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7 在直角△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=6，则△ABC斜边上的中线为
$\sqrt{13}$
。答案
$\sqrt{13}$
解析
【分析】
本题要求直角三角形斜边上的中线长，可分两步思考求解：第一步，已知直角三角形两条直角边的长度，可通过勾股定理先计算出斜边的长度；第二步，根据直角三角形的核心性质：斜边上的中线等于斜边的一半，将斜边长度除以2即可得到中线的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6
根据勾股定理，斜边AB的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为：
$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{13}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，是直角三角形相关性质的直接应用，解题时只需牢记勾股定理和斜边中线的性质，计算过程中注意根式化简不要出错即可得分。
【难度系数】
0.85
本题要求直角三角形斜边上的中线长，可分两步思考求解：第一步，已知直角三角形两条直角边的长度，可通过勾股定理先计算出斜边的长度；第二步，根据直角三角形的核心性质：斜边上的中线等于斜边的一半，将斜边长度除以2即可得到中线的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6
根据勾股定理，斜边AB的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边上的中线长为：
$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{13}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，是直角三角形相关性质的直接应用，解题时只需牢记勾股定理和斜边中线的性质，计算过程中注意根式化简不要出错即可得分。
【难度系数】
0.85
⑧已知直角三角形的周长为$5+\sqrt{13}$，斜边长为$\sqrt{13}$，则这个直角三角形的面积为
3
。答案
3
解析
【分析】
要计算直角三角形的面积，需先求出两条直角边的乘积。首先根据周长和斜边长，可算出两条直角边的和；再结合勾股定理得到两条直角边的平方和；最后利用完全平方公式的变形，就能直接求出两直角边的乘积，无需单独求解每条直角边的长度，可简化运算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 计算两条直角边的和：
已知三角形周长为$5+\sqrt{13}$，斜边长为$\sqrt{13}$，因此$a+b=(5+\sqrt{13})-\sqrt{13}=5$。
2. 结合勾股定理得直角边平方和：
由勾股定理可得，$a^2+b^2=(\sqrt{13})^2=13$。
3. 利用完全平方公式求$ab$：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=5$、$a^2+b^2=13$代入得：
$5^2=13+2ab$
即$25=13+2ab$，解得$2ab=12$，$ab=6$。
4. 计算面积：
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查直角三角形的相关计算，解题的核心是利用整体思想，通过完全平方公式的变形直接求出两直角边的乘积，避免了单独求解直角边的复杂运算，是直角三角形计算中的典型题型。
【难度系数】
0.7
要计算直角三角形的面积，需先求出两条直角边的乘积。首先根据周长和斜边长，可算出两条直角边的和；再结合勾股定理得到两条直角边的平方和；最后利用完全平方公式的变形，就能直接求出两直角边的乘积，无需单独求解每条直角边的长度，可简化运算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 计算两条直角边的和：
已知三角形周长为$5+\sqrt{13}$，斜边长为$\sqrt{13}$，因此$a+b=(5+\sqrt{13})-\sqrt{13}=5$。
2. 结合勾股定理得直角边平方和：
由勾股定理可得，$a^2+b^2=(\sqrt{13})^2=13$。
3. 利用完全平方公式求$ab$：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=5$、$a^2+b^2=13$代入得：
$5^2=13+2ab$
即$25=13+2ab$，解得$2ab=12$，$ab=6$。
4. 计算面积：
直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题考查直角三角形的相关计算，解题的核心是利用整体思想，通过完全平方公式的变形直接求出两直角边的乘积，避免了单独求解直角边的复杂运算，是直角三角形计算中的典型题型。
【难度系数】
0.7
9 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BC=5，AC=12，则CD=
$\frac{60}{13}$
，AD=$\frac{144}{13}$
。答案
$\frac{60}{13},\frac{144}{13}$
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：第一步先利用勾股定理，结合已知的两条直角边长度算出斜边AB的长度；第二步求CD时，利用三角形面积的两种计算方法（以直角边为底高计算、以斜边和斜边上的高为底高计算），面积相等建立等量关系即可求出CD；第三步求AD时，在Rt△ACD中，已知AC和CD的长度，再次用勾股定理就能算出AD的长度。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$，因此$AB=13$（边长为正）。
2. 计算CD的长度
$△ ABC$的面积可通过两种方式表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CD$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×12×5=\frac{1}{2}×13× CD$
化简得：$60=13CD$，解得$CD=\frac{60}{13}$。
3. 计算AD的长度
因为$CD⊥ AB$，所以$△ ACD$是直角三角形，$∠ ADC=90°$，根据勾股定理：
