变的特点，可得AB=AD，再结合BC⊥CF、DE⊥CF，可知△ABC和△ADE均为直角三角形。第一步先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长度，即得到AD的长度；第二步在Rt△ADE中再次利用勾股定理，即可求出AE的长度。
【解析】
由题意可知：BC⊥CF，DE⊥CF，因此∠C=∠DEA=90°，且笔记本边缘长度不变，点D是点B的对应点，故AD=AB。
在Rt△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=24^2+7^2=576+49=625$，因此$AB=25\mathrm{cm}$，即$AD=AB=25\mathrm{cm}$。
在Rt△ADE中，DE=20cm，AD=25cm，根据勾股定理：
$AE^2=AD^2-DE^2=25^2-20^2=625-400=225$，因此$AE=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，图形变换对应边相等
【点评】
本题结合生活实践场景考查勾股定理的实际应用，解题的核心是找到不变量AD=AB，通过构造直角三角形两次运用勾股定理求解，题目贴近生活，侧重对基础知识点的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