$AD^2+CD^2=AC^2$
代入数值：$AD^2+(\frac{60}{13})^2=12^2$
计算得：$AD^2=144-\frac{3600}{169}=\frac{20736}{169}$，因此$AD=\frac{144}{13}$（边长为正）。
【答案】
$\frac{60}{13}$，$\frac{144}{13}$
【知识点】
勾股定理，等面积法
【点评】
本题是直角三角形性质应用的基础题，利用等面积法求斜边上的高是高频考点，熟练掌握勾股定理和面积等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步展开：第一步先利用勾股定理，结合已知的两条直角边长度算出斜边AB的长度；第二步求CD时，利用三角形面积的两种计算方法（以直角边为底高计算、以斜边和斜边上的高为底高计算），面积相等建立等量关系即可求出CD；第三步求AD时，在Rt△ACD中，已知AC和CD的长度，再次用勾股定理就能算出AD的长度。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$，因此$AB=13$（边长为正）。
2. 计算CD的长度
$△ ABC$的面积可通过两种方式表示：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CD$
代入数值可得：$\frac{1}{2}×12×5=\frac{1}{2}×13× CD$
化简得：$60=13CD$，解得$CD=\frac{60}{13}$。
3. 计算AD的长度
因为$CD⊥ AB$，所以$△ ACD$是直角三角形，$∠ ADC=90°$，根据勾股定理：
$AD^2+CD^2=AC^2$
代入数值：$AD^2+(\frac{60}{13})^2=12^2$
计算得：$AD^2=144-\frac{3600}{169}=\frac{20736}{169}$，因此$AD=\frac{144}{13}$（边长为正）。
【答案】
$\frac{60}{13}$，$\frac{144}{13}$
【知识点】
勾股定理，等面积法
【点评】
本题是直角三角形性质应用的基础题，利用等面积法求斜边上的高是高频考点，熟练掌握勾股定理和面积等量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.7
⑩ 如图，在长方形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'交AD于点E，则线段DE的长为
$\frac{15}{4}$
。答案
$\frac{15}{4}$
解析
【分析】
解题时首先利用长方形对边平行的性质得到内错角相等，再结合翻折前后对应角相等的性质，推导得到∠EDB=∠EBD，依据等角对等边得出BE=DE；接下来设DE的长度为x，用含x的式子表示出AE的长度，最后在直角三角形ABE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD=BC=6，AB=CD=3，AD//BC，
∴ ∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
由翻折的性质可得：∠DBC'=∠DBC，
∴ ∠EDB=∠EBD，
∴ BE=DE（等角对等边），
设DE=x，则BE=x，AE=AD - DE=6 - x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理：AB² + AE² = BE²，
代入得：$3^2 + (6 - x)^2 = x^2$，
展开计算：$9 + 36 - 12x + x^2 = x^2$，
整理得：$12x = 45$，
解得：$x = \frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
矩形的性质；翻折变换的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是通过角的等量关系转化得到等线段，再结合勾股定理构建方程求解，体现了数形结合与方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用长方形对边平行的性质得到内错角相等，再结合翻折前后对应角相等的性质，推导得到∠EDB=∠EBD，依据等角对等边得出BE=DE；接下来设DE的长度为x，用含x的式子表示出AE的长度，最后在直角三角形ABE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD=BC=6，AB=CD=3，AD//BC，
∴ ∠EDB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
由翻折的性质可得：∠DBC'=∠DBC，
∴ ∠EDB=∠EBD，
∴ BE=DE（等角对等边），
设DE=x，则BE=x，AE=AD - DE=6 - x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理：AB² + AE² = BE²，
代入得：$3^2 + (6 - x)^2 = x^2$，
展开计算：$9 + 36 - 12x + x^2 = x^2$，
整理得：$12x = 45$，
解得：$x = \frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
矩形的性质；翻折变换的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是通过角的等量关系转化得到等线段，再结合勾股定理构建方程求解，体现了数形结合与方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.65
11 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=7$，$BC=24$。$△ ABC$的内心为点$P$，则点$P$到$△ ABC$三边的距离之和为
9
。答案
9
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件是直角三角形的两条直角边长度，第一步可通过勾股定理求出斜边长度；其次回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，该距离就是三角形内切圆的半径r，因此要求三个距离之和，只需要先求出r的值再乘3即可。求r可采用面积法：原三角形的面积等于内心和三个顶点连线分割成的三个小三角形的面积之和，据此列等式就能算出r。
【解析】
1. 计算斜边$AC$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠B=90°$，$AB=7$，$BC=24$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$
2. 利用内心性质和面积法求内切圆半径$r$：
∵点$P$是$△ABC$的内心，
∴点$P$到三边的距离相等，设距离均为$r$
$△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×7×24=84$
同时$S=S_{△PAB}+S_{△PBC}+S_{△PAC}=\frac{1}{2}×AB×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AC×r$
代入数值：$84=\frac{1}{2}×r×(7+24+25)$
化简得：$84=28r$，解得$r=3$
3. 计算距离之和：
点$P$到三边的距离之和为$r+r+r=3r=3×3=9$
【答案】
9
【知识点】
勾股定理，三角形内心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是掌握内心到三角形三边距离相等的性质，结合勾股定理和面积法求解内切圆半径即可得到答案，解题思路清晰，是三角形性质相关的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件是直角三角形的两条直角边长度，第一步可通过勾股定理求出斜边长度；其次回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，该距离就是三角形内切圆的半径r，因此要求三个距离之和，只需要先求出r的值再乘3即可。求r可采用面积法：原三角形的面积等于内心和三个顶点连线分割成的三个小三角形的面积之和，据此列等式就能算出r。
【解析】
1. 计算斜边$AC$的长度：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠B=90°$，$AB=7$，$BC=24$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$
2. 利用内心性质和面积法求内切圆半径$r$：
∵点$P$是$△ABC$的内心，
∴点$P$到三边的距离相等，设距离均为$r$
$△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×AB×BC=\frac{1}{2}×7×24=84$
同时$S=S_{△PAB}+S_{△PBC}+S_{△PAC}=\frac{1}{2}×AB×r+\frac{1}{2}×BC×r+\frac{1}{2}×AC×r$
代入数值：$84=\frac{1}{2}×r×(7+24+25)$
化简得：$84=28r$，解得$r=3$
3. 计算距离之和：
点$P$到三边的距离之和为$r+r+r=3r=3×3=9$
【答案】
9
【知识点】
勾股定理，三角形内心的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是掌握内心到三角形三边距离相等的性质，结合勾股定理和面积法求解内切圆半径即可得到答案，解题思路清晰，是三角形性质相关的常见题型。
【难度系数】
0.7
12 如图，已知∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=25，BC=20，则四边形ABCD的面积为
96
。答案
96
解析
【分析】
本题要求不规则四边形的面积，无法直接用公式计算，可通过作辅助线转化为三角形面积的差求解：1. 首先连接对角线AC，将四边形分割为两个三角形△ADC和△ABC；2. 已知△ADC是直角三角形，先用勾股定理求出AC的长度；3. 再将AC的长度与△ABC的另外两条边长结合，用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；4. 最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，即可得到四边形ABCD的面积。
【解析】
连接AC，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$。
在△ABC中，AC=15，BC=20，AB=25，
$\because AC^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625$，$AB^2=25^2=625$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC=\frac{1}{2}×15×20=150$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD × CD=\frac{1}{2}×12×9=54$，
因此四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=150-54=96$。
【答案】
96
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题的关键是通过作辅助线将四边形转化为两个可求面积的直角三角形，需熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，同时注意结合图形判断面积的和差关系。
【难度系数】
0.7
本题要求不规则四边形的面积，无法直接用公式计算，可通过作辅助线转化为三角形面积的差求解：1. 首先连接对角线AC，将四边形分割为两个三角形△ADC和△ABC；2. 已知△ADC是直角三角形，先用勾股定理求出AC的长度；3. 再将AC的长度与△ABC的另外两条边长结合，用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；4. 最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，即可得到四边形ABCD的面积。
【解析】
连接AC，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=12，CD=9，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$。
在△ABC中，AC=15，BC=20，AB=25，
$\because AC^2+BC^2=15^2+20^2=225+400=625$，$AB^2=25^2=625$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BC=\frac{1}{2}×15×20=150$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD × CD=\frac{1}{2}×12×9=54$，
因此四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=150-54=96$。
【答案】
96
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题的关键是通过作辅助线将四边形转化为两个可求面积的直角三角形，需熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用，同时注意结合图形判断面积的和差关系。
【难度系数】
0.7
13 在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当∠CFE=90°时，AP的长为
$\frac{9}{4}$
。答案
$\frac{9}{4}$
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：1. 先梳理已知条件：长方形边长、E为AD中点，先算出AE=ED=3；2. 利用折叠性质，得到对应边、对应角相等，即EF=AE=3，∠PFE=∠A=90°；3. 结合∠CFE=90°，可推出P、F、C三点共线，因为两个90°角共边FE，和为180°，故PF与FC在同一直线上；4. 先在Rt△CDE中用勾股定理算出CE长度，再在Rt△CFE中算出CF长度；5. 设AP为x，用含x的式子表示PB、PC的长度，最后在Rt△PBC中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 长方形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=∠B=∠D=90°
∴ CD=AB=4，BC=AD=6
∵ E为AD中点，
∴ AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=3
由折叠的性质得：△FPE≌△APE，
∴ EF=AE=3，PF=AP，∠PFE=∠A=90°
又
∵ ∠CFE=90°，
∴ ∠PFE+∠CFE=180°，即P、F、C三点共线
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
在Rt△CFE中，由勾股定理得：$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
设AP=x，则PF=x，PB=4-x，PC=PF+CF=x+4
在Rt△PBC中，由勾股定理得：$PB^2+BC^2=PC^2$
代入得：$(4-x)^2+6^2=(x+4)^2$
展开化简：$16-8x+x^2+36=x^2+8x+16$
移项合并得：$16x=36$
解得：$x=\frac{9}{4}$
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，三点共线判定
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，核心是利用折叠的不变性找到相等的边和角，结合直角特征推出三点共线，再通过勾股定理建立方程求解，很好地考察了几何推理和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
解题可按以下思路推进：1. 先梳理已知条件：长方形边长、E为AD中点，先算出AE=ED=3；2. 利用折叠性质，得到对应边、对应角相等，即EF=AE=3，∠PFE=∠A=90°；3. 结合∠CFE=90°，可推出P、F、C三点共线，因为两个90°角共边FE，和为180°，故PF与FC在同一直线上；4. 先在Rt△CDE中用勾股定理算出CE长度，再在Rt△CFE中算出CF长度；5. 设AP为x，用含x的式子表示PB、PC的长度，最后在Rt△PBC中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 长方形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A=∠B=∠D=90°
∴ CD=AB=4，BC=AD=6
∵ E为AD中点，
∴ AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=3
由折叠的性质得：△FPE≌△APE，
∴ EF=AE=3，PF=AP，∠PFE=∠A=90°
又
∵ ∠CFE=90°，
∴ ∠PFE+∠CFE=180°，即P、F、C三点共线
在Rt△CDE中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{ED^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
在Rt△CFE中，由勾股定理得：$CF=\sqrt{CE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
设AP=x，则PF=x，PB=4-x，PC=PF+CF=x+4
在Rt△PBC中，由勾股定理得：$PB^2+BC^2=PC^2$
代入得：$(4-x)^2+6^2=(x+4)^2$
展开化简：$16-8x+x^2+36=x^2+8x+16$
移项合并得：$16x=36$
解得：$x=\frac{9}{4}$
【答案】
$\frac{9}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，三点共线判定
【点评】
本题是折叠类几何的典型题型，核心是利用折叠的不变性找到相等的边和角，结合直角特征推出三点共线，再通过勾股定理建立方程求解，很好地考察了几何推理和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
14 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是
$\sqrt{5}$
。答案
$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题思路：我们可以通过连接辅助线构造直角三角形求解。首先连接AC、CF，利用正方形对角线的性质可推出∠ACF为直角，得到Rt△ACF；再用勾股定理求出斜边AF的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出CH的长度。
【解析】
解：连接AC、CF，
∵四边形ABCD、CEFG均为正方形，BC=1，CE=3，
∴AC是正方形ABCD的对角线，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且∠ACD=45°，
CF是正方形CEFG的对角线，$CF=\sqrt{CE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，且∠FCG=45°，
∴∠ACF=∠ACD+∠FCG=45°+45°=90°，即△ACF为直角三角形，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+18}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∵H是AF的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$CH=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于正方形与直角三角形的综合基础题，通过连接正方形对角线构造直角三角形是解题的突破口，也可采用建立平面直角坐标系的坐标法求解，两种方法都简单易操作。
【难度系数】
0.7
解题思路：我们可以通过连接辅助线构造直角三角形求解。首先连接AC、CF，利用正方形对角线的性质可推出∠ACF为直角，得到Rt△ACF；再用勾股定理求出斜边AF的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出CH的长度。
【解析】
解：连接AC、CF，
∵四边形ABCD、CEFG均为正方形，BC=1，CE=3，
∴AC是正方形ABCD的对角线，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，且∠ACD=45°，
CF是正方形CEFG的对角线，$CF=\sqrt{CE^2+EF^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，且∠FCG=45°，
∴∠ACF=∠ACD+∠FCG=45°+45°=90°，即△ACF为直角三角形，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AC^2+CF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+18}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∵H是AF的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴$CH=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于正方形与直角三角形的综合基础题，通过连接正方形对角线构造直角三角形是解题的突破口，也可采用建立平面直角坐标系的坐标法求解，两种方法都简单易操作。
【难度系数】
0.7
15 如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是
$\sqrt{2}-1$
。答案
$\sqrt{2}-1$ [提示:$S_{△ FCE}=\frac{1}{2} × 1 × 1=\frac{1}{2}$。因为 $CF=\sqrt{CE^2+EF^2}=\sqrt{2}$, $BC=1$,所以 $BF=CF-BC=\sqrt{2}-1$。因为 $∠ ABF=90°$, $∠ BFE=45°$,所以 $BF=BH$。所以 $S_{△ BFH}=\frac{1}{2} × (\sqrt{2}-1)^2=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$,所以 $S_{阴影}=S_{△ FCE}-S_{△ BFH}=\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。]
解析
【分析】
阴影部分为不规则图形，可采用割补法求解：将阴影面积转化为△FCE的面积减去空白△FBH的面积。首先利用旋转和正方形的性质确定CEFG是边长为1的正方形，先求出△FCE的面积；再通过勾股定理求出正方形对角线CF的长度，结合BC的长度得到BF的长；最后判断△FBH是等腰直角三角形，求出其面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为1，旋转后得到正方形CEFG，
∴CE=EF=1，∠E=∠ABC=90°，∠EFC=45°，BC=1。
① 计算△FCE的面积：
$S_{△ FCE}=\frac{1}{2} × CE × EF=\frac{1}{2} × 1 × 1=\frac{1}{2}$。
② 求CF的长度：
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CE^2+EF^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴$BF=CF-BC=\sqrt{2}-1$。
③ 判断△FBH的形状并计算其面积：
∵∠HBF=180°-∠ABC=90°，∠HFB=45°，
∴△FBH为等腰直角三角形，即$BH=BF=\sqrt{2}-1$，
∴$S_{△ BFH}=\frac{1}{2} × BF × BH=\frac{1}{2} × (\sqrt{2}-1)^2=\frac{1}{2} × (3-2\sqrt{2})=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$。
④ 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{△ FCE}-S_{△ BFH}=\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
正方形的性质、旋转的性质、割补法求面积
【点评】
本题将旋转、正方形性质与面积计算结合，核心解题思路是利用割补法将不规则阴影面积转化为两个规则三角形的面积差，解题时需注意旋转前后图形全等，对应边、对应角相等的性质的应用，计算等腰直角三角形面积时要注意正确展开完全平方公式。
【难度系数】
0.6
阴影部分为不规则图形，可采用割补法求解：将阴影面积转化为△FCE的面积减去空白△FBH的面积。首先利用旋转和正方形的性质确定CEFG是边长为1的正方形，先求出△FCE的面积；再通过勾股定理求出正方形对角线CF的长度，结合BC的长度得到BF的长；最后判断△FBH是等腰直角三角形，求出其面积，二者作差即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵正方形ABCD边长为1，旋转后得到正方形CEFG，
∴CE=EF=1，∠E=∠ABC=90°，∠EFC=45°，BC=1。
① 计算△FCE的面积：
$S_{△ FCE}=\frac{1}{2} × CE × EF=\frac{1}{2} × 1 × 1=\frac{1}{2}$。
② 求CF的长度：
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CE^2+EF^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∴$BF=CF-BC=\sqrt{2}-1$。
③ 判断△FBH的形状并计算其面积：
∵∠HBF=180°-∠ABC=90°，∠HFB=45°，
∴△FBH为等腰直角三角形，即$BH=BF=\sqrt{2}-1$，
∴$S_{△ BFH}=\frac{1}{2} × BF × BH=\frac{1}{2} × (\sqrt{2}-1)^2=\frac{1}{2} × (3-2\sqrt{2})=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$。
④ 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{△ FCE}-S_{△ BFH}=\frac{1}{2}-(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
正方形的性质、旋转的性质、割补法求面积
【点评】
本题将旋转、正方形性质与面积计算结合，核心解题思路是利用割补法将不规则阴影面积转化为两个规则三角形的面积差，解题时需注意旋转前后图形全等，对应边、对应角相等的性质的应用，计算等腰直角三角形面积时要注意正确展开完全平方公式。
【难度系数】
0.6
16 如图，点E、F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE=9，EF=5，FC=3，则正方形ABCD的面积为
$\frac{169}{2}$
。答案
$\frac{169}{2}$ [提示:如图,过点 C 作 $CG ⊥ AE$,交 AE 的延长线于点 G,连接 AC。易得 $EG=FC=3$, $CG=EF=5$,所以 $AG=AE+EG=3+9=12$,所以 $AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=13$,所以 $S_{正方形ABCD}=(\frac{13}{\sqrt{2}})^2=\frac{169}{2}$。]
解析
【分析】
要求正方形ABCD的面积，可先求出其对角线AC的长度，再利用正方形面积与对角线的关系计算。已知AE、CF均垂直于EF，存在多处直角，我们可以通过作辅助线构造矩形和直角三角形：过C作CG垂直AE的延长线于G，此时四边形EFCG有三个直角，可判定为矩形，利用矩形的性质就能得到相关线段的长度，再在构造出的Rt△AGC中用勾股定理求出AC的长，进而计算正方形面积。
【解析】
解：过点C作$CG ⊥ AE$，交AE的延长线于点G，连接AC。
$\because AE ⊥ EF$，$CF ⊥ EF$，$CG ⊥ AG$，
$\therefore$ 四边形EFCG的三个内角为直角，$\therefore$ 四边形EFCG是矩形。
$\therefore EG=FC=3$，$CG=EF=5$。
$\therefore AG=AE+EG=9+3=12$。
在$Rt△ AGC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$。
$\because$ AC是正方形ABCD的对角线，设正方形边长为a，由勾股定理得$a^2+a^2=AC^2$，
即$2a^2=13^2=169$，$\therefore$ 正方形面积$S=a^2=\frac{169}{2}$。
【答案】
$\frac{169}{2}$
【知识点】
勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题考查了几何图形中辅助线的构造，解题的关键是通过作垂线构造矩形，将分散的已知线段长度转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理和正方形的性质求解，能较好地考查学生的几何转化思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
要求正方形ABCD的面积，可先求出其对角线AC的长度，再利用正方形面积与对角线的关系计算。已知AE、CF均垂直于EF，存在多处直角，我们可以通过作辅助线构造矩形和直角三角形：过C作CG垂直AE的延长线于G，此时四边形EFCG有三个直角，可判定为矩形，利用矩形的性质就能得到相关线段的长度，再在构造出的Rt△AGC中用勾股定理求出AC的长，进而计算正方形面积。
【解析】
解：过点C作$CG ⊥ AE$，交AE的延长线于点G，连接AC。
$\because AE ⊥ EF$，$CF ⊥ EF$，$CG ⊥ AG$，
$\therefore$ 四边形EFCG的三个内角为直角，$\therefore$ 四边形EFCG是矩形。
$\therefore EG=FC=3$，$CG=EF=5$。
$\therefore AG=AE+EG=9+3=12$。
在$Rt△ AGC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AG^2+CG^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$。
$\because$ AC是正方形ABCD的对角线，设正方形边长为a，由勾股定理得$a^2+a^2=AC^2$，
即$2a^2=13^2=169$，$\therefore$ 正方形面积$S=a^2=\frac{169}{2}$。
【答案】
$\frac{169}{2}$
【知识点】
勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题考查了几何图形中辅助线的构造，解题的关键是通过作垂线构造矩形，将分散的已知线段长度转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理和正方形的性质求解，能较好地考查学生的几何转化思维和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
